高二数学参考答案：
1．B
【分析】根据长方体的性质，结合相等向量的定义进行判断即可.
【详解】如图所示的长方体中，
A：向量与方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确；
B：向量与大小相等，方向相同，所以这两个向量相等，因此本选项正确；
C：向量与方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确；
D：显然向量与向量方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确，
故选：B
2．C
【分析】由中点的向量公式与向量的减法运算即可得到答案.
【详解】如图所示，连接，因为分别是棱的中点，所以.
故选：C.
3．B
【分析】由倾斜角与斜率及两点坐标的关系可求.
【详解】设直线斜率为，则，
故选：B.
4．C
【分析】根据两点斜率公式，即可求解.
【详解】由题意得，，
若直线l过点且与线段相交，则或,
故选：C.
5．C
【分析】由两条直线平行可得，求出的值，再检验.
【详解】因为直线与直线平行，
则，解得或，
当时，两直线方程都是，则两直线重合，不满足题意；
当时，两直线方程分别为：，，满足题意；
综上，.
故选：C
6．D
【分析】求出圆的圆心和半径，得到圆心关于直线对称的点的坐标，从而得到对称的圆的方程.
【详解】由题意得圆的圆心为，半径为，
设点关于直线对称的点为，
故，解得，
故关于直线对称的点为，
所以所求的圆的方程为．
故选：D
7．B
【分析】利用等差数列的性质以及前项和公式求解即可.
【详解】因为数列为等差数列，所以，
所以，
所以．
故选：B．
8．C
【分析】根据双曲线定义求解即可.
【详解】由题意可知，，解得，，
所以双曲线的方程是．
故选：C．
二．多选题全选对得5分，部分选对得2分，有错误选项得0分。
9．ACD
【分析】根据空间向量共面基本定理进行求解判断即可.
【详解】对于，因为，故三个向量共面，故符合题意；
对于，假设，，共面，
则，使得，
故有，方程组无解，故假设不成立，故不符合题意；
即，，不共面；
对于，，故三个向量共面，故符合题意；
对于，，故三个向量共面，故题意符合.
故选：.
10．AC
【分析】求出直线经过定点，根据定点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系，结合几何知识可知当直线与过定点和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，由此可求出答案.
【详解】解：直线过定点，
又，所以点在圆内，所以直线与圆必相交，
所以A正确，B，D错误，
因为圆心与点间的距离为，圆半径为2.
所以最短弦长为，故C正确，
故选：AC.
11．BC
【分析】利用点线距离公式判断A，由直线方程得斜率判断B，取，则，从而判断C，计算得判断D，由此得解.
【详解】对于A：当时，直线为，
此时，，显然不满足题意，故A错误；
对于B：时，直线为，，不过A点，
而，，所以直线与直线平行，故B正确；
对于C：时，直线为，取，则，故C正确；
对于D：时，直线为，直线斜率为，故D错误；
故选：BC.
12．ABD
【分析】将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可判断A选项；利用抛物线的焦半径公式可判断B选项；将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点的坐标，结合抛物线的焦点弦长公式可判断C选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断D选项.
【详解】将点的坐标代入抛物线的方程，可得，可得，A对；
所以，抛物线的方程为，其准线方程为，故，B对；
易知点，直线的斜率为，直线的方程为，
联立，解得或，即点，
所以，，D对；
，故、不垂直，C错.
故选：ABD.
13．
【分析】根据给定条件，求出椭圆的焦点坐标，再利用椭圆的定义求解即得.
【详解】椭圆的半焦距，其焦点坐标为，
由椭圆的定义得所求长轴长
.
故答案为：
14．
【分析】将抛物线方程化为标准方程即可得解.
【详解】由题意抛物线的标准方程为，其准线方程为.
故答案为：.
15．
【分析】由已知可得，与已知的等式相减可得，从而可求得结果.
【详解】因为，所以，
所以，故.
故答案为：4
16．
【分析】两个向量的夹角为钝角等价于且与不共线.
【详解】由；
由.
综上：且.
故答案为：.
17．(1)；
(2)或.
【分析】（1）（2）利用直线平行、垂直的判定列方程求参数值，对于平行情况需要验证所得参数是否符合要求.
【详解】（1）由，则，即，
所以或，.......................3分；
当，，，两线重合，不合题设；
当，，，符合题设；
综上，...................................5分；
（2）由，则，即，
所以，即或......................................10分。
18．(1)
(2)或
【分析】（1）假设圆的一般方程，代入即可得到圆的方程.
（2）先求出直线的方程，进而设出与垂直的直线的方程，求出圆心到直线的距离和线段的长相等求解即可得到直线的方程.
【详解】（1）设圆的一般方程为：，
分别代入点和.
，解得,
故圆的方程为：...........................5分
（2）因为、
所以直线的方程为：，
故设直线的方程为：................................7分
由题意可知，圆心，
被圆截得弦长等于
则可知圆心到直线与直线的距离相等.
故有 |
解得或...............................................12分
所以直线的方程：或
19．(1)
(2)
【分析】（1）由题列出a、b、c的方程，解之即可；
（2）将直线与椭圆联立，韦达定理，然后利用弦长公式求底，利用点到直线的距离公式求高，即可求出三角形的面积.
【详解】（1）由题意，设所求椭圆标准方程为：，
因为焦距为，，
又离心率，，........................3分；
再由，
所以椭圆标准方程为：.......................6分；
（2）由（1）知：左焦点为，直线的方程为：
则，
，
由弦长公式,...............8分；
到直线的距离,
．............................12分。
20．(1)
(2)
【分析】（1）首先求出，，即可求出等比数列的通项公式，从而求出的通项公式；
（2）利用分组求和法计算可得.
【详解】（1）因为，，数列为等比数列，
所以，，则，即是以为首项，为公比的等比数列，
........................4分；
所以，则. .......................6分；
（2）
. ..............................12分。
21．证明见解析
【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，根据空间位置关系的向量证明方法，即可证明结论.
【详解】由题意，以点为坐标原点，，,分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，
则， .............................4分；
故，
，
即， ...........................8分；
又平面，
故平面. ............................12分。
22．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设出直线的方程并与抛物线方程联立，结合根与系数关系、弦长公式、点到直线的距离公式求得面积的表达式，进而求得面积的最小值.
（2）通过求的横坐标来求得正确答案.
【详解】（1）由得，，∴， .....................2分；
依题意得的斜率存在，设直线的方程，，，
由得：，
∴，，
∴， ......................4分；
又O到的距离，
. .......................6分；
（2）由（1）得直线的方程，的横坐标为，
又由得的横坐标为，
因为，的横坐标相同，所以平行于轴.
...................12分。
【点睛】方法点睛：求解抛物线中三角形面积的最值有关问题，有两个关键点，一个是联立直线的方程与抛物线的方程，由此求得根与系数关系，进而求得弦长、三角形面积的表达式；二个是根据三角形面积的表达式选择恰当的方法来求面积的最值，可以考虑：基本不等式、二次函数的性质、函数的单调性等知识.
答案第1页，共2页2023一2024学年上学期高二期末考试
数学
说明：1.本试卷共4页，满分150分。
2.请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效。
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1.在长方体ABCD一A,B,C,D1中，下列向量与CD是相等向量的是()
A.AB
B.BA
C.AB
D.DC
2.如图，在ABCD中，点M,N分别是棱AD,CD的中点，
则2(BD+BA)-2(Bi+BC)化简的结果是（)
A.CA
B.AC
C.NM
D.MN
3.过两点A(3,y),B(2,0)的直线的倾斜角为120，则y=()
A号
B.-3
C.③
3
D.√3
4,已知A(2,一3)，B(一3，一2)，直线1过P(1,1)且与线段AB相交，则直线1的斜
率k的取值范围是()
A.
k么4
4
B-4<号
Ck≥或k≤-4
D.以上都不对
5.直线(3m一1)x+(m一1)y+1=0与直线(m+1)x+(2一2m)y+1=0平行，则m的
值为()
A.m=1或m=5
1
B.m=7或m=1
C.m=7
Da号
6.圆M:(x+3)2十y2=20关于直线y=x对称的圆的方程为()
A,(x-3)2十y2=20
B.(x-3)2+(y-3)2=20
C.x2+(y-3)2=20
D.x2+(y+3)2=20
7.已知Sm为等差数列{am}的前n项和，a 十2ag十a1g=24,则So=()
A.240
B.120
C.180
D.60
高二数学试题第1页（共4页）
8.已知双前线C:若=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别是F,（-13,0,F
(13,0),点P在双曲线C上，且PF,一PF2=10,则双曲线C的方程是()
c
=1
n-若-1
二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.若{a,b,c}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是()
A.a,b-c,b-a-c
B.a+b,a-2b+c,b+c
C.a-2b,b+c,a+2c
D.a-b+c,2b+c,a+b+2c
10.已知圆(x一1)2+(y一1)2=4与直线x十my一m一2=0，下列选项正确的是()
A.直线与圆必相交
B.直线与圆不一定相交
C.直线与圆相交且所截最短弦长为2√3
D.直线与圆可以相切
11,已知点A(0,0),B(1,一1)，直线l:mx一y十2=0，则下列结论正确的是()
A.当m=一3时，点A,B到直线1距离相等
B.当m=一1时，直线l与直线AB平行
C.当m=1时，直线l在x轴上的截距为一2
D.当m=0时，直线（的斜率不存在
12.已知点A(4,4)是抛物线C:y2=2px上一点，F是抛物线C的焦点，直线AF与抛
物线C相交于不同于A的点B,则下列结论正确的是()
A,p=2
B.AF=5
C.OA⊥OB
D.1AB1=25
4
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。
1,过点(5，同)且与椭圆写+号-1有相同熊点的椭圆的长销长为
14.抛物线y=6x2的准线方程为
15.已知数列{a.}满足am十am+1=4n十3，则a1o一ag=
16.已知向量a=(2,3,一1)，b=(一4，t,2),若a与b的夹角为钝角，则实数t的
取值范围为
高二数学试题第2页（共4页）
