2024年中考复习数学专项练习——反比例函数与一次函数交点问题

2024年中考复习数学专项练习
反比例函数与一次函数交点问题
1．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出时，x的取值范围；
(3)求的面积．
2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)连接，求的面积；
(3)根据图象，请直接写出满足不等式的x取值范围．
3．如图，点在函数的图象上，过点M分别作x轴和y轴的平行线交函数的图象于点B、C．
(1)求反比例函数、直线的解析式；
(2)求的面积．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)请直接写出不等式的解集：
(3)点P为反比例函数图象上的任意一点，若，求点P的坐标．
5．如图1，平行四边形中，，，连接，，动点P以每秒1个单位的速度从点C出发沿折线运动，设点P运动时间为x秒，的面积为，
(1)请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
(3)的函数图象如图2所示，当时请直接写出x的取值范围．（结果保留一位小数，误差小于0.2）
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象上与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点，已知点，点的横坐标为．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点是轴上一点，且，求点坐标．
7．如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于点和点，与x轴交于点C．
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)连接，求的面积．
8．如图，直线与反比例函数的图像在第一象限交于点，已知，直线与轴的夹角为．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点是坐标轴上的一点，当是直角三角形时，直接写出点的坐标．
9．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．
(1)求一次函数和反比例函数的关系式；
(2)若点是点关于轴的对称点，求的面积．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，B两点，C为反比例函数图象第四象限上一动点．
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)当四边形的面积为36时，求此时点C的坐标；
(3)我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“垂等四边形”．设点D是平面内一点，是否存在这样的C，D两点，使四边形是“垂等四边形”，且？若存在，求出C，D两点的坐标；若不存在，请说明理由．
11．在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点，与反比例函数的图象交于点B．过点B作轴于H．

(1)若，，求直线的解析式；
(2)平移（1）中的直线，若，直接写出m的取值范围．
12．如图，直线与双曲线只有一个交点，且与x轴、y轴分别交于B，C两点，垂直平分，垂足为D，求直线、双曲线的表达式．
13．如图，过y轴上点A的一次函数与反比例函数相交于B、D两点，，轴于，四边形面积为4．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求点D的坐标；
(3)当x在什么取值范围内，一次函数的值大于反比例函数的值．（直接写出结果）．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象分别与x，y轴交于点B，A，与反比例函数的图象交于点C，D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO＝，OB＝4，OE＝2．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)根据图象直接写出当x＜0且时x的取值范围．
15．在平面直角坐标xOy中，直线与双曲线的一个交点为A(-2，3)，与x轴交于点B．
(1)求m的值和点B的坐标；
(2)点P在y轴上，点P到直线的距离为，请直接写出点P的坐标．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)一次函数的解析式是，反比例函数的解析式是
(2)
(3)8
【详解】（1）解：将代入得，，
解得，，
∴反比例函数解析式为，
将代入得，，即，
将，代入得，，
解得，，
∴一次函数解析式为；
（2）解：由题意知，的解集为一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的的取值范围，
∴由图象得：的解集为；
（3）解：当时，，即，
∴，
∴的面积为．
2．(1)反比例函数的表达式为：
(2)
(3)或
【详解】（1）如图所示，点在反比例函数图象上
∴，则反比例函数的表达式为：
（2）∵在反比例函数图象上，则，即
假设一次函数与y轴交点为C点，
则
∵C点坐标是，则
∴
（3）由图象可得，当时，自变量x的取值范围或．
3．(1)反比例函数解析式为；直线解析式为；
(2)．
【详解】（1）解：把代入中得：，解得，
∴反比例函数的解析式为；
在中，当时，，当时，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
（2）解：∵，，
∴轴，轴，
∴，
∴．
4．(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为
(2)或
(3)或
【详解】（1）解：把点代入直线得：，
直线，
即一次函数的解析式为，
把点代入，得
，
即反比例函数的解析式为；
（2）解：把点代入，得，
∴，
∵，
∴不等式的解集为或；
（3）解：把代入得：，
即点的坐标为：，
，
，
，
，
当点的纵坐标为3时，则，解得，
当点的纵坐标为时，则，解得，
点的坐标为或．
5．(1)
(2)当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大．
(3)或
【详解】（1）解：由勾股定理 ，得
，
∵平行四边形，
∴，
当点P由运动时，即，
，
即；
当点P由运动时，即，
过点A作于E，过点B作交延长线于F，如图，
∵，
∴，
∴，
∵平行四边形，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
，
即；
综上，关于x的函数表达式为．
（2）解：如图所示：
由图可得：当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大．
（3）解：由图象可得：当时，或．
6．(1)，；
(2)或．
【详解】（1）解：将点代入，得，
反比例函数的解析式为，
点的横坐标为，
将代入，得，
．
将，代入，
得，解得，
一次函数的解析式为；
（2）由可知，
，
，
或．
7．(1)，点B的坐标为；
(2)
【详解】（1）解：将代入，
得，
∴反比例函数的表达式为；
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
则点B的坐标为；
（2）解：由和在一次函数的图象上，
∴，解得，
一次函数的表达式为．
在中，令，
解得，
∴点C的坐标为，则，
．
8．(1)；
(2)或或或．
【详解】（1）如图，过点作轴于，
∵，，
∴，
∴， 由勾股定理得：，
∴点的坐标为，
∵反比例函数 的图象过点，
∴，
∴反比例函数解析式为：；
（2）如图，
当点在轴上时，且，
又∵，
∴， ，
∴点 ；
当点在轴上，且，
又∵，
∴，
∴点；
当点在y轴上，且，
又∵，
∴，，
∴，∴点；
当点在x轴上，且，
∵，
∴，
∴，
∴点，
综上所述：点的坐标为或或或．
9．(1)一次函数解析式，反比例函数解析式
(2)
【详解】（1）解：将代入得，，
反比例函数的关系式为．
在反比例函数的图象上，
，
，
，
将，代入，
可得，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：在中，令，得，
，
点是点关于轴的对称点，
，
，
；
10．(1)，
(2)或
(3)
【详解】（1）解：∵点在直线上，
∴，
解得，
∴，
，
∴反比例函数的表达式为：，
则，
解得：，
∴；
（2）解：如图, 过点作轴，交于，设点的坐标为，
∵，
∴的解析式为：，当时，，
∴
设的解析式为：，
则 ，解得：，
∴的解析式为: ，
，
∵四边形的面积为，
，
即 ，
，
解得： ；
或；
（3）解：存在,
如图, 过点作轴于，过点作轴，过点作于，
在中，当时，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是“垂等四边形”，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴， 即，
∴，
∵，
∴，
∴, 即 ，
，
∴，
设直线的解析式为: ,将点的坐标代入得: ，
，
∴ 的解析式为: ，
，
解得: 或(舍)，
∴；
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴也是等腰直角三角形，
∴ ，
∴，
同理得：的解析式为：，设，
∵，
，
解得：(舍)，
∴．
11．(1)
(2)或
【详解】（1）解：把代入中得：，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入中得：，
∴，
∴直线的解析式为；
（2）解：设平移后的直线解析式为，
联立，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，则，即，
∴，
∴，
解得或（舍去）；
当时，则，即，
∴，
∴，
解得或（舍去）；
综上所述，或．

12．，
【详解】∵点在上 ，
∴，
∴.，
∴双曲线的解析式为，
∵垂直平分，
∴
∴
∵在直线上
∴ ，
解得 ，
∴直线解析式为
13．(1)反比例函数解析式为，一次函数的解析式为
(2)
(3)或
【详解】（1）解：设反比例函数的解析式和一次函数的解析式，图象经过点，
，
反比例函数解析式为，
又四边形面积为4．
，
，，
，
，
将、两点代入，得
，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：联立组成方程组得，
解得，，
点；
（3）解：由图象可得当或时，一次函数的值大于反比例函数的值．
∴当x取值范围为或，一次函数的值大于反比例函数的值．
14．(1)，
(2)－2＜x＜0
【详解】（1），．
，
，．
设直线的解析式为．
将点的坐标分别代入，得
解得
直线的解析式为．
，．
轴于点．
，．
点的坐标为．
设反比例函数的解析式为．
将点的坐标代入，得，
．
该反比例函数的解析式为．
（2）由图象可以看出，图象在y轴的左边时，当横坐标处于OE段时，
∴所求x的取值范围－2＜x＜0．
15．(1)，B的坐标为(1，0)
(2)点P的坐标为(0，3)，(0， 1)
【详解】（1）∵双曲线经过点A(-2，3)，
∴
解得：．
∵直线经过点A(-2，3)，
∴
∴，
∴直线解析式为，
当时，即，
解得：，
∴此直线与x轴交点B的坐标为(1，0)；
（2）设直线的图象交y轴于点C，
∴C(0,1)．
分类讨论：①当点P在C点上方时，如图点，过点作．
由可知，该直线与x轴所夹的锐角为45°．
∴为等腰直角三角形．
∵，
∴，
∴(0，3)；
②当点P在C点下方时，如图点，过点作．
同理可求出，
∴(0，-1)；
答案第1页，共2页