2023-2024学年天津市宁河区高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年天津市宁河区高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题4分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.双曲线的焦距为( )
A. B. C. D.
3.在等比数列中，，则( )
A. B. C. D.
4.圆：与圆：的位置关系是( )
A. 相交 B. 相离 C. 内切 D. 内含
5.若数列的前项和，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
6.已知等差数列的前项和为，若，公差，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.设椭圆的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，其中一个焦点在抛物线的准线上，且椭圆上的任意一点到两个焦点的距离的和等于，则椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
8.已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为( )
A. B. C. D.
9.设点为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的渐近线交于，两点均异于点若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.已知数列满足，，，则 ______ ．
11.双曲线的渐进线方程是 ．
12.若直线与圆相切，则实数的值为______ ．
13.在棱长为的正方体中，为线段的中点，则点到直线的距离______ ．
14.有下列命题：
抛物线的准线方程为；
已知直线过两点，，则此直线的斜率是；
若方程表示双曲线，则实数的取值范围是．
其中正确命题的序号为______ 把正确的答案都填上．
15.数列的前项和为，，则 ______ ；设数列的前项和为，则 ______ ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线：上．
Ⅰ求圆的标准方程；
Ⅱ若过点且平行于的直线与圆相交于，两点，求弦的长．
17.本小题分
已知数列是等差数列，满足，，数列是首项为的等比数列，且，，成等差数列．
Ⅰ求，的通项公式；
Ⅱ设，求数列的前项和
18.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，为的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值；
Ⅲ求平面和平面的夹角的余弦值．
19.本小题分
已知椭圆的离心率为，右焦点为．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ设直线与椭圆交于，两点，求的面积．
20.本小题分
已知数列满足：，．
Ⅰ求证：数列为等差数列；
Ⅱ设，求数列的前项和；
Ⅲ设，求数列的前项和．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：直线的倾斜角为，
则，
，
故选：．
根据直线和斜率和倾斜角的关系即可求出．
本题考查了直线和斜率和倾斜角的关系，属于基础题
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的标准方程与性质，属于基础题．
在双曲线的标准方程下，由，易于求得，而双曲线的焦距是，则问题解决．
【解答】
解：由题意得，
所以，则双曲线的焦距为．
故答案选：．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，数列为等比数列，
则．
故选：．
根据题意，由等比数列的性质可得，即可得答案．
本题考查等比数列的性质，注意下标的关系，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：圆：的圆心，半径为；
与圆：的圆心为，半径为；
故圆心距，
故；
故两圆的位置关系为相交．
故选：．
直接利用两圆的位置关系求出结果．
本题考查的知识要点：圆与圆的位置关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：因为，则，
时，，
当时，，
故．
故选：．
利用数列的前项和与通项的关系求出通项公式即可．
本题主要考查数列的前项和与通项的关系，考查计算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为等差数列的前项和为，，公差，
则，
根据二次函数的性质可知，当时，取得最小值．
故选：．
由已知结合等差数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的求和公式的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：根据题意可得，
解得，，，又椭圆的焦点轴上，
所求椭圆方程为．
故选：．
根据抛物线与椭圆的几何性质，即可求解．
本题考查抛物线与椭圆的几何性质，方程思想，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：抛物线上的一点到焦点的距离为，
，
，
抛物线的焦点坐标为：
故选：．
根据抛物线的定义，可得，求出，即可求抛物线的焦点坐标．
本题考查抛物线的定义与性质，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：如下图所示：
连接、，设，
由对称性可知，为的中点，，
因为，则线段是以为直径的圆的一条直径，则为圆心，
故为的中点，
又因为，且、互相垂直且平分，
所以，四边形为正方形，
则，
所以，
所以，该双曲线的离心率为．
故选：．
作出图形，分析可知，四边形为正方形，可得出，求出的值，进而可求得该双曲线的离心率的值．
本题考查双曲线的性质，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：由，，，
可得，
，，，．
故答案为：．
由已知数列的递推式代入计算可得所求．
本题考查数列的递推式，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的渐近线方程，比较基础．
由双曲线，可得，即可求解．
【解答】
解：由双曲线，可得，
所以渐近线方程为．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：圆的方程化为，
所以圆心为，半径，
因为直线与圆相切，
所以，
解得．
故答案为：．
求出圆心与半径，然后利用圆心到直线的距离等于半径，列出的方程求解．
本题考查直线与圆的位置关系，切线方程的求法及应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：如图，
正方体中，平面，平面，则，
又因为，
所以到直线的距离为．
故答案为：．
先证，通过等面积法求点线距离即可．
本题考查了几何法求点到线的距离，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：抛物线中，可得，即，所以准线方程为，所以正确；
已知直线过两点，，则此直线的斜率是，所以正确；
若方程表示双曲线，则，解得或，所以实数的取值范围是，所以不正确．
故答案为：．
中由抛物线的方程可得的值，进而求出抛物线的准线方程，判断出的真假；中，由两点可得直线的斜率，判断出的真假；中，由双曲线满足的条件，可得的范围，判断出的真假．
本题考查抛物线及双曲线的性质的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意，当时，，解得，
当时，，
化简整理，得，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
，，
，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
．
故答案为：；．
先根据题干表达式并结合公式即可推导出数列是以为首项，为公比的等比数列，从而计算出数列的通项公式，进一步计算出数列的通项公式，并判断出数列是以为首项，为公比的等比数列，最后根据等比数列的求和公式即可计算出前项和．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了分类讨论思想，转化与化归思想，等比数列的通项公式与求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
16.【答案】解：Ⅰ设的中点为，则，
由圆的性质得，
，，而，即斜率不存在，
所以线段的垂直平分线方程是，
圆心在直线：上，可得圆心为和直线：的交点，
即圆心，，
所以圆的标准方程为；
Ⅱ因为过点且平行于：，
则直线的方程为，即
圆心到直线的距离为，
所以．
【解析】Ⅰ利用圆的几何性质，圆心在的中垂线上，即可求出圆心，再利用圆心到圆上点的距离即为半径，从而得到圆的标准方程；
Ⅱ先利用点斜式写出直线的方程，求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理分析求解即可．
本题考查了圆的方程的求解、弦长的求解，涉及了圆的几何性质的应用、直线与圆位置关系的应用，解题的关键是掌握直线与圆位置关系的处理方法．
17.【答案】解：Ⅰ设等差数列的公差为，
由，可得，记为，
又因为，可得，记为，
由可得，
故的通项公式为；
设等比数列的公比为，由，，的等差数列，
可得，即，
化简可得，
所以，
故的通项公式为；
Ⅱ由可知，
所以
．
【解析】Ⅰ由题意得到和，利用等差数列、等比数列的通项公式和等差中项即可求解；
Ⅱ利用等差数列和等比数列的求和公式即可求解．
本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，属于中档题．
18.【答案】解：Ⅰ以为原点，分别以、、的正方向为、、轴正方向，建立空间直角坐标系，
如图所示：则依题意有，
，，，，，，
，，，．
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
所以，
因为，所以，
且平面，
所以平面E.
Ⅱ设直线与平面所成角为，由有，
．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
Ⅲ设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
所以，
平面和平面的夹角为，
则
．
所以平面和平面的夹角的余弦值为．
【解析】建立空间直角坐标系对ⅠⅡⅢ证明及求解．
本题考查了利用空间向量证明直线与平面平行及求空间角，考查了数形结合思想及转化思想，属于中档题．
19.【答案】解：Ⅰ因为椭圆的离心率为，右焦点为，
所以，，所以，
，
所以椭圆的方程为．
Ⅱ设，，
由，得，，
，，；
到直线的距离为，
所以的面积为．
【解析】Ⅰ根据椭圆的焦点和离心率可知，可求，根据求出，即可求出椭圆的方程；
Ⅱ联立直线和椭圆的方程，消元，利用韦达定理和弦长公式求出，利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，即可求出的面积．
本题考查椭圆的方程和性质，直线和椭圆的位置关系，属中档题．
20.【答案】Ⅰ证明：已知数列满足：，．
则，
又，
即数列是以为首项，为公差的等差数列；
Ⅱ解：由Ⅰ可得，
则，
又，
则，
则；
Ⅲ解：由Ⅰ可得，
则，
则，
由可得，
则，
即．
【解析】Ⅰ由题意可得，即数列是以为首项，为公差的等差数列；
Ⅱ由Ⅰ可得，则，然后累加即可；
Ⅲ由Ⅰ可得，然后结合错位相减法求和．
本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了裂项求和及错位相减法求和，属中档题．
第1页，共1页