2023-2024学年山东省淄博市高青县七年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2023-2024学年山东省淄博市高青县七年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个三角形的两边长分别为和，则此三角形第三边长可能是( )
A. B. C. D.
2.如图，，的垂直平分线交于，连接，若，则( )
A.
B.
C.
D.
3.如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上，点在点的右侧且，则点所表示的数为( )
A. B. C. D.
4.如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”若，，则正方形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
5.在平面直角坐标系中，已知点和点关于轴对称，则的值是( )
A. B. C. D.
6.已知，，那么下列各式正确的是( )
A. B. C. D.
7.已知点，且有，则点一定不在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第四象限 D. 坐标轴上
8.若点，都在直线上，则下列大小关系成立的是( )
A. B. C. D.
9.小丽与爸妈在公园里荡秋千如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是( )
A. B. C. D.
10.如图，四边形是长方形地面，长，宽，中间竖有一堵砖墙高，一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是______ ．
12.如图，长方形中，点在边上，将一边折叠，使点恰好落在边的点处，折痕为若，，则的长是 ．
13.某市新能源出租车的收费标准如下：千米以内包括千米收费元，超过千米后，每超千米就加收元．若某人乘出租车行驶的距离为千米，则需付费用与行驶距离之间的函数关系式是______．
14.添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情如图，在中，，是高，是外一点，，，若，，，求的面积同学们可以先思考一下，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取，如图同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得的面积为______ ．
15.如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足下列结论：≌；；；其中正确的是______ ．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
如图，在四边形中，，点为对角线上一点，，且求证：≌．
17.本小题分
如图，在正方形网格中，已知的三个顶点在格点上．
画出关于直线的轴对称图形；
若正方形网格的单位长度为，求的面积．
18.本小题分
已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分
求、、的值；
求的平方根．
19.本小题分
已知点，解答下列各题：
若点在轴上，求出点的坐标；
若点的坐标为，且轴，求出点的坐标．
20.本小题分
如图，直线的解析式为，且与轴交于点，直线经过点、，直线，相交于点．
求点的坐标；
求的面积．
21.本小题分
已知：如图，在中，平分在上截取，连结若，．
求证：≌；
求的周长．
22.本小题分
长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：测得水平距离的长为米；根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；牵线放风筝的小明的身高为米．
求风筝的垂直高度；
如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？
23.本小题分
在一条笔直的公路旁，依次有小芳家、早餐店、学校某休息日的早上点，小芳步行匀速从家去学校取落在学校的学习用品，小芳出发分钟后，王老师从学校步行匀速前往早餐店买早餐后原路原速返回学校，已知王老师步行速度是米分，在早餐店买早餐用了分钟，两人同时到达学校小芳和王老师距学校的距离米和小芳出发的时间分钟之间的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
图中 ______ ；小芳家和早餐店之间的距离是______ 米；
求王老师从早餐店返回学校过程中与之间的函数解析式；
王老师出发多长时间，王老师和小芳相距米？请直接写出答案．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：设第三边长为，
则，
，
故选：．
根据已知边长求第三边的取值范围为：，因此只有选项C符合．
本题考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边长，则第三边的范围为大于两边差且小于两边和．
2.【答案】
【解析】解：垂直平分，
，
故选C
由已知条件，根据线段垂直平分线的性质得到线段及角相等，再利用直角三角形两锐角互余得到答案可得．
本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；解决本题的关键是利用线段的垂直平分线性质得到相应的角相等，然后根据三角形的内角和求解．
3.【答案】
【解析】解：正方形的面积为，且，
，
点表示的数是，且点在点右侧，
点表示的数为．
故选：．
根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合点所表示的数及间距离可得点所表示的数．
本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键．
4.【答案】
【解析】解：直角三角形较短的直角边为，
所以，正方形的面积．
故选：．
根据勾股定理求出另一条直角边，利用中间小正方形的面积大正方形的面积个全等的直角三角形的面积，求出即可．
本题考查勾股定理的应用，解答时需要通过图形获取信息解题．
5.【答案】
【解析】解：由点和点关于轴对称，得
，．
则．
故选：．
根据关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得、的值，根据有理数的加法，可得答案．
本题考查了关于轴对称的点的坐标，利用关于轴对称的点的坐标特征得出、的值是解题关键．
6.【答案】
【解析】解：；
故选：．
根据立方根的规律解答即可．
本题考查立方根，根据立方根的规律解答是解决问题的前提．
7.【答案】
【解析】解：根据点，且有，
所以，或，，
所以点一定不在第一象限，
故选：．
应先判断出所求的点的横、纵坐标的符号，进而判断点所在的位置．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，结合，即可得出．
【解答】
解：，
随的增大而减小，
又点，都在直线上，且，
．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：由题意可知，，
，
．
，
在和中，
，
≌，
，，
、分别为和，
，
，
，
答：爸爸是在距离地面的地方接住小丽的．
故选：．
由直角三角形的性质得出，根据可证明≌，由全等三角形的性质得出，，求出的长则可得出答案．
本题考查了全等三角形的应用，直角三角形的性质，证明≌是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：如图所示，将图展开，图形长度增加，
原图长度增加米，则，
连接，
四边形是长方形，，宽，
，
蚂蚱从点爬到点，它至少要走的路程．
故选：．
连接，利用勾股定理求出的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可．
本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键．
11.【答案】
【解析】解：由题意可知：，
解得：，
所以这个数是，
故答案为：．
根据平方根的性质即可求出答案．
本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．
12.【答案】
【解析】解：设，则，
折叠后点恰好落在边的点处，
，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，
即的长为．
故答案为：．
设，表示出，根据翻折变换的性质可得，然后利用勾股定理列出方程求解即可．
本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，此类题目熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：由题意可得：
．
故答案为：．
先判断行驶的距离是千米还是千米以上，再根据题意列出解析式化简即可．
本题考查了一次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式．
14.【答案】
【解析】解：如图所示，连接，
，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由≌，求出，的长，再由面积公式求得即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：为的角平分线，
，
在和中，
，
≌，
故正确；
，
，，
，
，
故正确；
，，，
，
，
，
，
故正确；
在上截取，连接，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
故正确，
故答案为：．
由，，，根据“”证明≌，可判断正确；由全等三角形的性质得，由，，得，则，可判断正确；因为，所以，而，则，可判断正确；在上截取，连接，可证明≌，得，则，因为，所以，则，即可证明，可判断正确，于是得到问题的答案．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键．
16.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌．
【解析】结合平行线的性质，由“”可证≌．
本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，还考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较典型，难度适中．
17.【答案】解： 如图，为所作；
的面积．
【解析】利用网格特点和对称轴的性质，分别画出点、、关于直线的对称点、、即可；
用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积．
本题考查了轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
18.【答案】解：的立方根是，
，
，
，
的算术平方根是，
，，，
是的整数部分，
；
，，，
，
即，
的平方根是．
【解析】直接利用立方根以及算术平方根的定义得出，，的值；
利用中所求，代入求出答案．
此题主要考查了估算无理数的大小以及算术平方根和立方根，正确把握相关定义是解题关键．
19.【答案】解：点在轴上，
，
，
，
点的坐标为；
点的坐标为，且轴，
，
，
，
点的坐标为．
【解析】由轴上的点的横坐标为，可得，从而可解得的值，再将的值代入计算，则可得答案；
由平行于轴的点的纵坐标相同，可得，解得的值，再将的值代入计算，则可得答案．
本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解题的关键．
20.【答案】解：直线的解析式为，且与轴交于点，
令，得，
；
设直线的解析式为，
，，
，
解得，
直线的解析式为．
由，
解得，
．
，
．
【解析】利用直线的解析式令，求出的值即可得到点的坐标；
根据点、的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，得到点的坐标，再联立直线，的解析式，求出点的坐标，然后利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解．
本题考查了两直线相交的问题，直线与坐标轴的交点的求解，待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象与二元一次方程组的关系，解题时注意：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
21.【答案】证明：平分，
，
在和中，
，
≌．
解：，，，
，
，
的周长是．
【解析】先由平分证明，再根据全等三角形的判定定理“”证明≌；
根据全等三角形的对应边相等得，由先求出的值，再求出的值，即得到的周长．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、根据转化思想求三角形的周长等知识与方法，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并证明是解题的关键．
22.【答案】解：在中，
由勾股定理得，，
所以，负值舍去，
所以，米，
答：风筝的高度为米；
由题意得，米，
所以米，
所以米，
所以米，
所以他应该往回收线米．
【解析】利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：由题意和函数图象可知：王老师从学校步行匀速前往早餐店买早餐后原路原速返回学校，共用了分钟，小芳家离学校米，
王老师步行速度是米分，在早餐店买早餐用了分钟，
，
学校到早餐店的距离是：米，
小芳家和早餐店之间的距离是：米，
故答案为：，；
由可知，学校到早餐店的距离是米，王老师在小芳出发后分钟从早餐店返回学校，至小芳出发分钟到达学校，
设王老师从早餐店返回学校过程中与之间的函数解析式为，
则，
解得，
王老师从早餐店返回学校过程中与之间的函数解析式为；
由题意及函数图象可知，小芳家离学校米，小芳步行匀速从家去学校用了分钟，
小芳步行的速度为米分，
小芳距学校的距离和小芳出发的时间之间的函数解析式为，
若王老师从学校去早餐店的途中和小芳相距米，
则，
解得，
；
当时，，
，
王老师在早餐店买早餐的过程中，存在和小芳相距米，
，
解得，
分钟；
若王老师从早餐店返回到学校的过程中和小芳相距米，
则，
解得，
分，
综上，王老师出发分钟或分钟或分钟和小芳相距米．
由题意和函数图象可知王老师从学校步行匀速前往早餐店买早餐后原路原速返回学校，共用了分钟，小芳家离学校米，
从而可求出的值及学校到早餐店的距离，进而求出小芳家和早餐店的距离；
设王老师从早餐店返回学校过程中与之间的函数解析式为，由题意和图象知过点和点，从而利用待定系数法求出解析式；
先求出小芳家到学校的距离与小芳出发的时间之间的函数关系式，然后分类讨论分别求出王老师出发的时间．
本题考查了一次函数的应用，即一次函数与路程之间的关系，读懂题意，从图象中得到信息，求出一次函数解析式是解题的关键．
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