东阳外国语高二数学1月月考
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一、单项选择题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分)
1. 已知函数f(x) =(2x-a) ,且.f'(1)= 3e,则a的值为( )
A. -3 B.3 C. -1 D.1
2. 曲线y=lnx+ln2 -2在点 处的切线方程为( )
A. y = 2x - 3 B. y = 2x C y = 2(x+ 1) D. y = 2x--2
3. 已知抛物线的焦点为F，点M是C上一点，FM的延长线交C的准线l：x = -1于点N, 若 则|FM|=( )
B.2 C. D.
4. 1640年法国数学家费马提出了猜想：是质数，我们称Fn为“费马数”.设 若则k =( )
A.7 B.8 C.9 D.10
5.《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何 意思是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个； 五个五个地数，会剩下3个； 七个七个地数，也会剩下2个，这些物品的数量是多少个 若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，则前10个数的和为( )
A.754 B.755 C.756 D.757
6. 阅读下面材料： 在空间直角坐标系Oxyz中，过点P(x ，y ，z )且一个法向量为 的平面α的方程为
过点P(x ,y ,z )且方向向量为 的直线l的方程为 根据上述材料，解决下面问题：已知平面α的方程为2x-y+z-7=0，直线l是两个平面x-y+2 = 0与2x-z+1=0的交线，则直线l与平面α所成角的余弦值为( )
A.
7. 已知双曲线F,A分别为C的左焦点和右顶点，点P(2，3)是C上的点，若△APF的面积为2, 则C的离心率为( )
A.
8. 如图, 在正三棱柱ABC﹣ A B C 中, D为AC 的中点, E为线段CB 上的动点, 当BD ⊥ AE时, AE =( )
A.2 B. C.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的或不选的得0分)
9. (多选) 已知圆 和圆 点P,Q分别是圆C ,圆C2上的动点，则下列说法正确的是( )
A 与圆C 和圆C 都相切的直线有三条 B.直线 与圆C 和圆C 都相切
C.|PQ|的取值范围是
10. (多选) 已知数列{an}的前n项和为 且对任意正整数n， 恒成立， 数列{bn}的前n项和为Tn，则下列说法正确的是、)
A.数列 是等比数列
11. (多选) 在正方体 1中, E,F,G分别为棱A D ,AA ,CD的中点, 则下列说法正确的是 ( )
B.直线B G与BE所成的角为
C.直线AB交平面EFC于点P, 则 D.直线B F与平面BEF所成角的正弦值为
12. (多选) 已知椭圆 的长轴长为4，离心率为 ，F ，F 分别为椭圆C的左、右焦点，过点F 的直线l与椭圆C相交于A，B两点，则下列说法正确的是( )
A.椭圆C的标准方程为 B.椭圆C上存在点M，使得
C. P是椭圆C上一点, 若 则
D.若△AF F ,△BF F 的内切圆半径分别为r ,r , 当 时，直线l的斜率
三、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知向量 若 且 则m+n=_____
14. 已知直线l:x﹣my+1 = 0与圆C 相交，则当圆C截直线l所得的弦长最短时，直线l的方程为_____
15. 已知正项等差数列{}中, a = 1, 其中a + 1,6,a 构成等比数列, ,数列{bn}的前n项和为Sn,若 n ∈ N*, 不等式λ恒成立，则实数λ的取值范围为 _____
16. 在直三棱柱ABC - A B C 中, AB ⊥ BC, 且 ，已知E为线段CC 的中点，设过点A ，B ，E的平面为α，则平面α截此三棱柱的外接球所得截面的面积为_____ 四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 已知数列{}的前n项和为当n≥ 2时, 数列{bn}中,
(1) 求{}的通项公式;
(2) 记 的前n项和为Tn，求满足 的n的最大取值.
18. 已知抛物线C: ，F为C的焦点，直线l与C交于不同的两点A，B，且点A位于第一象限.
(1) 若直线l经过C的焦点F, 且| ，求直线l的方程；
(2) 若直线l经过点E(2,0),O为坐标原点, 设 的面积为， 的面积为 求 的最小值.
19. 已知等差数列 的前n项和为， 且满足 数列 的前n项和为 且
(1) 求 } 的通项公式；
(2) 设 求数列 的前n项和
20. 已知双曲线E : 的右焦点为 且E过点
(1) 求E的标准方程;
(2) 已知点A为E的右顶点，M，N是E上异于点A的两个不同点，且 证明：直线MN过定点，并求出定点坐标.
21. 如图, 在四棱锥. 中, 底面ABCD为梯形, ..
(1) 求点P到平面ABCD的距离;
(2) 在棱PC上是否存在点F，使得平面DBF与平面PBC夹角的余弦值为 若存在，求出点F的位置； 若不存在，请说明理由.
22. 已知椭圆 的离心率为 且左顶点A与上顶点B的距离
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 不经过坐标原点O的直线l交椭圆C于P，Q两点(P，Q两点不与椭圆上、下顶点重合) ，当 的面积最大时, 求·的值.参考答案
一、单项选择题
1.D解桥：由题设，f'(a)=(2+2c一ae*,又f'(1)=3C,所以f'(1)=(4e=3e,解得a=1.
2.A解折：y=1n2十h2-2得/=立所以迪线划=红+血2-2症点(2-2处的切线a的斜率为
为=儿-=2，风出刻=h2+a2-2在点（分-2）处s0方程为y+2=2(2-为》，即2z-y-3=0
a.A解析：如图示，因为物线C:=2印r(p>0)的线为r=一1，
m以=1，p=2,所以地物线C的方程是V=4,下1,0)设M(eM,w）,N(-1,w,因为F立-衣
4
所ew-1,nm）=-1-1,9w.即-1=×(-2.得aw=方m以F=w+号-2故i选：人
3
4.B解折：因为=22+1，所以a=1og2(F-1)=2n,
所a1十e3十…+010=42-a1·2-)=2-公所a1=2,即2+1=29，除得6=8
1-2
5.B解析：设除以三余二的正愁数为数列{a},则an=3n一1(m∈N),除以还余三的正经数方激列{b,,则ba=5n一2(n∈N),
除以三余二且除以五余三的正整数为数列(c】,而3和5的辰小公倍数为15，做别{c}是出数列{a}和{b}的公共项构成的一个数列，
数列c,}是以8为腊项，15为公差的等差数列.则c。=15m-7,所以前10个数和为10×侣+148=75，
2
6D辉析：因为平面的方为2x一y十z一7=0，所以平面ù的一个法向量为0=(2，-1,1)
同理可蜘，=(1，-1,0与=(2,0，-1汾别为平面如一￥十2=0与2红：-2十1=0的-个法向显
8随方前所成-需亮。不=1感-1到
设直线1与平面a所成的筛为9，则sin9=cos(风，儿-=
,品=2店-2所以os8=V1-in29-9
2
7c解折：设领的焦范为2ae>0.由设知，AP=a+e,则Sap=方pM-受A列=号所e+c=3,且e>a,是知0
又圆为点Pg,在0上，所以是-是-1所-90=6
恩为a2+2=c2,所以4(c2-a2)-9a2=2(c2-a2).则a1-18a2=c2(a2-4=(3-a)2×(a2-4).
化简得a3-3a2-4如+6=(a-1)(a2-2a-6)=0,解6a=1或a=1士V7(舍去).所以a=1,c=2,故C的离心率为。=2
8,4解折：因为E为线段CB1上的动点.所以可设C方=AC瓦，入∈【0,1，
所以A市=Ad+C克=Ad+CB=Ad+入(CB+BB)=Ad+A(A方-Ad+AA1)=λAB+(1-初Ad+λAA.
为5D1AB,动--=忒-应-戒+风-应，
m以励.a应-（侵d+号a属-）[a+-刘a心+d-0,为瓜店=04风心=0，
所以励.店=Ad,店+-花+试-店-1-刘店.ò，
因为衣.店=2Ad=店-花”=4，
所以B市.A充=入+2(1-A)+2入-4A-2(1-)=-A=0,
所以入=0，即点E与点C五合，所以AB=AC三2.
二、多选选择题
9.B,.C解析：选项A,由题台可得，回C的@心为C1(0,0),半径r1一1，图C2的题心为C2(2,2),半径r2=1,
则两回心距C1C2=2V2>1十T2一1十1，所以两网外离，故与园C和圆C2部相切的直线有四条，A错误；
V1P十最=1=1，点C0,0)与点C2,2到到直线x-y=V2的距将d,=
|-v②
选项B,点C1(0,0)到直线x一y=√2的距离d1=
2-2-v2
v12+12
=1=T2
故直线x一y=V2与图C和圆C2都相切，B正确；
选项C,结合图形，庄圆的对称性可知，PQ|≤1PC2+m≤CCG十r1十2=2W5+2,如图，当P,Q,C,C2四点共线时，等号成过
且PQ|≥|PC2-r2≥|CC-n-T2=2v互-2，如图，当P,Q,C1,C四点共线时，等号成立.
体
故PQlmat=CC2l+r1+r2=2W2+2,PQlia=CC2-r1-rm=2v互-2，c正确：
选项D,如图，若∠MQN=)时，由CGM-CN=1,∠NQM=∠CWQ=∠CMQ=90°，
则LNC,M=90°，故NG/QM,CM/wQ,
所以四边形CMQN是平行四边形，且为正方形，所以叫QC=V2,而Qlmi。=2V2-1>V2,产生矛盾，心错误故选：BC
nAc解折：对于A,由8+4an杜=a十3，当n=1时，月+4ae=a中4ae=a1+3,解得a2=
当n≥2时，5n1+4a=a-1+3,所以am+4a-1-4am=an-a-1.即2a+1-an=i(2a-an-l.
又2a,一a=2丽以2at1-a}提首项为}，公比为的等批数列，A正确
1
1
对于B,由A易得，2an+1一am=
年，则2+1a1-2”an=1.又2a1=2所以{2rn小是首项为2，公差为1的等差数列
n十1
则有2ae=+1,所以a=2,增误：
对FC图以+1=4十36-去，所s=-仙1十+3=8牛3，
2nCi证确；