浙江省台州市2023-2024学年高一上学期1月期末质量评估数学试题（含答案）

台州市2023学年第一学期高一年级期末质量评估试卷
数学2024.1
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若幂函数的图象过点，则的值为
A． B． C． D．
2．函数的定义域是
A． B． C． D．
3．下列函数在其定义域上单调递增的是
A． B． C． D．
4．若，，，则
A． B． C． D．
5．下列四组函数中，表示同一函数的是
A． B．
C． D．
6．已知,，则
A． B． C． D．
7．已知，若 是10位数，则 的最小值是
A．29 B．30 C．31 D．32
8．已知函数 部分图象如图所示，则
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知，则
A． B． C． D．
10．已知函,则
A．函数 的最小正周期为 B．点是函数图象的一个对称中心
C．函数 在区单调递减 D．函数的最大值为1
11．定义域均为的奇函数和偶函数，满足 ，则
A．，使得 B．，使得
C．，都有 D．，都有
12．设 是正整数，集合 . 对于集合中任意元素和 ，记 ,
. 则
A．当时，若，则
B．当时，的最小值为
C．当时， 恒成立
D．当时，若集合，任取 中2个不同的元素,，则集合 中元素至多7个
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．角是第 象限角.
14．已知函数（，且）的图象过定点，则该定点的坐标是 .
15．已知, 的值为 .
16．若函数在 上的最小值为1，则正实数的值为 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）计算：
（1）；
（2）.
18．（12分）已知，.
（1）若 ，求 ;
（2）若 是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
19．（12分）已知函数 的最大值为2.
（1）求常数的值：
（2）先将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间的取值范围.
20．（12分）从①;②函数为奇函数；③的值域是这三个条件中选一个条件补充在下面问题中，并解答下面的问题。
问题：已知函数,且 .
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意恒成立，求实数的最小值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
21．（12分）如图是一种升降装置结构图，支柱垂直水平地面，半径为1的圆形轨道固定在支柱上，轨道最低点，，.液压杆、，牵引杆、，水平横杆均可根据长度自由伸缩，且牵引杆、分别与液压杆、垂直.当液压杆、同步伸缩时，铰点在圆形轨道上滑动，铰点在支柱上滑动，水平横杆作升降运动（铰点指机械设备中铰链或者装置臂的连接位置，通常用一根销轴将相邻零件连接起来，使零件之间可围绕铰点转动）.
（1）设劣弧的长为，求水平横杆的长和离水平地面的高度（用表示）；
（2）在升降过程中，求铰点距离的最大值.
22．（12分）已知函数
（1）用单调性定义证明：在上单调递增；
（2）若函数有3个零点，满足，且,
①求证：;
②求的值（表示不超过的最大整数）.
【参考答案】
台州市2023学年第一学期高一年级期末质量评估试卷
数学2024.1
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D 2．A 3．C 4．B 5．A 6．A 7．B 8．C
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．ABC 10．BC 11．ACD 12．BD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．二
14．
15．2
16．
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）
解：
…………3分
…………5分
（2）
…………9分
…………10分
18．（1）
解：若，则,,
所以.…………6分
（2）
若是的充分不必要条件，则,…………9分
得，故的取值范围是.…………12分
19．（1）
解：化简.…………4分
因为的最大值为2，所以,
故.…………6分
（2）
,……………8分
由，得，
所以,,
故在区间上的取值范围是.……………12分
20．（1）
解： 若填①：…………2分
代入得.…………4分
注：若填②：函数为奇函数，故.…………2分
若填③：，得
因为，所以.…………2分
由的值域是得,故.…………4分
（2）
，且,有，
所以函数在上单调递减，…………5分
又因为，满足,
所以为奇函数.…………7分
因此，，可得,
结合单调性，知，所以.…………10分
令，记，故.
所以，故的最小值为.…………12分
21．（1）
解：记轨道圆心为，则,
设劣弧的长为，则,
得,…………3分
.…………6分
（2）
由条件易知，则，…………9分
令.则,…………10分
因为，当且仅当时，取到等号，…………11分
所以的最大值为.…………12分
22．（1）
解：，且
有，…………2分
由，得，,
所以，得,…………3分
又由，得.于是,
即.所以，函数在上单调递增.…………4分
（2） ①
要使有3个零点，由（1）知，函数在
上存在一个零点，在上存在两个零点，且,…………6分
代入，得，于是，
因为，所以…………8分
②
由，代入式，得,…………9分
令，，，且,
有，
故函数在上单调递增，
又因为，，…………11分
所以，得.…………12分
注：在②中，若考生未对的单调性给出证明，阅卷时不扣分.