浙江省台州市2023-2024学年高二上学期1月期末质量评估数学试题（含答案）

台州市2023学年第一学期高二年级期末质量评估试题
数学 2024.01
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．直线的斜率等于
A． B．1 C．2 D．
2．若双曲线的离心率为2，则实数
A．2 B． C．4 D．16
3．若空间向量，则与的夹角的余弦值为
A． B． C． D．
4．已知等差数列的前项和为. 若，则其公差为
A． B． C．1 D．2
5．如图，在平行六面体中，记，则
A． B． C． D．
6．人们发现，任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2. 反复进行上述运算，必会得到1. 这就是数学史上著名的“冰雹猜想”现给出冰雹猜想的递推关系如下：对于数列,（为正整数），若，则所有可能的取值的和为
A．16 B．18 C．20 D．41
7．已知抛物线的焦点为,,两点在抛物线上，并满足,过点作轴的垂线，垂足为，若，则
A． B．1 C．2 D．4
8．在空间四边形中，，则下列结论中不一定 正确的是
A． B．
C． D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知数列和是等比数列，则下列结论中正确的是
A．是等比数列 B．一定不是等差数列
C．是等比数列 D．一定不是等比数列
10．已知且，曲线，则下列结论中正确的是
A．当时，曲线是椭圆
B．当时，曲线是双曲线
C．当时，曲线的焦点坐标为
D．当时，曲线的焦点坐标为
11．如图，在四面体中，分别是,,的中点，,相交于点，则下列结论中正确的是
A．平面
B．
C．
D．若分别为,的中点，则为的中点
12．已知，
，，则下列结论中正确的是
A．当时，
B．当时，有2个元素
C．若有2个元素，则
D．当时，有4个元素
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．点到直线的距离为 .
14．已知椭圆的左右焦点分别为. 为椭圆上的点，若，，则椭圆的离心率等于 .
15．已知数列的前项和为. 当时，的最小值是 .
16．已知抛物线和. 点在上（点与原点不重合），过点作的两条切线，切点分别为，直线交于两点，则的值为 .
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题共10分）已知圆经过原点及点.
（Ⅰ）求圆的标准方程；
（Ⅱ）过原点的直线与圆相交于两点，若，求直线的方程.
18．（本小题共12分）已知数列是公比不为1的等比数列，其前项和为. 已知成等差数列，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和.
19．（本小题共12分）在长方体中，. 从①②这两个条件中任选一个解答该题.
①直线与平面所成角的正弦值为；
②平面与平面的夹角的余弦值为.
（Ⅰ）求的长度；
（Ⅱ）是线段（不含端点）上的一点，若平面平面,求的值.
20．（本小题共12分）如图，圆的半径为4，是圆内一个定点且，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，点在圆上运动.
（Ⅰ）求点的轨迹；
（Ⅱ）当时，证明：直线与点形成的轨迹相切.
21．（本小题共12分）某游乐园中有一座摩天轮. 如图所示，摩天轮所在的平面与地面垂直，摩天轮为东西走向. 地面上有一条北偏东为的笔直公路，其中. 摩天轮近似为一个圆，其半径为，圆心到地面的距离为，其最高点为. 点正下方的地面点与公路的距离为. 甲在摩天轮上，乙在公路上. （为了计算方便，甲乙两人的身高、摩天轮的座舱高度和公路宽度忽略不计）
（Ⅰ）如图所示，甲位于摩天轮的点处时，从甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？
（Ⅱ）当甲随着摩天轮转动时，从乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？
22．（本小题共12分）已知双曲线的实轴长为，直线交双曲线于,两点，.
（Ⅰ）求双曲线的标准方程；
（Ⅱ）已知点，过点的直线与双曲线交于,两点，且直线与直线的斜率存在，分别记为. 问：是否存在实数，使得为定值？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由.
【参考答案】
台州市2023学年第一学期高二年级期末质量评估试题
数学 2024.01
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．C 2．A 3．C 4．D 5．A 6．B 7．B 8．D
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．AC 10．ABD 11．ACD 12．ABD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．1
14．
15．4
16．
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（Ⅰ）
解：设原点为，易知，线段的中点为圆心，圆心坐标为.
线段的长为圆的直径，，半径.
圆的标准方程为 …………5分
（Ⅱ）
①当直线的斜率不存在时，直线的方程为,
令，代入圆的标准方程，
解得或，则，不符合题意.
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，将其转化为一般式方程,
圆心到直线的距离为,则,得，
化简得或，即直线的方程为或.…………10分
18．（Ⅰ）
解：设等比数列的公比为，由题意得：
，即,
，得，解得或.
由于不符合题意，因此.
由得，，即，.所以. …………6分
（Ⅱ）
由题意得，，则，
则，
则，
则，
. …………12分
19．（Ⅰ）
解：如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.
则，
设，则,
设平面的法向量.
取，，，则.
若选择条件①，，设直线与平面所成角为，
则，
解得. 即.
若选择条件②，易知平面的法向量为,
设平面与平面的夹角为，
则，
解得. …………6分
（Ⅱ）
由题（Ⅰ）得，，，，，.
设，则.
设平面的法向量.取，，则
又，，设平面的法向量.
令，，则.
平面平面，,即,
解得，所以. …………12分
20．（Ⅰ）
解：，，.
因为. 所以与两个定点,的距离的和等于常数（大于）,
由椭圆的定义得，点的轨迹是以为焦点，长轴长等于4的椭圆. …………6分
注：若点的轨迹表述不当，则酌情扣分.
（Ⅱ）
以线段的中点为坐标原点，以过点,的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，设椭圆的标准方程为,
由椭圆的定义得：，即；，即.
则椭圆的标准方程为.
当时，点的坐标为和.
当点的坐标为时，已知点的坐标为，
线段的中点坐标为，直线的斜率为，
直线的方程，联立方程得，
整理得，可得.
所以直线与点形成的轨迹只有1个交点，即直线与点形成的轨迹相切.
当点的坐标为时，同理可证.
注：选择点的其中1个位置证明即可 …………12分
21．（Ⅰ）
解：如图所示，设公路所在直线为，过点作的垂线，垂直为. 因为圆的半径为，圆心到地面的距离为，所以. 从甲看乙的最大俯角与相等，由题意得。，则. …………6分
（Ⅱ）
如图所示，设甲位于圆上的点处，直线垂直于且交圆于点，射线可以看成是射线绕着点按逆时针方向旋转角度得到. 过点正下方的地面点向作垂线，垂足为. 当取得最大值时，即为从乙看甲的最大仰角. 山题意得：
其中，表示点和点构成的直线的斜率，当直线的斜率取得最小值时，取最大值. 因为点在单位圆上，所以当直线与单位圆相切时，斜率取得最大值或最小值，设过点的直线方程为：，即，解得，则直线的斜率最小值为，代入可得取最大值是. …………12分
22．（Ⅰ）
解：由已知得. 将代入方程，得,
由得，. 因此双曲线的标准方程为.
（Ⅱ）
设,则，，则
①当直线的斜率存在时，设直线的方程为,
则.
. 联立方程可得，
则，.
令，整理得.
要使得对任意的上式恒成立，则
解得：.
所以，当时，. …………11分
②当直线的斜率不存在时，由①得，为定值的必要条件是，即直线过定点，
此时直线的方程为，易知直线与双曲线没有交点，不符合题意的要求.
综上所述，当时，为定值6. …………12分