【优加学】初中数学鲁教版七年级上册 第三章勾股定理3勾股定理的应用举例第2课时勾股定理的实际应用
一、通基础知识点古代问题中的勾股定理
1．（2018八上·太原期中）在12世纪印度数学家婆什迦罗的著作中，有一首诗，也称“荷花问题”：
平平湖水清可鉴，面上半尺生荷花；
出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，
渔人观看忙向前，花离原位二尺远；
能算诸君请解题，湖水如何知深浅”
这首诗的大意是：在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．此时，捕鱼的人发现，花在水平方向上离开原来的位置2尺远，求湖水的深度．
2．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”
知识点利用勾股定理解决实际问题
3．如图所示，有一个圆锥，高为8cm，直径为12cm．在圆锥的底边N点处有一只蚂蚁，它想吃掉圆锥顶部M处的食物，则它需要爬行的最短路程是（ ）
A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm
4．如图所示，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走4km，又往北走3.5km，遇到障碍后又往西走1km，再转向北走到4.5km处往东一拐，仅走3km就找到宝藏．问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是多少？
二、通能力
5．如图所示，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ）
A．600m B．500m C．400m D．300m
6．如图所示是一种盛饮料的圆柱形杯，测得其内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里后，外面至少要露出4.6cm，则吸管至少要 cm．
7．如图所示，工人师傅按规定做一块钢板，其中AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，∠ADC=90°，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？
8．如图所示，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦8米的A处(车尾到大厦墙面)，升起云梯到火灾窗口B处，已知云梯长17米，云梯底部距地面的距离AE=2米，问：发生火灾的住户窗口B距离地面DE的距离？
9．如图所示，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m，现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间有多长？
三、通素养
10．如图所示，我国海监船在某海岛O点的海域巡航．OA⊥OB，OA=36海里，OB=12海里，我国海监船在点B处发现点A处有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．
（1）请用直尺和圆规作出C处的位置．(不写作法，保留作图痕迹)
（2）求我国海监船行驶的航程BC的长．
答案解析部分
1．【答案】解：若设湖水的深度x尺．则荷花的长是（x+0.5）米．在直角三角形中，根据勾股定理，
得：（x+0.5）2=x2+22，
解之得：x=3.75，
答：湖水的深度3.75尺。
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】 利用已知条件可得到B'C的长，设水深AC=x尺，可表示出荷花的高AB，在Rt△AB'C中，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值即可.
2．【答案】解：设绳索有x尺长，则102+(x+1-5)2=x2，
解得x=14.5．故绳索长14.5尺．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设绳索有x尺长，再利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可求解.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：连接DC，MN，
∵两点之间线段最短，
∴MN最短，
∵圆柱的母线长相等，
∴MC=MN，
∵圆锥的高为8cm，直径为12cm，
∴MO=8，OC=DC=6
在Rt△MOC中
.
故答案为：C.
【分析】连接DC，MN，可得到MC=MN，同时可求出MO，OC的长，再利用勾股定理求出MN的长.
4．【答案】解：设过A点东西方向的直线为AD，过点B作BC⊥AD于点C，
则AC=4-1+3=6(km)，BC=4.5+3.5= 8(km)．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=62+82=102 ，所以AB=10 km．
所以登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是10 km．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设过A点东西方向的直线为AD，过点B作BC⊥AD于点C， 利用已知条件可得到CA，BC的长；在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长.
5．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】如图所示．
∵BC∥AD，所以∠DAE=∠ ACB．
又BC⊥AB，DE⊥AC，
∴∠ABC=∠DEA= 90°．
∵AB= DE=400 m，所以△ABC≌△DEA．
∴EA= BC= 300 m．
在Rt△ABC中，AC2=AB2+ BC 2= 5002，
∴AC=500 m，所以CE=AC- AE= 200 m，
从B到E的两种走法：①BA+AE=700m；②BC+CE=500m．．
所以最近的路程是500 m．
故答案为：B.
【分析】利用平行线的性质可证得∠DAE=∠ ACB，利用垂直的定义可证得∠ABC=∠DEA，再利用；再利用AAS证明△ABC≌△DEA，利用全等三角形的性质可求出AE的长；在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，利用CE=AC- AE，可求出CE的长；观察图形可知从B到E的两种走法，分别求出两种走法的路径长，比较大小，可作出判断.
6．【答案】17.6
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，连接CD，
当吸管底端放在点C的位置，此时露在圆柱形杯外面的最短，
∵测得其内部底面半径为2.5cm，高为12cm，
∴CD=2×2.5=5，AD=12，
在Rt△ACD中
∵吸管放进杯里后，外面至少要露出4.6cm，
∴AE=4.6，
∴CE=AC+CE=13+5.6=17.6cm.
故答案为：17.6.
【分析】连接CD，当吸管底端放在点C的位置，此时露在圆柱形杯外面的最短，利用已知可得到CD，AD的长；再利用勾股定理求出AC的长；然后根据CE=AC+CE，代入计算可求出结果.
7．【答案】解：连接AC，
∵AD=4 m，CD=3 m，∠ADC=90°，
∴AC2=32+42=52，所以AC=5 m．
∴S△ACD= ×3×4=6(m2)．
在△ABC中，因为AC=5 m，BC=12 m，AB= 13 m，
∴AC2+ BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB= 90°，
∴Rt△ABC的面积= ×5×12= 30(m2)．
∴四边形ABCD的面积为30- 6= 24(m2)．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长；再利用勾股定理证明△ABC是直角三角形；利用三角形的面积公式分别求出△ABC和△ACD的面积，然后求出四边形ABCD的面积.
8．【答案】解：由题意，可得AC=8米，AB=17米，AE=2米，
则BC2=AB2-AC2=172-82= 152，所以BC=15米．
则BD= BC+CD=AE+ BC=15+2= 17(米)．
答：发生火灾的住户窗口B距离地面17米，
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理求出BC的长；再根据BD= BC+CD=AE+ BC，代入计算求出BD的长.
9．【答案】解：设卡车开到C处时学校刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响，如图所示，
则有CA= DA=100m
在Rt△ABC中，CB2 =AC2-AB2 = 1002-802=602，
所以CB= 60m，
所以CD=2CB= 120m，
则该校受影响的时间为120÷5=24(s)．
答：该学校受影响的时间为24秒。
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的应用
【解析】【分析】设卡车开到C处时学校刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响，利用已知可得到CA，DA的长， 利用勾股定理求出CB的长，利用等腰三角形的性质可求出CD的长；然后利用路程÷速度=时间，代入计算可求出结果.
10．【答案】（1）解：作AB的垂直平分线与OA交于点C，如图所示．
（2）解：连接BC，由作图，可得CD为AB的垂直平分线，
则CB= CA．
由题意，可得0C=36-CA=36- BC．
因为OA⊥OB，所以在Rt△BOC中，BO2+OC2= BC2，
即122+(36- BC)2= BC2 ，解得BC= 20海里．
所以我国海监船行驶的航程BC的长为20海里．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用尺规作图作出AB的垂直平分线与OA交于点C.
（2）连接BC，利用垂直平分线的性质可证得CB=CA，可求出OC的长，再利用勾股定理求出BC的长.
1 / 1【优加学】初中数学鲁教版七年级上册 第三章勾股定理3勾股定理的应用举例第2课时勾股定理的实际应用
一、通基础知识点古代问题中的勾股定理
1．（2018八上·太原期中）在12世纪印度数学家婆什迦罗的著作中，有一首诗，也称“荷花问题”：
平平湖水清可鉴，面上半尺生荷花；
出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，
渔人观看忙向前，花离原位二尺远；
能算诸君请解题，湖水如何知深浅”
这首诗的大意是：在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．此时，捕鱼的人发现，花在水平方向上离开原来的位置2尺远，求湖水的深度．
【答案】解：若设湖水的深度x尺．则荷花的长是（x+0.5）米．在直角三角形中，根据勾股定理，
得：（x+0.5）2=x2+22，
解之得：x=3.75，
答：湖水的深度3.75尺。
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】 利用已知条件可得到B'C的长，设水深AC=x尺，可表示出荷花的高AB，在Rt△AB'C中，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值即可.
2．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”
知识点利用勾股定理解决实际问题
【答案】解：设绳索有x尺长，则102+(x+1-5)2=x2，
解得x=14.5．故绳索长14.5尺．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设绳索有x尺长，再利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可求解.
3．如图所示，有一个圆锥，高为8cm，直径为12cm．在圆锥的底边N点处有一只蚂蚁，它想吃掉圆锥顶部M处的食物，则它需要爬行的最短路程是（ ）
A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：连接DC，MN，
∵两点之间线段最短，
∴MN最短，
∵圆柱的母线长相等，
∴MC=MN，
∵圆锥的高为8cm，直径为12cm，
∴MO=8，OC=DC=6
在Rt△MOC中
.
故答案为：C.
【分析】连接DC，MN，可得到MC=MN，同时可求出MO，OC的长，再利用勾股定理求出MN的长.
4．如图所示，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走4km，又往北走3.5km，遇到障碍后又往西走1km，再转向北走到4.5km处往东一拐，仅走3km就找到宝藏．问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是多少？
【答案】解：设过A点东西方向的直线为AD，过点B作BC⊥AD于点C，
则AC=4-1+3=6(km)，BC=4.5+3.5= 8(km)．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=62+82=102 ，所以AB=10 km．
所以登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是10 km．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设过A点东西方向的直线为AD，过点B作BC⊥AD于点C， 利用已知条件可得到CA，BC的长；在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长.
二、通能力
5．如图所示，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ）
A．600m B．500m C．400m D．300m
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】如图所示．
∵BC∥AD，所以∠DAE=∠ ACB．
又BC⊥AB，DE⊥AC，
∴∠ABC=∠DEA= 90°．
∵AB= DE=400 m，所以△ABC≌△DEA．
∴EA= BC= 300 m．
在Rt△ABC中，AC2=AB2+ BC 2= 5002，
∴AC=500 m，所以CE=AC- AE= 200 m，
从B到E的两种走法：①BA+AE=700m；②BC+CE=500m．．
所以最近的路程是500 m．
故答案为：B.
【分析】利用平行线的性质可证得∠DAE=∠ ACB，利用垂直的定义可证得∠ABC=∠DEA，再利用；再利用AAS证明△ABC≌△DEA，利用全等三角形的性质可求出AE的长；在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，利用CE=AC- AE，可求出CE的长；观察图形可知从B到E的两种走法，分别求出两种走法的路径长，比较大小，可作出判断.
6．如图所示是一种盛饮料的圆柱形杯，测得其内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里后，外面至少要露出4.6cm，则吸管至少要 cm．
【答案】17.6
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，连接CD，
当吸管底端放在点C的位置，此时露在圆柱形杯外面的最短，
∵测得其内部底面半径为2.5cm，高为12cm，
∴CD=2×2.5=5，AD=12，
在Rt△ACD中
∵吸管放进杯里后，外面至少要露出4.6cm，
∴AE=4.6，
∴CE=AC+CE=13+5.6=17.6cm.
故答案为：17.6.
【分析】连接CD，当吸管底端放在点C的位置，此时露在圆柱形杯外面的最短，利用已知可得到CD，AD的长；再利用勾股定理求出AC的长；然后根据CE=AC+CE，代入计算可求出结果.
7．如图所示，工人师傅按规定做一块钢板，其中AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，∠ADC=90°，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？
【答案】解：连接AC，
∵AD=4 m，CD=3 m，∠ADC=90°，
∴AC2=32+42=52，所以AC=5 m．
∴S△ACD= ×3×4=6(m2)．
在△ABC中，因为AC=5 m，BC=12 m，AB= 13 m，
∴AC2+ BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB= 90°，
∴Rt△ABC的面积= ×5×12= 30(m2)．
∴四边形ABCD的面积为30- 6= 24(m2)．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长；再利用勾股定理证明△ABC是直角三角形；利用三角形的面积公式分别求出△ABC和△ACD的面积，然后求出四边形ABCD的面积.
8．如图所示，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦8米的A处(车尾到大厦墙面)，升起云梯到火灾窗口B处，已知云梯长17米，云梯底部距地面的距离AE=2米，问：发生火灾的住户窗口B距离地面DE的距离？
【答案】解：由题意，可得AC=8米，AB=17米，AE=2米，
则BC2=AB2-AC2=172-82= 152，所以BC=15米．
则BD= BC+CD=AE+ BC=15+2= 17(米)．
答：发生火灾的住户窗口B距离地面17米，
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理求出BC的长；再根据BD= BC+CD=AE+ BC，代入计算求出BD的长.
9．如图所示，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m，现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间有多长？
【答案】解：设卡车开到C处时学校刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响，如图所示，
则有CA= DA=100m
在Rt△ABC中，CB2 =AC2-AB2 = 1002-802=602，
所以CB= 60m，
所以CD=2CB= 120m，
则该校受影响的时间为120÷5=24(s)．
答：该学校受影响的时间为24秒。
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的应用
【解析】【分析】设卡车开到C处时学校刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响，利用已知可得到CA，DA的长， 利用勾股定理求出CB的长，利用等腰三角形的性质可求出CD的长；然后利用路程÷速度=时间，代入计算可求出结果.
三、通素养
10．如图所示，我国海监船在某海岛O点的海域巡航．OA⊥OB，OA=36海里，OB=12海里，我国海监船在点B处发现点A处有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．
（1）请用直尺和圆规作出C处的位置．(不写作法，保留作图痕迹)
（2）求我国海监船行驶的航程BC的长．
【答案】（1）解：作AB的垂直平分线与OA交于点C，如图所示．
（2）解：连接BC，由作图，可得CD为AB的垂直平分线，
则CB= CA．
由题意，可得0C=36-CA=36- BC．
因为OA⊥OB，所以在Rt△BOC中，BO2+OC2= BC2，
即122+(36- BC)2= BC2 ，解得BC= 20海里．
所以我国海监船行驶的航程BC的长为20海里．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用尺规作图作出AB的垂直平分线与OA交于点C.
（2）连接BC，利用垂直平分线的性质可证得CB=CA，可求出OC的长，再利用勾股定理求出BC的长.
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