5.5三角恒等变换 高一上学期数学 人教A版（2019） 必修第一册（含解析）

第五章 5.5三角恒等变换
一、单选题
1．已知，求（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
4．求值：（ ）
A． B． C．1 D．
5．若关于的方程在内有两个不同的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知角的终边过点，且角满足，则（ ）
A． B． C． D．3
7．已知，且则， ， 的值分别为（　　）
A．，，2 B．，，2
C．，，2 D．，，
二、多选题
8．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
9．若x，y满足，则（ ）.
A． B．
C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．函数的最大值为
B．若，则
C．若，则
D．已知函数满足恒成立，则
11．下列计算中正确的是（ ）
A．已知，则=
B．
C．
D．
三、填空题
12．的取值范围是 ．
13．= .
14．已知，则 ．
四、解答题
15．解答下列各题：
(1)化简：；
(2)已知，均为锐角，，，求.
16．求下列方程的解集：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)
(6)，；
(7).
17．在锐角中，求证：
(1)；
(2).
参考答案：
1．D
【分析】利用三角函数诱导公式化简已知等式可得，再利用两角和差的余弦公式结合同角三角函数关系化简可得，继而利用三角恒等变换，化简求值，即得答案.
【详解】由题意知，
即，
故，
即，
故，
即
，
故选：D
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于利用三角函数诱导公式以及两角和差的公式化简得出的表达式之后，要利用拆角的方法，继而结合三角恒等变换公式，化简求值即可.
2．D
【分析】应用诱导公式及已知有，再由及差角余弦公式得，最后由和角正弦公式有，即可求结果.
【详解】因为，结合题设，
所以，而，
所以，
即，所以，
所以.
故选：D
3．A
【分析】结合二倍角公式和两角和差公式化简即可求得.
【详解】，.
，
，，
，，
又因为，所以，
则，所以
.
.
故选：A
4．A
【分析】利用积化和差和和差化积公式，结合半角公式，诱导公式化简得到结果.
【详解】由积化和差公式可得
，
故
，
由和差化积公式可得
，
故
所以.
故选：A
【点睛】和差化积公式：，
，
，
积化和差公式：，
，
，
.
5．D
【分析】利用辅助角公式化简已知方程，求得，进而求得.
【详解】关于的方程在内有两个不同的解，
即（，取为锐角）
在内有两个不同的解，
即方程在内有两个不同的解．
不妨令，由，则，
所以，
所以．则，
即，
所以．
故选：D．
6．D
【分析】根据任意角三角函数的定义，可直接求出，再利用正切的二倍角公式求出即可.
【详解】因为角的终边过点，且是第二象限角，所以，
，所以是第二象限角，
由，解得或，
又因为是第二象限角，
所以是第一或第三象限角，所以．
故选：D.
7．B
【分析】利用象限角的范围结合倍角公式求解即可.
【详解】因为，，所以， ，
由，得，
又，所以，
所以.
故选：B
8．ACD
【分析】利用和差公式化简x可判断A；根据正切函数单调性可判断B；利用正切的两角和公式将展开变形，然后可对化简，即可判断C；利用基本不等式，结合C中结论可判断D.
【详解】因为
，所以A正确；
由正切函数在上恒为正且单调递增得，所以B错误；
注意到，所以，
同理，
于是
，故C正确；
由基本不等式可得，故D正确．
故选:ACD．
9．AD
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假，其中C选项，利用三角换元及三角恒等变换进行求解.
【详解】因为（R），由可变形为，
，解得，当且仅当时，，
当且仅当时，，故A正确，B错误；
由可变形为，解得，
当且仅当时取等号，故D正确；
因为变形可得，
设，所以，
因此
，所以当时，即时，
此时，取到最大值2，故C错误.
故选：AD.
【点睛】易错点点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
10．ACD
【分析】运用换元法令，转化为二次函数的最值可判定A，转化为正余弦的齐次式可判定B，运用同角三角函数的基本关系式可判定C，根据题意知当时取最大值可判定D.
【详解】选项A：令，则，
所以，当时，故A正确，
选项B：因为，
所以，故B错误；
选项C：因为，所以，
即，由，所以
由，所以，即，
所以，故C正确；
选项D：函数满足恒成立，
即，化简得，故D正确；
故选：ACD.
11．AC
【分析】根据同角三角函数关系判断A选项；应用两角和的正弦结合诱导公式判断B选项；应用两角和的正切公式判断C选项；用正弦的和角公式化简求解即可判断D选项；
【详解】对于A， 已知，则,所以A正确；
对于B，
，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，
，故D错误.
故选：AC.
12．
【分析】由和角的余弦公式变形给定函数，再利用辅助角公式变形，结合正弦函数的性质用含的关系式表示，再借助二次函数最值求解即得.
【详解】
由，得，
令，则，则，
所以，当且仅当，即时取等号，
且，当且仅当，即时取等号，
所以的取值范围为.
故答案为：
13．
【分析】先找到，再将原式带入，运算求解即可.
【详解】因为
，
故原式
.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：此题的关键是找到裂项.
14．
【分析】利用三角函数两角和与差的余弦公式化简计算可得结果.
【详解】由可得，
，
所以，
化简得，
故
故答案为：.
15．(1)；
(2).
【分析】（1）利用诱导公式及同角公式化简即得.
（2）利用同角公式及差角的余弦公式计算即得.
【详解】（1）
.
（2）由为锐角，得，当时，则，而，
因此，，由为锐角，得，
则，
所以
.
16．(1)
(2)
(3)
(4)或
(5)或
(6)答案见解析
(7)或
【分析】（1）由题意得，由此即可得解.
（2）由题意，由此可知该方程无解.
（3）由题意得，解得满足题意，进一步即可得解.
（4）由题意有或，进一步即可得解.
（5）由题意可得，进一步即可得解.
（6）由题意可得，对分类讨论即可得解.
（7）由题意得或，进一步即可得解.
【详解】（1）原方程即， 所以，得.
所以方程的解集为；
（2）原方程即.所以方程的解集为.
（3）原方程可化为，
整理，得．解得或（无解），
因此原方程得解集为；
（4）把原方程左边分解因式，得，所以或，
由，得；
由，得；
所以原方程的解集为或.
（5）原方程可以化为，
所以，
所以，
经检验，也是原方程的解；
所以原方程的解集是或.
（6）原方程可化为，所以.
当是负整数时，，不合题意；
取时，；
取时，或；
取时，或；
取时，；
当时，，不合题意；
（7）或，则该方程的解集为或.
17．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用锐角，通过内角和与两角和的正切公式结合将转化成从而得证；
（2）对左式提取，对运用两角和的正切公式转化，再利用锐角将转化为即可得证.
【详解】（1）由，且在锐角中，故，
两边取正切得： ，即，
整理得，故原式成立.
（2）在锐角中，有，则，
则，
又，
则左式
右式.
故原式成立.