参照秘密级管理★启用前 试卷类型：A
日照市 2021 级高三上学期期末校际联合考试
数学试题答案 2024.1
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1—4：ACAD 5—8：ABAC
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，
全部选对得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分。
9.AC 10.ACD 11.BC 12.BCD
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．40 14． 5 15．13π 16． y x 1或 y x 1
四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17 2 2 2．解：（1）由余弦定理知：b a c 2ac cosB
ABC a2 1在 中， b2 c2 2， 2ac cosB 2，即 cosB ………2 分
ac
1
又 S ABC ac sin B
2 2
， ac sin B ，即 sin B 2 ………4 分
2 4 2 2ac
tan B sin B 2 .…………………………………………………………5 分
cosB 2
2
（2）由（1）知 tan B 0 ，则角B为锐角.
2
3
sin 2 B cos2
sin B
B 1 3
sin B 2 ， 6 .…………………………………7 分
tan B cosB
cosB 2 3
a b c a
由正弦定理知： ，则 sin A sin B，sinC c sin B，.
sin A sin B sinC b b
sin AsinC a sin B c sin B ac sin 2 B .
b b b2
又 b 1， ac sin B 2 ，……………………………………………………9 分
2
sin AsinC ac 2 sin
2 B ac sin B sin B 2 3 6 .………………10 分
b 2 3 6
18.解：（1）由题意知 a41 ， a42 ，a43 成等差数列，
a 1 3 3 1 142 ，a ， 其公差为 ，…………3 分8 43 16 16 8 16
a 1 144 a43 ，16 4
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又 a24 ， a34 ， a44 成等比数列，且a24 1，
q2 a44 1 1 公比 ，由于 a
a 4 ij
0 ，故 q ；…………6 分
24 2
1
（2）由 a42 ， a
3 1 1 1
43 可得 a41 ，8 16 8 16 16
a a q3 a 1 1 a 1 a a (1 1而 41 11 11 ，故 11 ，所以 n1 11 )
n 1 ( )n；
8 16 2 2 2
a a 1 24 2 a a n 1 1 n 1又 14 ，所以q n4 14
( ) 2 ( ) ，………………9 分
2 2
由于 an1，an2，an3，an4， 为等差数列，公差为 dn，
1 1 n 1 1 n 1 n
所以 an4 an1 3dn ，即 dn [2 ( ) ( ) ] ( ) ，…………11 分3 2 2 2
1 [1 (1)n ]
所以 S 2 2 1n 1 1 ( )
n .…………………………………………12 分
1 2
2
4 5 7 8 0.3 0.3 0.4 0.6
19．解：（1）由题意得 x 6， y 0.4 ，
4 4
4
又 xi yi 8 0.6 7 0.4 5 0.3 4 0.3 10.3，
i 1
4
xi yi 4x y 10.3 4 6 0.4 0.7
i 1
4
x2i 82 72 52 42 154 ，
i 1
4 2
x2i 4x 154 4 36 10，
i 1
4
xi yi 4x y
b i 1 0.7 4 0.07 ， …………………………5 分2
x2i 4x 10
i 1
所以 a y b x 0.4 0.07 6 0.02，
故得 y 关于 x 的线性回归方程为 y 0.07x 0.02；…………………………6 分
（2）设小江、小沈两人中选择考研的人数为 X ，则 X 的所有可能值为 0 、1、 2 ，
P(X 0) (1 p)(2 2 p) 2(1 p)2 ，
P(X 1) p(2 2p) (1 p)(2p 1) 4p 2 5p 1 ，
P(X 2) p(2p 1) 2p2 p，
E(X ) 0 2(1 p)2 1 ( 4 p2 5p 1) 2 (2 p2 p) 3p 1，……………9 分
E(0.6X ) 0.6 (3p 1) 0.75 p 3，可得 ，
4
0 p 1 1
又因为 ，可得 p 1，
0 2 p 1 1 2
1 3
故 p .…………………………12 分
2 4
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20．解：（1）在直角梯形 ABCD中， AD // BC
又 AD 平面 PAD，BC 平面 PAD， BC 平面 PAD，…………………3 分
BC 平面PBC，平面 PAD 平面 PBC l1，
l1 // BC …………………………………………………………5 分
（2）设 AB CD Q，连接 PQ，则直线 l2 为直线 PQ，由（1）知 l1 // BC ,
由题意知 PD PB，取 BD的中点O，连接 PO，则 PO BD
平面 PBD 平面 ABCD，平面 PBD 平面 ABCD BD
PO⊥平面 ABCD…………………………7 分
取 BC的中点 E，连接DE，则四边形 ABED为正方形,连接OA，OE，则OE OB
OE，OB，OP两两垂直，以O为坐标原点，OE的方向为 x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标
系，…………………………8 分
则 B 0,1,0 ，C 2, 1,0 ， A 1,0,0 ，D（0，-1,0）， P 0,0,1 ，Q 2, 1,0 ，
PQ 2, 1, 1 ， BC 2, 2,0 ， PA （-1,0，-1）， AD （1，-1，0）
设平面 的法向量为 n1 (x1, y1, z1) ，则 n1 BC， n1 PQ
2x1 y1 z1 0
所以 ，取 y1 1，得2x 2y n1 （1，1，-3） 1 1 0
设平面 PAD的法向量为 n2 (x2 , y2 , z2 )，则 n2 PA ， n2 AD
x2 z2 0
所以 ，取 yx y 0 2
1，得 n2 （1，1，-1）…………………………10 分 2 2
cos n n n1 n2 5 5 33所以 1，2
n n 3 11 331 2
5 33
所以平面 与平面 PAD 所成角的余弦值为 .…………………………12 分
33
21．解：（1）由题意知 F (x) f (x) g(x) e2x （a 2）e x ax 1，求导得，
F (x) 2e2x （a 2）e x a (2e x a)(e x 1)，
F (x) (2e x a)(e x 1) 0 e x 1 x a令 ， 得 ， e ， 又 因 为 a 0 ， 则 x1 0 ，2
x a2 ln( ) ，………………………………………………2 分2
a
①当 a 2 时，有 x1 0 x x 22 ln( ) ，此时F (x) (e 1) 0，所以此时 F（x）在R上单调递增；2
②当 a 2 a a时，有 x1 0 x2 ln( ) ，令 F (x) 0 得：x （ ，0） （ln（ ）， ），所以 F (x)在（ ，0）2 2
和（ln a（ ）， ）上单调递增，令 F (x) 0 得： x （0, ln a a（ ）），所以 F (x)在（0，ln（ ））上单调递减；
2 2 2
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③当 2 a a a 0时，有 x1 0 x2 ln( ) ，令 F (x) 0 得： x （0， ） （ ，ln（ ）），所以 F (x)在2 2
ln( a（ ， ) a）和（0， ）上单调递增，令F (x) 0 得： x （ln（ ），0），所以 F (x) ln a在（ （ ）， 0）上单调
2 2 2
递减.
a
综上所述：当 a 2时， F (x)在（ ，0）和（ln（ ）， ）上单调递增，在
2 0, ln
a
上单调递减；
2
当 a 2 时， F (x)在 R上单调递增；
a
当 2 a 0时， F (x)在（ ，ln( )）和（0， ）上单调递增，在（ln
a
（ ）， 0）上单调递
2 2
减；…………………………6 分
（ 2 ） 由 题 意 知 f (x) 在 区 间（0， ）上 存 在 唯 一 零 点 x0 ， 即 存 在 唯 一 的 x0 （0， ）， 使 得
f (x ) e
2x0 1
0 e
2x0 ax0 1 0 ，即得 a ，……………………………7 分x0
2x0
若要证明 a e 1 x0 2，则只需证明 x0 a 2 2 ，x0
e2x即只需证明 0 (x 1)20 0 (x0 0)即可，
2x 2
不妨设 h(x) e (x 1) …………………………9 分
2x
求导得 h (x) 2e 2(x 1) (x 0) ，
u(x) h (x) 2e2x令 2(x 1) (x 0) 2x，继续求导得u (x) 4e 2 4 2 2 0，
所以当 x 0 时， h (x) 2e2x 2(x 1) 单调递增，
所以 h (x) 2e2x 2(x 1) h (0) 0，
所以当 x 0 时， h(x) e2x (x 1)2 单调递增，所以 h(x) e2x (x 1)2 h(0) 0，
即当 x0 0
2x 2
时，有不等式 e 0 (x0 1) 0 成立，
综上所述：若 f (x) 在区间（0， ）上存在唯一零点 x0 ，则 a x0 2 .………………12 分
22．解：（1）设抛物线K的方程为 x2 2py ( p 0) ，
由椭圆T 得： a 2 ，b 1，则 c 1，故抛物线K的焦点坐标为 (0,1) ，
p
所以 1，所以抛物线K的方程为 x2 4y .…………………………2 分
2
易知过点 F 的直线 l的斜率存在，故可设直线 l方程为 y kx 1，
设 A(x1, y1)， B(x2 , y2 )，C(x3 , y3)，D(x4 , y4 )，
y kx 1
联立 y2
2 2
，消去 y得： (2 k )x 2kx 1 0 ，
2
x 1 2
x x 2k 1则 1 2 2 ， x1x2 2 ，2 k 2 k
2
所以 | AB | (1 k 2 ) ( 2k )2 4( 1 ) 2 2(1 k ) 2 2 . 2 k 2 k 2 k 2
y kx 1
y x2联立 ，消去 得： 4kx 4 0，
x2 4y
则 x3 x4 4k， x3x4 4 ，………………………………………………4 分
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|CD | (1 k 2（) 16k 2则 16） 4(1 k 2 )
又 | BD | | AC | (| BD | | BC |) (| AC | | BC |) |CD | | AB |
4(1 k 2 ) 2 2(1 k
2 ) 2(1 k 2 )(4 2k 2 2)
0 ，
2 k 2 2 k 2
即 | AC | | BD | .……………………………………………………………………6 分
（2）设 A(x1, y1)， B(x2 , y2 ) ， E(x5 , y5 ) ，G(x6 , y6 )，
当直线 l的斜率存在且不为零时，
设直线 l方程为 y kx 1（ k 0 1），则直线 EG方程为 y x 1 ，
k
2 2(1 k 2 )
由（1）的过程可知： | AB | ，
2 k 2
|CD | 4(1 k 2 ) 1 k | EG | 4(1 1由 ，以 替换 ，可得 2 ) ，k k
S 1 | AB | | EG | 4 2(1 k
2 )2 4 2
所以 四边形AEBG 2 2 1 ，……………8 分2 (1 k ) 1 1
(1 k 2 )2
因为1 k 2 1 1 1 ，所以
（1 k 2）2
（0,1），1 （0,1），
（1 k 2）2
S 4 2AEBG 1 4 2 ；……………………………………………10 分四边形 1
(1 k 2 )2
当直线 l的斜率不存在时， | AB | 2 2 ， | EG | 4，
1 1
所以 S四边形AEBG AB EG 2 2 4 4 2 ；2 2
综上所述： S四边形AEBG 4 2 ，所以四边形 AEBG面积的最小值为 4 2 .…………12 分
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数学试题 2024.1
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上。写在本试卷上无效。
3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 A 1,0,1,2,3,4 ，B x x 3 ，则 A B
A． 1,0,1,2 B． 1,0,1 C． 0,1,2 D．{x | x 3}
4 π
2．已知锐角 满足 sin = ，则 sin( )
5 4
A 7 2 7 2 2 2． B． C． D．
10 10 10 10
3．若无穷等差数列{an}的公差为 d ，则“ d 0 ”是“ k N ， ak 0 ”的
A. 充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4 2．实数 a,b,c满足 3 c 3 b 1， a c log5(x x 3)(x R) ，则 a,b,c的大小关系
是
A． a b c B．b c a C． c b a D． a c b
π
5．在平行四边形 ABCD中， AB 3 2 ， AD 2， AE EB， BAD ，则4
AC DE
A． 2 B．2 2 C． 2 3 D．4
6．设 A,B为两个事件，已知 P(A) 0.5 ，P(B) 0.3 ，P(B | A) 0.2 ，则P(B | A)
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A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
7．如图，过圆柱轴截面对角线 AC作圆柱的斜截面，所得图形为一个椭圆，将圆柱侧面
沿母线 AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦型曲线．若该段正弦型
1
曲线是函数 y 2sin x 0 图象的一部分，且其对应椭圆的离心率为 ，则 的
2
值为
A 3 B 3． ．
6 3
C． 3 D． 2
8．设体积相等的正方体、正四面体和球的表面积分别为 S1,S2 ,S3 ，则
A． S1 S2 S3 B． S2 S1 S3 C． S3 S1 S2 D．S3 S2 S1
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求的，全部选对得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分。
9．设 z为复数（ i 为虚数单位），下列命题正确的有
A. 若 z R ，则 z z B 2．若 z R ，则 z R
C．若 (1 i)z 1 i，则 | z | 1 D z2．若 1 0 ，则 z i
10．已知函数 f (x) Asin( x )(A 0, 0, 0 π) 的部分图象如图所示，则
A. f (x) π 2cos(2x )
6
B. 函数 f (x)
7π
的图象关于直线 x 对称
12
C. 函数 f (x)
π
的图象关于点 ( ,0) 对称
3
D. 函数 f (x) 在[ π , 5π ]上单调递增
2 6
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11．数学家棣莫弗发现，如果随机变量 X 服从二项分布 B(n, p) ，那么当 n比较大时，X
(x )2
近似服从正态分布 N ( , 2 ) ，其密度函数为 , (x)
1
e 2 2 ， x R .任意
2π
2 X
正态分布 X N ( , ) ，可通过变换 Z 转化为标准正态分布 Z N (0,1) .
当 Z N (0,1)时，对任意实数 x，记 (x) P(Z x) ，则
A. (x) ( x) 1
2
B. 当 x 0 时， P( x Z x) 2 (x) 1
C. 2随机变量 X N ( , ) ，当 减小， 增大时，概率 P( X ) 保持不变
D. 随机变量 X N ( , 2) ，当 ， 都增大时，概率 P( X ) 增大
12．在平面四边形 ABCD中，点D为动点， ABD的面积是 BCD面积的3倍，又数列
{a } a n 1 nn 满足 1 3，恒有 BD (an 3 )BA (an 1 3 )BC ，设{an}的前 n项和为
Sn，则
A．{an}为等比数列 B． a4 81
C．{an nn }为等差数列 D． Sn (3 n)3 33
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13． (x 2)5 x3展开式中 项的系数为________．
x2 214 y．已知双曲线C : 的一条渐近线为 y 2x，则C的离心率
a2
b2
1(a 0,b 0)
为 .
15．已知平面 截一球面得圆M ，过圆心M 且与 成 60 角的平面 截该球面得圆 N ．若
该球的半径为 4 ，圆M 的面积为 4π，则圆 N 的面积为_______．
16．已知函数 f (x) x sin x的图象上存在三个不同的点 A,B,C，使得曲线 y f (x) 在
A,B,C三点处的切线重合，则此切线的方程为___________.（写出符合要求的一条切
线即可）
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四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10 分）
已知 ABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若 a2 b2 c2 2， ABC
2
的面积为 .
4
（1）求 tan B；
（2）若b 1，求 sin AsinC .
18.（12 分）
已知 n（2 n 4）个正数排成 n行 n列，aij表示第 i行第 j列的数，其中每一行的数成等
1 3
差数列，每一列的数成等比数列，并且公比都为 q．已知 a24 1， a42 ， a ．8 43 16
（1）求公比 q；
（2）记第 n行的数所成的等差数列的公差为 dn，把 d1 ， d2 ，…， dn所构成的数列
记作数列{dn}，求数列{dn}的前 n项和 Sn．
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19．（12 分）
随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人
数也不断攀升， 2021年的考研人数是377 万人， 2022 年考研人数是 457 万人．某省统
计了该省其中四所大学 2023年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：
A大学 B大学 C大学 D大学
2023年毕业人数 x（千人） 8 7 5 4
2023年考研人数 y（千人） 0.6 0.4 0.3 0.3
(1)已知 y与 x具有较强的线性相关关系，求 y关于 x的线性回归方程 y b x a ；
(2)假设该省对选择考研的大学生每人发放0.6 万元的补贴，若 A大学的毕业生中小江、小
沈选择考研的概率分别为 p，2p 1，该省对小江、小沈两人的考研补贴总金额的期望不
超过 0.75万元，求 p的取值范围．
n n
(xi x)(yi y) xi yi nx y
b i 1 i 1参考公式： $n n ， a y $bx．
2 2 2 (xi x) xi nx
i 1 i 1
20.（12 分）
如图，在直角梯形 ABCD中，AD // BC，AB BC，AB AD 2 ，BC 2AB .
现将 ABD沿对角线 BD翻折到 PBD，使平面 PBD 平面 ABCD．若平面 PAD 平
面 PBC l1，平面 PAB 平面 PCD l2，直线 l1与 l2 确定的平面为平面 .
（1）证明： l1 // BC；
（2）求平面 与平面PAD 所成角的余弦值.
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21．（12 分）
已知函数 f (x) e2x ax 1 , g(x) (a 2)e x .
（1）若 a 0 ，讨论 F (x) f (x) g(x)的单调性；
（2）若 f (x) 在区间（0, ）上存在唯一零点 x0 ，求证： a x0 2 .
22.（12 分）
y2 2
已知椭圆T： x 1，其上焦点 F 与抛物线K的焦点重合．若过点 F 的直线 l交
2
椭圆T 于点 A，B，同时交抛物线K于点C，D（如图1所示，点 A，C在椭圆与抛物线
第一象限交点下方）.
（1）求抛物线K的标准方程，并证明 | AC | | BD |；
（2）过点 F 与直线 l垂直的直线 EG交抛物线K于点 E，G（如图 2 所示），试求四
边形 AEBG面积的最小值.
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