2023-2024学年黑龙江省大庆重点中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年黑龙江省大庆实验中学实验二部高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
2.已知为等差数列的前项和，，则( )
A. B. C. D.
3.已知圆：与圆：的公共弦所在直线与直线：垂直，则的值为( )
A. B. C. D.
4.某比赛为甲、乙两名运动员制定下列发球规则，规则一：投掷枚质地均匀的硬币，出现正面向上，甲发球，否则乙发球；规则二：从装有质地均匀的个红球与个黑球的布袋中随机取出个球，如果同色，甲发球，否则乙发球；规则三：从装有质地均匀的个红球与个黑球的布袋中随机取出个球，如果同色，甲发球，否则乙发球则对甲、乙公平的发球规则是( )
A. 规则一和规则二 B. 规则二和规则三 C. 规则一和规则三 D. 只有规则一
5.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上第一象限的点，直线与轴相交于点，若为坐标原点，则( )
A. B. C. D.
6.在平面直角坐标系中，，，若直线上存在点满足，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，连接交轴于点若为等边三角形，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则有( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图为某地年至年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是( )
A. 这年粮食年产量的极差为
B. 这年粮食年产量的第百分位数为
C. 这年粮食年产量的中位数为
D. 前年的粮食年产量的方差大于后年粮食年产量的方差
10.已知为每项均为正数等比数列的前项积，若，，则( )
A. 为递减数列 B.
C. 当时，最大 D. 成等比数列
11.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 函数存在三个不同的零点
B. 函数既存在极大值又存在极小值
C. 若时，，则的最大值为
D. 当时，方程有且只有两个实根
12.如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点已知椭圆，其左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，点，若的最大值为，则( )
A. 椭圆的离心率为
B. 若的内切圆半径为，则
C. 若，则
D. 若，垂足为，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.我市男子乒乓球队为备战下届市运会，在某训练基地进行封闭时训练，甲、乙两队队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢两个球者获胜通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响已知某局甲先发球，该局打四个球，甲赢的概率是______ ．
14.已知函数，则曲线在处的切线方程为______ ．
15.已知椭圆，过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，交轴于点．设，，则等于______ ．
16.我们定义为数列的“特别数”现已知数列的“特别数”为，则 ______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
“双十二”是继“双十一”之后的又一个网购狂欢节，为了刺激“双十二”的消费，某电子商务公司决定对“双十一”的网购者发放电子优惠券．为此，公司从“双十一”的网购消费者中用随机抽样的方法抽取了人，将其购物金额单位：万元按照，，，分组，得到如图频率分布直方图：
根据调查，该电子商务公司制定了发放电子优惠券的办法如表：
购物金额单位：万元分组
发放金额单位：元
Ⅰ求购物者获得电子优惠券金额的平均数；
Ⅱ从这名购物金额不少于万元的人中任取人，求这两人的购物金额在万元的概率．
18.本小题分
等差数列的公差不为，其中，，，成等比数列数列满足．
求数列与的通项公式；
若，求数列的前项和．
19.本小题分
已知双曲线，其渐近线方程为，点在上．
求双曲线的方程；
过点的两条直线，分别与双曲线交于，两点不与点重合，且两条直线的斜率之和为，求证：直线过定点．
20.本小题分
给定数列，若满足且，且对于任意的，，都有，则称为“指数型数列”若数列满足：，，．
判断数列是否为“指数型数列”？若是，给出证明；若不是，请说明理由；
设，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
21.本小题分
设抛物线：的焦点为，抛物线上一点的横坐标为，过点作抛物线的切线，与轴交于点，与轴交于点，与直线：交于点当时，．
求抛物线的方程；
若为轴左侧抛物线上一点，过作抛物线的切线，与直线交于点，与直线交于点，求面积的最小值，并求取到最小值时的值．
22.本小题分
已知函数．
若恒成立，求实数的值；
若，，，证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题给出抛物线的方程，求它的准线方程．着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．
将抛物线化成标准方程，得，由此求出，即可得到该抛物线的准线方程．
【解答】
解：抛物线方程化简，得，
，可得，
因此抛物线的焦点坐标为，准线方程为．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，等差数列中，，
则．
故选：．
根据题意，由等差数列的前项和公式以及等差数列的性质可得，计算可得答案．
本题考查等差数列的求和，涉及等比数列的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：把圆与圆的方程相减得：，即为圆与圆的公共弦所在直线方程，
由直线与直线垂直，得，解得，
当时，圆：，即的圆心，半径，
而圆：的圆心，半径，
于是，则圆与圆相交，符合题意，
所以的值为．
故选：．
求出圆与圆的公共弦所在直线方程，再由垂直关系求出并验证即得．
本题主要考查两圆的公共弦所在方程的求解，考查计算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：对于规则一，每人发球的概率都是，是公平的，
对于规则二，记个红球分别为红，红，个黑球分别为黑，黑，
则随机取出个球的所有可能的情况有：
红，红，红，黑，红，黑，红，黑，红，黑，红，黑，黑，黑，共种，
其中同色的情况有种，
甲发球的可能性为，不公平；
对于规则三，记个红球分别为红，红，红，
则随机取出个球所有可能情况有：
红，红，红，红，红，黑，红，红，红，黑，红，黑，共种，
其中同色的情况有种，
两人发球的可能性均为，是公平的，
对甲、乙公平的规则一和规则三．
故选：．
计算出三种规则下甲发球和乙发球的概率，当两人发球的概率均为时，该规则对甲、乙公平，由此可得出正确选项．
本题考查利用规则的公平性问题，同时也考查了利用古典概型的概率公式计算事件的概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：由椭圆，可得：，，，点在椭圆上．
因为，．
所以轴，
所以．
因为，
所以，
所以．
故选：．
先由点在椭圆上可确定点的位置，得出；再根据椭圆的定义可得，进而可得出答案．
本题主要考查椭圆的性质，考查计算能力和转化思想的应用，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：设点的坐标为，因为，，，
所以，整理得：，
所以点的轨迹是以圆心，半径为的圆；
所以圆心到的距离为，
要使直线上存在点满足，只需满足直线与圆相交或相切．
即，解得：．
故选：．
求出点的轨迹方程，要使直线上存在点满足，只需满足直线与圆有公共点．
本题考查了圆的方程，点到直线的距离公式，以及直线与圆的位置关系，是中档题．
7.【答案】
【解析】解：由题意，因为为等边三角形，
所以，，
因为≌，
所以，，即，故点，
因为，
则，解得．
故选：．
利用等边三角形的性质以及三角形全等，结合双曲线的几何性质，求出双曲线的离心率．
本题考查双曲线的几何性质的运用，双曲线离心率的求法，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：把，，变形得，，，
所以构造函数，则，，，
又，
令，则在上恒成立，
所以在区间上单调递增，
因为，
所以在上恒成立，
所以函数在上单调递增，
所以，即．
故选：．
函数，则，，，确定函数的单调性，通过单调性可确定大小．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：选项，将样本数据从小到大排列为，，，，，，，，，，
这年的粮食年产量极差为，故A正确；
选项，，结合选项可知第百分位数为第个数，故B正确；
选项，从小到大，选取第个和第个的数的平均数作为中位数，
这年的粮食年产量的中位数为，故C正确；
选项，结合图形可知，前年的粮食年产量的波动小于后年的粮食产量波动，
所以前年的粮食年产量的方差小于后年的粮食年产量的方差，故D错误．
故选：．
选项，由极差，百分位数和中位数的定义求出答案；选项，根据图形及方差的意义得到D错误．
本题考查统计图表的相关信息，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为，且，
所以，即，
同理由可得，
即，所以且，
又，所以，
又，为正数等比数列，
设公比为，则，
所以单调递减，且最大，故A，C正确，B错误；
因为，的公比为，
则，
即为等比数列，故D正确．
故选：．
根据等比数列的性质结合，可推出且，从而可判断等比数列的公比的范围，即可判断，，；利用等比数列的定义可判断．
本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：由可得，
令，得或，
当或时，，即在，上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
则有极小值，极大值为，B正确；
又，，即在内有个零点；
又，故在内有个零点；
当时，，此时无零点，
故函数存在个不同的零点，A错误；
结合以上分析可作出函数图象：
函数在时取极大值，
故时，，则的最大值为，C正确；
结合函数图像可知当时，图象与只有个交点，
故方程有且只有两个实根，D正确．
故选：．
求出函数的导数，判断单调性，即可求得极值，判断；结合函数单调性以及零点存在定理可判断；结合函数单调性以及极值可判断；结合函数的图象，数形结合可判断．
本题主要考查函数的单调性和极值，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由，
当且仅当，，三点共线时取得等号，解得，
则椭圆方程为，则，A错误；
对，的内切圆半径为，则，
解得，根据对称性不妨设在第一象限，由，解得，
则，，
则，即，B正确；
由椭圆的光学性质，得点与垂直的直线为角的角平分线，，
则，则，，则，，，
则，则，
，解得或，C错误；
对，如图，延长，交于点，则在中，，，
则且为中点，在中，
，
则点在以原点为圆心，为半径的圆上，即，D正确．
故选：．
对，结合椭圆定义及三角形不等式即可求解；对，应用等积法及向量数量积即可求解；对，应用角平分线的性质及余弦定理即可求解；对，延长，交于点，应用对称性及圆的定义即可求解．
本题考查椭圆的简单性质，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．
13.【答案】
【解析】解：由于连胜两局者赢，甲先发球可分为：
该局：第一个球甲赢、第二个球乙赢、第三个球甲赢、第四个球甲赢，
则概率为．
故答案为：．
由于连胜两局者赢，则可写出四局的结果，计算即可．
本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：函数，，所以，又，
故所求切线方程为，即．
故答案为：．
先求出导函数，然后求出斜率，进而可得切线方程．
本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意，，，所以点坐标为
设直线方程为：，点坐标为，点坐标为，得点坐标，
，
，
，
，，
直线方程，代入椭圆消去
可得．
，，
故答案为．
设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量条件，即可得到结论．
本题考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由于为数列的“特别数”，又数列的“特别数”为，
所以，则，
当时，，
当时，，
减去可得：，又符合该式，
所以，
则，
所以
．
故答案为：．
根据“特别数”的概念可得，利用相减法求得数列通项，再根据裂项相消法求得结论即可．
本题考查“特别数”的定义和运用，以及数列的通项与前项和的关系，数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：Ⅰ购物者获得元优惠券的概率为：，
购物者获得元优惠券的概率为：，
购物者获得元优惠券的概率为：，
获得优惠券金额的平均数为：元．
Ⅱ这名购物者购物金额不少于万元的共有人，
不妨记为，，，，，，，其中购物金额在万元有人，记为，，，，，
从购物金额不少于万元人中选人，有种可能，
这两人来自于购物金额在万元的人，共有种可能，
这两人的购物金额在万元的概率为．
【解析】Ⅰ购物者获得元优惠券的概率为，购物者获得元优惠券的概率为，购物者获得元优惠券的概率为，由此能求出获得优惠券金额的平均数．
Ⅱ这名购物者购物金额不少于万元的共有人，不妨记为，，，，，，，其中购物金额在万元有人，记为，，，，，从购物金额不少于万元人中选人，利用列举法能求出这两人的购物金额在万元的概率．
本题考查频率平均数的求法，考查概率的求法，考查频率分布直方图、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
18.【答案】解：由已知，又
故
解得舍去，或
故当时，可知
当时，可知
得
又也满足，故当时，都有．
由知
故
由得
解得
【解析】直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；
利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和．
数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
19.【答案】解：因为双曲线的渐近线方程为，
所以，
因为点在双曲线上，
所以，
联立，解得，，
则双曲线的方程为；
证明：易知直线的斜率存在，
不妨设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
即，
又，
解得，
由韦达定理得，，
不妨设直线，的斜率分别为，，
因为，
所以
，
整理得，
当时，直线的方程为，
此时直线经过点，不符合题意；
当时，直线的方程为，
此时直线经过点，
将代入中，
解得，满足题意．
故直线过定点．
【解析】由题意，根据题目所给信息，列出等式求出和的值，进而可得双曲线的方程；
设出直线的方程，将直线的方程与双曲线方程联立，结合韦达定理以及斜率运算求出和的关系，再进行求证即可．
本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：给定数列，若满足且，且对于任意的，，都有，则称为“指数型数列”．
令，
即“指数型数列”满足，
又数列满足：，，．
则，
则，
即数列是“指数型数列”；
由可得数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，
则，
对于任意的，不等式恒成立，
即，
即，
设，则，，
则上式转化为，
令，，，
根据对勾函数的单调性可知，在时单调递增，
故，
则，
当时，，
所以，
所以，
故的范围为．
【解析】由已知可变形得，，然后结合等比数列的定义即可判断；
由已知不等式恒成立，分离参数，结合不等式恒成立与最值关系的转化，结合函数的单调性可求．
本题以新定义为载体，主要考查了数列的递推关系的应用，还考查了不等式恒成立与最值关系的转化，属于中档题．
21.【答案】解：由题知，，
所以，，切点，
切线的方程：，
令，得，令，得，
所以为的中点，
因为根据焦半径公式得：，
所以，，
因为，
所以，即，
所以抛物线的方程为；
设，由得方程：
同理方程，联立得，
所以，
因为直线的方程为：，
所以，
所以，
所以，
令，
，
令，则，
当时，单调递减，当时，单调递增，
，当且仅当时取“”，此时．
所以面积的最小值为，此时的值为．
【解析】根据题意得切线的方程：，进而得为的中点，再根据焦半径公式得，进而根据几何关系得，由此可得抛物线的方程；
结合得，，，进而得，，再整理，利用换元法结合导数求解最值即可．
本题考查抛物线的切线问题，抛物线中的三角形面积最值问题，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是难题．
22.【答案】解：由题意得：定义域为，；
当时，，在上单调递增，
若，则，时，，不合题意；
若，则，不合题意；
当时，若，则；若，则；
在上单调递减，在上单调递增，；
若恒成立，，
令，则，当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
又，；
则当时，符合题意；
综上所述：．
证明：由得：，
令，则，当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；
由得：；，，
当时，由得：，；
当时，要证，只需证，，，则只需证，
又，只需证；
令，，
则，
在上单调递减，，，
即，即得证，；
综上所述：成立．
【解析】当时，由可知函数单调递增，通过反例可说明不合题意；当时，可得单调性，知；构造函数，利用导数可求得，由此可得，知；
将已知不等式化为，令，利用导数可求得单调性，易知时成立，当时，采用分析法可知只需证得即可，构造函数，，利用导数可说明，由此可得结论．
本题考查利用导数求解恒成立、证明不等式的问题；本题证明不等式的关键是能够采用同构法将所给不等式化为的形式，结合极值点偏移的分析思想将问题转化为证明，从而通过构造函数来进行证明．
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