人教版七年级数学下册第五章 相交线与平行线全章同步培优练习（含解析）

第五章 相交线与平行线全章同步培优练习
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5.1.1 相交线
1.(对顶角、邻补角的概念)下列说法中错误的是 ( )
A.同一个角的两个邻补角是对顶角
B.对顶角相等，相等的角是对顶角
C.对顶角的平分线在一条直线上
D.∠α的补角与∠α的和是 180°
2.(邻补角的概念及性质)给出下列关于邻补角的表述：
①如果两个角的度数之和为150°，那么这两个角互为邻补角；
②若∠1 + ∠2 = 180°,则这两个角互为邻补角；
③互为邻补角的两个角有一条公共边，并且两个角的度数之和为180°；
④互为邻补角与互为补角是同一个概念.其中正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.(对顶角的概念)如图所示，∠1 和∠2 是对顶角的图形共有 ( )
A.0个 B.1 个 C.2个 D.3个
4.(对顶角、邻补角的性质)如图，直线 AB，CD交于点 O,OE 平分∠AOD,若∠1 = 36°,则∠COE 等于 ( )
A.72° B.90° C.108° D. 144°
5. 如图,l ,l ,l 交于点O,∠1=∠2,∠3:∠1=8:1,则∠4的度数是 .
6. (角平分线，相交线)将下面的解答过程补充完整：
已知:如图,直线 AB,CD 相交于点 O,OE 平分∠AOF,∠COE = 90°. 试 说 明:∠FOB=2∠AOC.
解:因为OE平分∠AOF,所以∠AOE=∠EOF ( )
因为∠COE=90°,
所以∠AOC+∠AOE=90°.
因为直线 AB,CD 相交于点 O,
所以∠EOD=180°-∠COE=90°,
所以∠EOF+∠FOD=90°.
所以∠AOC= ( )
因为直线 AB,CD 相交于点 O,
所以 ( = ),
所以∠FOB=∠FOD+∠BOD=2∠AOC.
7.(相交线中的角度计算)如图，直线 AB 与CD交于点 O,OE 平分∠BOD,∠EOF = 90°,∠AOC=36°,求∠BOF 的度数.
5.1.2 垂线
1.(点到直线的距离，垂线段、垂直的定义)如图,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为 D,则下列结论中，正确的有 ( )
①BC 与AC 互相垂直;
②AC 与 CD 互相垂直;
③点A 到 BC 的垂线段是线段 BC;
④点 C 到AB 的垂线段是线段 CD;
⑤线段 BC 是点B到AC 的距离;
⑥线段 AC 的长度是点A 到BC 的距离.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.(点到直线的距离)到直线 l的距离等于5cm的点有
( )
A.0个 B.1个
C.无数个 D.无法确定
3.“玉兔”在月球表面行走的动力主要来自于太阳光能，要使接收太阳光能最多，就要使光线垂直照射在太阳光板上.某一时刻太阳光的照射角度如图所示，要使得此时接收的光能最多，那么太阳光板绕支点 A 逆时针旋转的最小角度为 ( )
A.44° B.46° C.36° D.54°
4.(实际应用)如图所示，一辆汽车在直线形的公路AB上由 A 向 B 行驶,M,N分别是位于公路AB 两侧的学校，设汽车行驶到点 P 位置时，离学校M 最近，行驶到点 Q 位置时，离学校N最近，请你在AB 上分别画出P，Q两点的位置，并写出找到点 P，Q 的理论依据.
5. (利用垂直求角度)已知：如图，直线 AB，CD相交于点O,OF⊥AB,垂足为 O,且OF平分∠COE,若∠BOC:∠BOD=5:1.
(1)求∠AOC 的度数;
(2)求∠EOF 的度数.
6.(利用垂直求角度，垂直的证明)如图，已知直线 AB，CD相交于点 O,OE,OF 为射线,OE 平分∠AOC.
(1)若∠AOE=25°,求∠BOD 的度数.
(2)若∠AOE =α,且∠DOF - ∠AOE =90°,试说明OF⊥OE.
5.1.3 同位角、内错角、同旁内角
1.(识别位置角)如图,直线 AD,BE 被直线 BF和AC所截，下面哪个选项中的三个角分别是∠1 的同位角、∠2 的同旁内角和∠3 的内错角 ( )
A. ∠2,∠3,∠6 B.∠2,∠6,∠4
C.∠4,∠3,∠2 D.∠4,∠6,∠2
2.(识别位置角)如图，图中同位角的对数、内错角的对数、同旁内角的对数分别是 ( )
A.10,8,4 B.11,7,5
C.12,6,6 D.13,5,7
3.(内错角的对数规律)若平面上4 条直线两两相交且无三线共点，则共有内错角 ( )
A.48 对 B.24 对 C.16 对 D.12 对
4. (角度计算)如图,如果∠1=40°,∠2=100°,那么∠3的同位角等于 ，∠3 的内错角等于 ，∠3 的同旁内角等于
5.(识别“三线”)如图，根据图形填空：
(1)∠FAD和∠ 是 与 被 所截形成的同位角；
(2)∠FAC和∠ 是 与 被 所截形成的同位角；
(3)∠CAD和∠ 是 与 被 所截形成的内错角；
(4)∠FAC和∠ 是 与 被 所截形成的内错角；
(5)∠BAD和∠ 是 与 被 所截形成的同旁内角；
(6)∠CAD和∠ 与 被 所截形成的同旁内角.
6.(规律探究)复杂的数学问题我们常会把它分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零，这是一种常见的数学解题思想.
(1)如图①,直线 l ,l 被直线 l 所截,在这个基本图形中，形成了 对同旁内角.
(2)如图②，平面内三条直线l ,l ,l 两两相交，交点分别为A，B，C，图中一共有 对同旁内角.
(3)平面内四条直线两两相交，最多可以形成 对同旁内角.
(4)平面内 n条直线两两相交，最多可以形成 对同旁内角.
5.2.1 平行线
1. (相交线，平行线)下列说法中，正确的个数是( )
①在同一平面内，不相交的两条线段必平行；
②在同一平面内，不相交的两条直线必平行；
③在同一平面内，不平行的两条线段必相交；
④在同一平面内，不平行的两条直线必相交.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2.(交点个数)若a，b，c是同一平面内三条不重合的直线，则它们的交点可以有 ( )
A.1 个或2 个或3 个
B.0个或1个或2个或3个
C.1 个或2 个
D.以上都不对
3. (平行，垂直)下列说法正确的是 ( )
A.在同一平面内,a,b,c是直线,且a∥b,b∥c,则a∥c
B.在同一平面内,a,b,c是直线,且a⊥b,b⊥c,则a⊥c
C.在同一平面内,a,b,c是直线,且a∥b,b⊥c,则a∥c
D.在同一平面内,a,b,c是直线,且a∥b,b∥c,则a⊥c
4.(平行线的定义，平行公理及其推论)下列结论中正确的个数是 ( )
①两条不相交的直线叫做平行线；
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③在同一平面内，不相交的两条射线是平行线；
④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个
5.(画平行线)如图所示，在∠AOB 内有一点P.
(1)过点 P 画 l ∥OA;
(2)过点 P 画 l ∥OB;
(3)用量角器量一量 l 与l 相交的角与∠O的大小有怎样关系
6.(实际应用)如图，P 是线段 AB 的中点，过点P 画 BC 的平行线交 AC 于点 Q,再过点 Q 画AB 的平行线交 BC 于点 S.
(1)用刻度尺测量后确定 AQ 与 QC,CS 与BS的数量关系；
(2)用刻度尺测量后确定 PQ 与 BC,QS 与AB的数量关系，你发现了什么 用简洁的语言把你发现的规律叙述出来.
5.2.2 平行线的判定
1.(判定平行的条件)如图所示，直线 a，b被直线c，d 所截. 下列条件能判定 a∥b的是 ( )
A.∠1=∠3 B.∠2+∠4=180°
C.∠4= ∠5 D.∠1=∠2
2.(判定平行的条件)下列图形中,由∠1=∠2 能得到AB∥CD 的图形有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
3.(拐角问题)如图所示，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次的拐角∠A =110°,第二次的拐角∠B =145°,则第三次的拐角∠C= 时，道路 CE 才能恰好与AD 平行.
4.(判定平行的条件)两块含30°角的三角尺叠放如图所示，现固定三角尺 ABC 不动，将三角尺 DEC 绕顶点C顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，且点 D 在直线 BC 的上方，则∠BCD 所 有 可 能 符 合 要 求 的 度 数 为
5.(判断位置关系)如图所示,MF⊥NF 于点 F,MF 交 AB 于点 E,NF 交 CD 于点 G,∠1 =140°,∠2=50°,试判断 AB 和 CD 的位置关系，并说明理由.
6.(学科综合)光线从空气射入水中时，传播方向会发生改变，这种现象叫做光的折射现象.同样，光线从水中射入空气中时，也会发生折射现象，一束光线从空气射入水中再从水中射入空气中时，光线的传播方向如图，其中，直线a，b都表示空气与水的分界面，e表示光线在水中的部分. 已知∠1 = ∠4,∠2 =∠3，请你判断光线 c 与d是否平行，为什么
7. (平行线的判定)如图,已知∠F=40°,∠D=60°,∠C=70°,∠A=130°,试说明AB∥EF.
5.3.1 平行线的性质
1. (平行线的定义，角平分线的定义)两条平行线被第三条直线所截，那么其中一组同旁内角的角平分线 ( )
A.垂直 B.平行 C. 相交 D.不确定
2.(折叠问题)如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为 AB,CD,若 CD∥BE,∠1 =42°,则∠2 的度数为 ( )
A.84° B.94° C.96° D.106°
3.(平行线的性质)如图所示,AB∥CD,CG∥EF,∠BAG=150°,∠AGC =80°,则∠DEF 的度数为 ( )
A.110° B.120° C.130° D.140°
4.(平行线的性质与判定的综合应用)如图，在四边形ABCD 中,∠A=50°,DB 平分∠ADC,∠1 +∠2=180°,且ED⊥DB.下列判断错误的是 ( )
A. AB∥CD
B.∠EDC=25°
C.若AD∥BC,则∠1 =130°
D.若∠1=140°,则DE∥BC
5. (平行线的性质及判定)如图，已知∠1+∠2=180°,∠DEF=∠A,试说明:AC∥DE.
6.(平行线的性质，平行线的传递性)(1)如图①,AB∥CD,∠AEP =40°,∠PFD = 130°,求∠EPF 的度数;
(2)如图②,AB∥CD,∠AEP=50°,∠PFC=120°,求∠EPF的度数;
(3)如图③,在(2)的条件下,∠PEA 的平分线和∠PFC 的平分线交于点 G,求∠G 的度数.
5.3.2 命题、定理、证明
1.(命题表达形式)命题“邻补角的平分线互相垂直”的题设是 ，结论是
2.(推理过程)如图,已知∠C=∠5,∠1=∠2,则可以得出AB∥CD.为什么
请完成下列推理过程：
∵∠1=∠2(已知),∠2=∠BAC( ),
∴∠BAC=∠1(等量代换).
∴ ∥ ( )
∴∠C=∠4( ).
∵∠C=∠5(已知),
∴∠ =∠ (等量代换).
∴AB∥CD( ).
3.(构造命题)如图,直线 AB,CD 被直线AE 所截,直线 AM,EN 被 MN 所截. 请你从以下三个条件：①AB∥CD;②AM∥EN;③∠BAM =∠CEN 中选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个正确的命题.
(1)请按照:“∵ , ;∴ ”的形式，写出所有正确的命题；
(2)在(1)所写的命题中选择一个加以证明，写出推理过程.
4.(命题，证明)在解答一道练习题时，两位同学呈现了不同的做法：
题目:如图,AB∥CD,要使∠ABE =∠DCF,还需要添加什么条件 证明你的结论.
(1)小明添加的条件是“CF∥BE”，根据这一条件将过程中的①②补充完整.
(2)小刚添加的条件是“CF 平分∠DCB, BE平分∠ABC”，根据这一条件请你完成证明过程.
专项点睛1 利用平行线的判定与性质求角度的常见模型
1. 如图，玲玲在手工课上用丝线绣成了一个“2”字形,AB∥DE,∠A =30°,∠ACE = 110°,则∠E 的度数为 ( )
A.30°
B.150°
C.120°
D.100°
2. 如图,两直线 AB,CD 平行,则∠1 + ∠2 +∠3 +∠4+∠5+∠6= ( )
A.630° B.720° C.800° D.900°
3. 如图,已知AB∥DE,∠D=70°,∠C=20°,求∠A的度数.
4. 如图, 求∠AFC的度数.
5.(1)请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明：
如图①,如果AB∥CD,
求证:∠APC=∠A+∠C.
证明:过点 P 作 PM∥AB,
所以∠A=∠APM( )
因为PM∥AB,AB∥CD(已知),
所以PM∥CD,
所以∠C= ( )
因为∠APC=∠APM+∠CPM,
所以∠APC=∠A+∠C(等量代换).
(2)如图②,AB∥CD,根据上面的推理方法,求∠A+∠P+∠Q+∠C的度数.
(3)如图③,AB∥CD,若∠ABP=x,∠BPQ=y,∠PQC=z,∠QCD=m,求m(用含x,y,z的式子表示).
5.4 平移
1.(平移的定义)下列现象不属于平移的是
( )
A.高楼的电梯在上上下下
B.传送带上，瓶装饮料的移动
C.一个铁球从高处自由落下
D. 风筝在风中转动
2.(平移作图)如图，若图形A 经过平移与下方图形(阴影部分)拼成一个长方形，则平移方式可以是 ( )
A.向右平移4 个格，再向下平移4个格
B.向右平移6 个格，再向下平移5 个格
C.向右平移4个格，再向下平移3 个格
D.向右平移5 个格，再向下平移4 个格
3.(平移的性质)如图，是一块电脑主板的示意图(单位：mm)，其中每个角都是直角，则这块主板的周长是
A.48 mm B.80 mm
C.96 mm D.100mm
4. (平移的性质)如图，△ABC 向右平移2cm得到△DEF，如果四边形ABFD 的周长是20cm,那么△ABC 的周长是
A.14 cm B.16 cm
C.18 cm D. 20cm
5.(平移的性质)如图，将三角形ABC 沿着 XY方向平移一定的距离就得到三角形 MNL，则下列结论:①AM∥BN;②AM = BN;③BC =ML;④∠ACB=∠MNL,其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3 个 D.4个
6.(平移作图)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度.
(1)画出三角形ABC 先向右平移4 个单位长度，再向下平移1 个单位长度后得到的三角形 DEF;
(2)求三角形DEF 的面积.
7.(平移的性质)如图，在直角三角形ABC 中，∠ABC=90°,将△ABC 沿射线 BC 方向平移得到△DEF,A,B,C的对应点分别是 D,E,F.
(1)若∠DAC=56°,求∠F 的度数.
(2) 若 BC =6 cm,当 AD =2EC 时,求 AD 的长度.
第五章 培优精练
1. (平行线的判定)在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线 AB，CD，贝贝、晶晶、欢欢三位同学的做法如图所示：
上述三位同学的做法中，依据“内错角相等，两直线平行”的是 ( )
A.仅贝贝同学 B.贝贝和晶晶
C. 晶晶和欢欢 D.贝贝和欢欢
2. (平移)如图,在一块长14 m、宽 6m 的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移3m 就是它的右边线，则绿化区的面积是 ( )
A.56 m B.66 m C.72 m D.96 m
3.(平行线的性质与判定，垂直)已知，如图所示,∠1 =∠ACB,∠2=∠3,FH⊥AB 于点H.
(1)试说明:CD⊥AB.
(2)写出∠B 的余角.
4. (垂直,平分线)如图,直线 EF,CD 相交于点O,OA⊥OB,且OC 平分∠AOF.
(1)若∠AOE=40°,求∠BOD 的度数;
(2)试说明∠AOE=2∠BOD.
5.(平行的性质与判定)在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线 AB，CD 和一块含60°角的直角三角尺 EFG(∠EFG = 90°,∠EGF=60°)”为主题开展数学活动.
(1)如图①,三角尺的 60°角的顶点 G 在 CD上.若∠1=2∠2,则∠1 的度数为 .
(2)如图②，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E,G分别放在 AB 和 CD 上,请你探索∠AEF与∠FGC之间的数量关系.
(3)如图③，小亮把三角尺的直角顶点 F 放在CD上,30°角的顶点 E 在AB 上.若∠AEG=α,∠DFG=β,请直接写出∠AEG 与∠DFG 的数量关系(用含α，β的式子表示).
第五章 相交线与平行线
5.1 相交线
5.1.1 相交线
1. B
2. A 解析：互为邻补角的两个角之和为180°，故①错误;∠1+∠2=180°只能说明∠1 与∠2互补,而不能确定它们是否互为邻补角，故②错误；③正确；互为邻补角与互为补角不是同一个概念，故④错误.故选 A.
3. B
4. C 解析:因为∠1=36°,
所以∠AOD=180°-∠1 =144°.
因为 OE 平分∠AOD,
所以
所以∠COE=180°-∠DOE=108°.故选C.
5. 36° 解析:因为∠1=∠2,∠3:∠1=8:1,
所以∠3:∠2:∠1 =8:1:1.
设∠1=∠2=x,则∠3=8x.
由题意,得x+x+8x=180°,解得x=18°,
故∠4=∠2+∠1=2×18°=36°.
6.角平分线的定义;∠FOD;等角的余角相等;∠AOC;∠BOD;对顶角相等
7. 解:因为∠AOC=36°,
所以∠BOD=∠AOC=36°.
因为 OE平分∠BOD,
所以
因为∠EOF=90°,
所以∠BOF=∠EOF-∠BOE=90°-18°=72°.
5.1.2 垂线
1. B 解析:因为∠ACB=90°,所以AC⊥BC,故①正确;AC 与 CD 相交但不垂直,故②错误;
点A 到BC 的垂线段是线段 AC，故③错误；
点 C 到AB 的垂线段是线段 CD,故④正确;
线段 BC 的长度是点 B 到 AC 的距离,故⑤错误;
线段 AC 的长度是点A 到BC的距离，故⑥正确.
故选 B.
2. C
3. A 解析：一束光线与太阳光板的夹角为 134°，要使光线垂直照射在太阳光板上，则太阳光板绕支点 A 逆时针旋转的最小角度为 ,故选 A.
4. 解:点 P 和点 Q 的位置如图所示,其中 MP⊥AB,NQ⊥AB.理论依据是垂线段最短，即直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
5. 解:(1)因为∠BOC:∠BOD=5:1,∠BOC+∠BOD=180°,所以 所以∠AOC=∠BOD=30°.
(2)因为 OF⊥AB,
所以∠BOF=90°.
因为∠BOC=150°,
所以∠COF=∠BOC-∠BOF =60°.
因为 OF平分∠COE,
所以∠EOF=∠COF=60°.
6. 解:(1)因为 OE平分∠AOC,∠AOE=25°,
所以∠AOC=2∠AOE=2×25°=50°.
所以∠BOD=∠AOC=50°.
(2)因为 OE平分∠AOC,∠AOE=α,
所以∠EOC=∠AOE=α.
因为∠DOF-∠AOE=90°,
所以∠DOF=∠AOE+90°=α+90°.
所以∠COF=180°-∠DOF=180°-(α+90°) =90°-α.
所以.
所以OF⊥OE.
5.1.3 同位角、内错角、同旁内角
1. B
2. C 解析:同位角:∠GAF 与∠ABM,∠GAB 与∠MBE,∠BAC 与∠EBC,∠FAC 与∠ABC,∠GAF 与∠ACN,
∠FAC 与∠NCH,∠GAB 与∠ACB,∠BAC 与∠BCH,∠MBE 与∠MCH,∠EBC 与∠NCH,∠ABM 与∠ACB,∠ABC 与∠ACN,共12对.
内错角:∠GAB 与∠ABC,∠BAC与∠ABM,∠FAC与∠ACB,∠BAC 与∠ACN,∠EBC 与∠ACB,∠ABC 与∠MCH,共6对.
同旁内角:∠BAC 与∠ACB,∠BAC 与∠ABC,∠ABC与∠ACB,∠GAB 与∠ABM,∠EBC 与∠BCH,∠FAC与∠ACN,共6对.故选 C.
3. B 解析：如图，∵平面上4条直线两两相交且无三线共点，
∴共有3×4=12 条线段.
又∵每条线段两侧各有一对内错角，
∴共有内错角 12×2=24(对).
4. 80°;80°;100°
5. (1)B;AD;BE;BF
(2)B;AC;BE;BF
(3)ACB;AD;BE;AC
(4)ACB;BF;BE;AC
(5)B;AD;BE;BF
(6)ACE;AD;BE;AC
6. (1)2 (2)6 (3)24 (4)n(n-1)(n-2)
解析：(1)如题图①，直线l ，l 被直线l 所截，在这个基本图形中，形成了 2 对同旁内角.
(2)如题图②,平面内三条直线 l ,l ,l 两两相交,交点分别为A，B，C，图中一共有6对同旁内角，6 =3×(3-1)×(3-2).
(3)平面内四条直线两两相交，交点最多为6个，最多可以形成24对同旁内角,24 =4×(4-1) ×(4-2).
(4)平面内 n条直线两两相交，最多可以形成n(n-1)(n-2)对同旁内角.
5.2 平行线及其判定
5.2.1 平行线
条直线必平行，不平行的两条直线必相交；在同一平面内，不相交的两条线段不一定平行，不平行的两条线段也不一定相交，故①③错误. 故正确的个数是2个.
2. B
3. A 解析：根据要求画出图形，如图所示：
根据所画图形可知 A 正确. 故选 A.
4. A 解析：①平行线必须强调在同一平面内. 如图，AB与CC'不相交，但也不平行，故①错误；
②若点在已知直线上，则画不出与已知直线平行的直线，故②错误；
③如图，射线 EA 与射线 BC 既不相交，也不平行，故③错误;
④由平行公理的推论知④正确.
故结论中正确的个数是1个.
5. 解:(1)如图所示.
(2)如图所示.
(3)l 与l 夹角有两个,即∠1 和∠2.
用量角器量得∠1=∠0,∠2+∠O=180°,所以l 和l 的夹角与∠O相等或互补.
1. C 解析：②④是正确的，在同一平面内，不相交的两298
6. 解：所画图形如图所示.
(1)经测量得到AQ=QC,CS=BS.
(2)经测量得到
经过三角形一边的中点，画另一边的平行线，则这条平行线平分第三边；三角形两边中点之间线段的长度等于第三边长度的一半.
5.2.2 平行线的判定
1. D
2. C 解析：题图②和题图④符合题意.
3.145° 解析:当第三次的拐角∠C=145°时,道路CE才能恰好与 AD 平行. 理由如下：
如图,过点 B 作 BF∥AD,
∵AD∥CE,
∴AD∥BF∥CE.
∴∠A=∠ABF=110°(两直线平行,内错角相等).
∵∠ABC=145°,∠ABF=110°,
∴∠FBC=∠ABC-∠ABF=35°.
∵BF∥CE,
∴∠FBC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补).
即第三次的拐角∠C =145°时，道路 CE 才能恰好与AD 平行.
4.30°或60°或90°或120°
解析:如图①所示,当DE∥AB时,∠BCD=30°.
如图②所示,当AB∥CE时,∠B+∠BCE=180°,
∠B=60°,
∴∠BCE=120°.
又∵ ∠DCE=60°,
∴∠BCD=∠BCE-∠DCE=120°-60°=60°.
如图③所示,当DE∥BC时,∠BCD=90°.
如图④所示,当 AB∥CD 时,∠B +∠BCD = 180°,∠B=60°,
综上所述,满足条件的∠BCD 的值为30°或60°或90°或120°.
5. 解:AB∥CD.理由:如图所示,延长MF 交 CD 于点 H.
∵∠1+∠FGH=∠FGH+∠CHF+∠GFH=180°,
∴易得∠1=∠GFH+∠CHF.
又∵∠1=140°,∠2=50°,∠GFH=90°,
∴∠CHF =∠2.
∴AB∥CD.
6. 解:c∥d.理由如下:
∵∠2+∠5=180°,∠3+∠6=180°,∠2=∠3,
∴∠5=∠6(等角的补角相等).
又∵∠1=∠4,
∴∠1+∠5=∠4+∠6.
∴c∥d(内错角相等，两直线平行).
7. 解:如图所示,在∠CDF的内部作射线DM∥EF,易知∠1=∠F=40°,在∠ACD的内部作射线 CN∥AB,易知∠4+∠A= 180°.
∴∠2=∠FDC-∠1=60°-40°=20°,∠4=180°-∠A=180°-130°=50°.
∴∠3=∠DCA-∠4=70°-50°=20°.
∴ ∠2=∠3.
∴DM∥CN.
∴易知EF∥DM∥CN∥AB.
5.3 平行线的性质
5.3.1平行线的性质
1. A
2. C 解析:如图.∵AF∥BE,AD∥BC,
∴∠1=∠3,∠3=∠4.
∴∠4=∠1=42°.
∵CD∥BE,
∴∠4+∠BCD=180°.
∴∠4+∠2+∠5=180°,即∠2+∠5 =138°.
又∵2∠5+∠2=180°,
∴易得∠2=96°.
3. C 解析:如图,过点 F 作FM∥CD,
∵AB∥CD,
∴AB∥CD∥FM.
∴∠DEF+∠EFM=180°,∠MFA+∠BAG=180°.
∴∠MFA=180°-∠BAG=180°-150°=30°.
∵CG∥EF,
∴∠EFA=∠AGC=80°.
∴∠EFM=∠EFA-∠MFA=80°-30°=50°.
故选 C.
4. D 解析:A.∵∠1+∠DCB=180°,∠1+∠2=180°,∴∠DCB=∠2,∴AB∥CD,故此选项不符合题意.
B.∵∠A=50°,AB∥CD,
∴∠ADC=180°-∠A=130°.
∵DB 平分∠
∵ED⊥DB.∴ ∠EDC =90°-∠BDC =25°.故此选项不符合题意.
C.∵AD∥BC,∴ ∠A=∠2=50°.
∵∠1+∠2 =180°,∴ ∠1 = 130°.故此选项不符合题意.
D.∵∠1=140°,∴ ∠DCB=180°-140°=40°.
∵∠EDC=25°,∴不能推出DE∥BC,故此选项符合题意. 故选 D.
5. 解:∵∠1+∠2=180°,∠1 +∠DFE=180°,
∴ ∠2=∠DFE.
∴AB∥EF.
∴∠DEF=∠BDE.
∵∠DEF=∠A,
∴∠BDE=∠A.
∴AC∥DE.
6. 解:(1)如图①,过点 P 作 PM∥AB,
∴∠1=∠AEP=40°.
∵AB∥CD,∴PM∥CD,∴∠2+∠PFD=180°.
∵∠PFD=130°,∴∠2=180°-130°=50°.
即∠EPF=90°.
(2)如图②,过点 P 作 PM∥AB,
∴∠MPE=∠AEP=50°.
∵AB∥CD,∴PM∥CD.
∴∠PFC=∠MPF=120°.
∴∠EPF=∠MPF-∠MPE=120°-50°=70°.
(3)如图③,过点 G 作GM∥AB,
∵EG是∠PEA的平分线,FG是∠PFC 的平分线,
∴∠MGE=∠AEG=25°.
∵AB∥CD,∴ GM∥CD,
∴∠GFC=∠MGF=60°.
∴∠EGF=∠MGF-∠MGE=60°-25°=35°.
5.3.2 命题、定理、证明
1. 两个角是邻补角；这两个角的平分线互相垂直
2. 对顶角相等；AC；BE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；4；5；内错角相等，两直线平行
3. 解:(1)命题1:∵AB∥CD,AM∥EN,∴∠BAM =∠CEN.
命题2:∵AB∥CD,∠BAM=∠CEN,∴AM∥EN.
命题3:∵AM∥EN,∠BAM=∠CEN,∴AB∥CD.
(2)证明命题1:
∵AB∥CD,
∴∠BAE=∠CEA.
∵AM∥EN,
∴∠3=∠4.
∴∠BAE-∠3 =∠CEA-∠4.
即∠BAM =∠CEN.
4. 解：(1)①两直线平行，内错角相等
②∠FCB=∠EBC
(2)证明:∵AB∥CD,
∴∠DCB=∠ABC.
∵CF平分∠DCB,BE平分∠ABC,
∴∠DCB =2∠DCF,∠ABC =2∠ABE.
∴∠ABE=∠DCF.
专项点睛1 利用平行线的判定与性质
求角度的常见模型
1. D 解析:如图,过点 C 作CQ∥AB.
∵AB∥DE,
∴AB∥DE∥CQ.
∵ ∠A=30°,
∴∠A=∠QCA=30°,∠E+∠ECQ=180°.
∵ ∠ACE=110°,
故选 D.
2. D 解析:如图,分别过点E,点F,点G,点H作l ,l ,l ,l 平行于 AB,
利用内错角和同旁内角，将这六个角转化，易得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=180°×5=900°.故选D.
3. 解:如图,过点 C 作CF∥AB,
则∠ACF+∠A=180°.
∵AB∥DE,∴ CF∥DE.
∴∠DCF=∠D=70°.
∵∠DCF=∠DCA+∠ACF,∠DCA=20°,
∴∠ACF=∠DCF-∠DCA=50°.
∴ ∠A=180°-∠ACF=130°.
4. 解:如图,过点 E 作EG∥AB,则∠BAE=∠AEG.
∵AB∥CD,
∴EG∥CD.
∴∠DCE=∠CEG.
∵AE⊥CE,∴∠AEC=90°.
∴∠BAE+∠DCE=∠AEG+∠CEG=∠AEC=90°.
90°=60°.
同理,易得∠AFC=∠BAF+∠DCF,∴∠AFC=60°.
5. 解：(1)两直线平行，内错角相等；∠CPM；两直线平行，内错角相等
(2)如图,过点 P 作 PM∥AB,过点 Q 作 QN∥CD,
∴∠A+∠APM=180°,∠C+∠CQN=180°.
∵AB∥CD,∴PM∥QN.
∴∠MPQ+∠NQP=180°.
∴ ∠A + ∠APQ +∠CQP + ∠C = ∠A + ∠APM +∠MPQ+∠NQP+∠CQN+∠C=540°.
(3)如图,过点 P 作PM∥AB,过点 Q作QN∥AB.
∵AB∥CD,∴AB∥PM∥QN∥CD.
∴∠B=∠BPM,∠C=∠CQN,∠QPM=∠PQN.
∴∠BPQ-∠ABP=∠PQC-∠QCD,
即y-x=z-m. ∴ m=x-y+z.
5.4 平移
1. D
2. A
3. C 解析:由题意得(16 +24) ×2+4×4 =40×2 +16=96(mm),∴这块主板的周长是96mm.故选 C.
4. B 解析: 由平移的性质可知,AD = CF = 2cm ,AC=DF.
∵四边形ABFD的周长是20cm,
∴AB+BF+DF+AD=20cm.
∴AB+BC+CF+AC+AD=20cm.
∴AB+BC+AC=16 cm.
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=16 cm.故选 B.
5. B 解析:由平移的性质可知,AM∥BN,AM = BN,BC=NL,∠ACB=∠MLN,
则结论①②正确,③④错误.故选 B.
6. 解:(1)三角形 DEF 如图所示.
2×1=12-4-3-1 =4.
7. 解:(1)∵△ABC沿射线 BC方向平移,得到△DEF,∴AC∥DF,AD∥BF.
∴∠ACB=∠F,∠ACB=∠DAC.
∴∠F=∠ACB=∠DAC=56°.
(2)∵△ABC沿射线 BC 方向平移,得到△DEF,∴AD=BE=CF.
设AD=x,则BE=CF=x.
解得x=4.
即AD的长为4 cm.
第五章 培优精练
1. D 解析：贝贝做法的依据是内错角相等，两直线平行；晶晶做法的依据是同位角相等，两直线平行；欢欢做法的依据是内错角相等，两直线平行，故选 D.
2. B 解析:由题意,得(14-3)×6=11×6=66(m ),∴绿化区的面积是66 m ,故选 B.
3. 解:(1)∵∠1=∠ACB,
∴DE∥BC.
∴∠2=∠DCB.
∵∠2=∠3,
∴∠3=∠DCB.
∴HF∥CD.
∵ FH⊥AB,
∴CD⊥AB.
(2)∠B的余角有∠3,∠DCB,∠2.
理由:∵HF⊥AB,
∴∠FHB=90°.
∴∠B+∠3 =90°.
∵∠3=∠DCB=∠2,
∴∠B 的余角有∠3,∠DCB,∠2.
4. 解:(1)∵OA⊥OB,
∴∠AOB=90°.
∵∠AOF+∠AOE=180°,∠AOE=40°,
∴∠AOF=140°.
∵OC平分∠AOF,
∵∠BOD+∠AOB+∠AOC=180°,
(2)证明:∵∠AOE+∠AOF=180°,∠AOC=∠COF,
∵∠BOD+∠AOB+∠AOC=180°,
∴∠AOE=2∠BOD.
5. 解:(1)∵AB∥CD,
∴∠1=∠EGD.
∵∠2+∠FGE+∠EGD=180°,∠1=2∠2,
解得∠2=40°.
(2)∠AEF +∠FGC=90°.理由如下:如图,过点 F 作 FP∥AB,
∵CD∥AB,
∴FP∥AB∥CD.
∴∠AEF=∠EFP,∠FGC=∠GFP.
∴∠AEF+∠FGC=∠EFP+∠GFP=∠EFG.
∵∠EFG=90°,
∴∠AEF+∠FGC=90°.
(3)α-β=120°.理由如下:
∵AB∥CD,
∴∠AEF+∠CFE=180°.
∵∠CFE=180°-∠DFG-∠EFG=180°-∠DFG-90°,∠AEF=∠AEG-30°,
∴∠AEG-∠DFG=120°.
∴α-β=120°.