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八年级下册分课时教学设计
《三角形的证明》第4课时（1.1等边三角形）教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 教材选自北师大版数学八年级下册第一章第一节第4课时内容;等边三角形不仅是对前面所学知识的综合应用，也是今后证明角相等、线段相等及两直线垂直的重要依据.因此本节内容在教材中，处于非常重要的地位和承前启后的作用.本节课从等边三角形的定义入手，引发学生通过多种途径对等边三角形的判定进行探究与证明，从角的角度出发，也考虑从边的角度出发，通过一个个问题的解决，激发学生探索问题的欲望，在分析问题和解决问题的过程中获得更多的体验和经验.通过合作、探讨、拼图等实际操作，探索和发现等边三角形的判定以及含30°角的直角三角形的性质定理，在小组学习中通过相互交流的方式学会探索问题和解决问题的基本方法与策略.
学习者分析 学生在之前已经学习了等腰三角形、等边三角形的相关概念和性质，并具备了证明两个三角形全等的能力，能够运用它们证明等边三角形的判定.刚进入初二下学期的学生观察、操作、猜想能力较强，动手拼出等边三角形后，学生对它们有一定的感性理解．但演绎推理、归纳、运用数学意识的思想比较薄弱, 所以教师需引导学生思维的广阔性、敏捷性、结密性、灵活性. 八年级学生的抽象思维趋于成熟，形象直观思维能力较强，具有一定的独立思考、实践操作、合作交流、归纳概括等能力，能进行简单的推理论证，能积极参与讨论；但自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步加强和引导. 学生的求知欲比较强，表现欲强，对探究几何图形的好奇心也比较强，在本节课的教学中，可让学生从已有的知识出发，参与新知识的产生过程，在实践操作、自主探索、思考讨论、合作交流等数学活动中，理解和掌握数学知识和技能，形成数学思想和方法.
教学目标 理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30 角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。 经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维；经历实际操作，探索含有30 角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力 积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.
教学重点 ①等边三角形判定定理的发现与证明； ②含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.
教学难点 含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新课导入教师活动1： 1、等腰三角形和等边三角形的区别 思考（1）.一个三角形满足什么条件时是等边三角形？ （2）.一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？ 请证明你的猜想学生活动1： 复习旧知，思考2个问题。活动意图说明： 复习旧知，为新授奠基。思考提出问题，激发学生参与课堂教学的热情，使学生进入情境，引入新课．环节二：探究等边三角形的判断方法。教师活动2： 例题1、求证：三个角都相等的三角形是等边三角形。 已知：如图：△ABC中，∠A=∠B=∠C. 求证：△ABC是等边三角形 证明： ∵∠A=∠B ∴BC=AC（等角对等边） ∵∠B=∠C ∴AB=AC（等角对等边） ∴AB=BC=AC (等量代换） ∴△ABC是等边三角形。 定理：三个角都相等的三角形是等边三角形。 例题2 求证：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 已知：如图，在△ABC中，AB=AC, ∠A=60°（∠B=60°或∠C=60°）。 求证：△ABC是等边三角形。 证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C （等边对等角） ∵∠A+∠B+∠C=180° ∠A=60° ∴∠A=∠B=∠C ∴△ABC是等边三角形。 定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 等边三角形的判定方法： 定义：三条边都相等的三角形是等边三角形。 定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 定理2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 学生活动2： 1证明等边三角形的判定定理，并总结证明三角形是等边三角形的方法。活动意图说明： 通过对两个命题的逻辑证明，让学生明白数学上任何猜想都是需要经过证明才能说明其正确性，并让学生学会用数学符号语言有条理地表达思维过程，发展推理能力，培养学生自主探究的学习方法。环节三：探究在直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半。教师活动3： 用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此你能发现什么结论？说说你的理由. 结论： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 例题3：已知：如图 ， △ABC是直角三角形，∠C ＝90°， ∠A＝ 30°. 求证： BC=AB. 方法一 证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD ∵ ∠ACB=90°, ∠BAC=30° ∴∠ACD=90° ,∠B=60° 在△ABC与△ADC中 ∵ BC=DC ∠ACB=∠ACD AC=AC ∴△ABC≌△ADC（SAS） ∴ AD=AB ∵∠ACB=90°, ∴△ABD是等边三角形 (有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形) ∴BC=BD=AB(等式性质). 方法二 证明: 在AB上截取BD=BC,连接CD ∵ ∠ACB=90°,∠BAC= 30° ∴∠B=60°∵BD=BC ∴△BCD是等边三角形 （有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形） ∴ BD=CD, ∠BDC=60° ∴∠BAC= ∠DCA= 30° ∴ CD= AD ∴ BD=AD= AB ∴ BC= AB 方法三 证明: 作∠BCD=60 °,交AB于D ∵ ∠ACB=90°,∠BAC= 30° ∴∠B=60° ∴∠BDC=60° ∴△BCD是等边三角形 （三个角是60度的三角形是等边三角形） ∴ BD=CD, ∠BDC=60° ∴∠BAC= ∠DCA= 30° ∴ CD=AD ∴ BD=AD= AB ∴ BC= AB 小结：定理：在直角三角形中, 如果一个锐角等于30° ,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 在△ABC 中，∵∠C =90 °，∠A =30 ° ∴ BC = AB . 例 求证: 如果等腰三角形的底角为15°, 那么腰上的高是腰长的一半. 已知：如图，ABC中，AB=AC，∠B= 15°, CD是腰AB上的高 求证: CD= AC 证明: 在△ABC中，∵AB=AC，∠B=15°， ∴∠B=∠ACB=15° (等边对等角), ∴∠DAC=∠B+∠ACB= 15°+ 15°= 30° (三角形的一个外角,等于和它不相邻的两内角的和). ∵CD是腰AB上的高， ∴∠ADC=90° ∴CD= AC (在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°, 那么它所对的直角边等于斜边的一半).学生活动3： 动手操作发现结论。 利用多种方法证明“直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半。”活动意图说明： 让学生通过动手实践引发学生思考，从而得出结论，激发了学生学习积极性和主动性。
板书设计 （1）等边三角形的判定方法： 定义：三条边都相等的三角形是等边三角形. 定理：三个角都相等的三角形是等边三角形. 定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形． （2）含30°角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.已知△ABC 的三个外角都相等，且 AB=3cm，则△ABC的周长为（ C ）. A.6cm B.8cm C.9cm D.10cm 2.已知△ABC的三边长 a、b、c 满足∣a -b∣+( b -c) 2 = 0， 则该三角形是【等边】三角形. 3.如图，已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON = 60°，当OP =【a】时， △AOP为等边三角形. 4．已知a，b是△ABC的两条边长，且a2+b2﹣2ab＝0，则△ABC的形状是（A ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．不确定 5．如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，D是边BC上一点，且∠BAD＝30°，则CD的长为（ C ） A．1 B． C．2 D．3 6．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．要在格点上确定一点C，连结AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（ B ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 选做题： 7．在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE＝BD， （1）当点E为AB的中点时，如图1，求证：EC＝ED； （2）当点E不是AB的中点时，如图2，过点E作EF∥BC，求证：△AEF是等边三角形； （3）在第（2）小题的条件下，EC与ED还相等吗，请说明理由． 证明：（1）如图1，在等边△ABC中，AB＝BC＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°， ∵AE＝EB＝BD， ∴∠ECB＝∠ACB＝30°，∠EDB＝∠DEB＝∠ACB＝30°， ∴∠EDB＝∠ECB， ∴EC＝ED； （2）如图2，∵EF∥BC， ∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠C＝60°， ∴△AEF为等边三角形； （3）EC＝ED； 理由：∵∠AEF＝∠ABC＝60°， ∴∠EFC＝∠DBE＝120°， ∵AB＝AC，AE＝AF， ∴AB﹣AE＝AC﹣AF，即BE＝FC， 在△DBE和△EFC中， ， ∴△DBE≌△EFC（SAS）， ∴ED＝EC． 【综合拓展类作业】 8．如图，△ABC中，AB＝AC，AD∥CB，求证：AD平分∠CAE． 解：∵在△ABC中，AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵AD∥CB， ∴∠B＝∠EAD，∠C＝∠CAD， ∴∠EAD＝∠CAD， ∴AD平分∠CAE． 9．如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC． （1）求证：△BDE是等腰三角形； （2）若∠A＝35°，∠C＝70°，求∠BDE的度数． 证明：（1）∵BE平分∠ABC， ∴∠DBE＝∠CBE， ∵DE∥BC， ∴∠DEB＝∠CBE， ∴∠DBE＝∠DEB， ∴DB＝DE， ∴△BDE是等腰三角形； （2）解：∵∠A＝35°，∠C＝70°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣35°﹣70°＝75°， ∵DE∥BC， ∴∠BDE+∠DBC＝180°， ∴∠BDE＝180°﹣75°＝105°．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图1，△ABC是等边三角形，AD∥BC,CD⊥AD,若AD=2cm,则△ABC的周长为【12cm】. 2.如图2，△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD⊥BC,垂直为D,若CD=1,则AB=【2】. 3.如图3，在R t △ ABC中，∠ACB=90°, ∠B=60°,CD是△ABC的高，且BD=1,则AD=【3】. 4．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（ D ） A． B．2 C．3 D．4 5．如图，在中，AB=AC=4，∠B=∠C=15°．则△ABC的面积为（ B ） A．16 B．4 C．6 D．8 第4题 第5题 6．如图，在中，，中线交于点D，点E在上，且，，则∠B为【55】度． 7．如图，在中，，和的平分线交于点E，过点E作分别交AB，AC于M，N，则的周长为【6】 8．如图，正方形的边长等于，且边与轴正半轴夹角为，点为坐标原点，则点的坐标为【】． 第6题 第7题 第8题 选做题： 9.如图，在中，，，D为BC边的中点，点E、F分别在AB、AC边上运动，且始终保持，连接DE、DF、EF． (1)求证：≌； (2)判断的形状，并说明理由； (3)求四边形AEDF的面积； (4)若，求EF的长． (1)证明：，，D为BC边的中点， ， 在与中， ≌； (2)≌， ， ， 即， 是等腰直角三角形， (3)≌， 四边形AEDF的面积 (4) 在中 【综合拓展类作业】 10．已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，AD=BE=CF，求证：DE=EF． 解：证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°，AB=BC， ∵AD=BE=CF， ∴AB-AD=BC-BE ∴BD=CE， 在△BDE和△CEF中， ， ∴△BDE≌△CEF（SAS）， ∴DE=EF． 11．点C、D都在线段AB上，且AD＝BC，AE＝BF，∠A＝∠B，CE与DF相交于点G． (1)求证∠E＝∠F； (2)若CE＝10，DG＝4，求 EG的长． 证明：（1）∵， ∴，即， 在与中，， ∴， ∴； (2)由（1）得， ∴， ∴， ∴．
教学反思
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共33张PPT)
三角形的证明
1.1等边三角形
北师大版八年级下册
教材分析
教材选自北师大版数学八年级下册第一章第一节第4课时内容;等边三角形不仅是对前面所学知识的综合应用，也是今后证明角相等、线段相等及两直线垂直的重要依据.因此本节内容在教材中，处于非常重要的地位和承前启后的作用.本节课从等边三角形的定义入手，引发学生通过多种途径对等边三角形的判定进行探究与证明，从角的角度出发，也考虑从边的角度出发，通过一个个问题的解决，激发学生探索问题的欲望，在分析问题和解决问题的过程中获得更多的体验和经验.通过合作、探讨、拼图等实际操作，探索和发现等边三角形的判定以及含30°角的直角三角形的性质定理，在小组学习中通过相互交流的方式学会探索问题和解决问题的基本方法与策略.
教学目标
1、理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30 角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。
2、经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维；经历实际操作，探索含有30 角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力
3、积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.
定理归纳
区别 联系
图形 等腰三角形 （腰≠底）
定 义 性质 判 定 轴对称图形（1条对称轴）
三线合一
两边相等的三角形
等边对等角
等角对等边
等边三角形
三边都相等的三角形
轴对称图形（3条对称轴）
三个角都相等，各内角都是60°
三线合一（3个）
等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质.
新课导入
1.一个三角形满足什么条件时是等边三角形？
2.一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？
请证明你的猜想.
探究新知
例题1、求证：三个角都相等的三角形是等边三角形。
已知：如图：△ABC中，∠A=∠B=∠C.
求证：△ABC是等边三角形
证明： ∵∠A=∠B ∴BC=AC（等角对等边）
∵∠B=∠C ∴AB=AC（等角对等边）
∴AB=BC=AC (等量代换）
∴△ABC是等边三角形。
定理：三个角都相等的三角形是等边三角形。
探究新知
例题2 求证：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
已知：如图，在△ABC中，AB=AC, ∠A=60°（∠B=60°或∠C=60°）。
求证：△ABC是等边三角形。
证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C （等边对等角）
∵∠A+∠B+∠C=180° ∠A=60°
∴∠A=∠B=∠C
∴△ABC是等边三角形。
定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
探究小结
等边三角形的判定方法：
定义：三条边都相等的三角形是等边三角形。
定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
定理2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
探究新知
用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此你能发现什么结论？说说你的理由.
结论：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
探究新知
例题3：已知：如图 ， △ABC是直角三角形，∠C ＝90°， ∠A＝ 30°.
求证： BC＝ AB.
证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD
∵ ∠ACB=90°, ∠BAC=30°
∴∠ACD=90° ,∠B=60°
在△ABC与△ADC中
∵ BC=DC ∠ACB=∠ACD AC=AC
∴△ABC≌△ADC（SAS）
∴ AD=AB
∵∠ACB=90°,
∴△ABD是等边三角形 (有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)
∴BC=BD= AB(等式性质).
300
A
B
C
D
方法一
探究新知
A
B
C
D
证明: 在AB上截取BD=BC,连接CD
∵ ∠ACB=90°,∠BAC= 30°
∴∠B=60°∵BD=BC
∴△BCD是等边三角形
（有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形）
∴ BD=CD, ∠BDC=60°
∴∠BAC= ∠DCA= 30°
∴ CD= AD
∴ BD=AD= AB ∴ BC= AB
方法二
例题3：已知：如图 ， △ABC是直角三角形，∠C ＝90°， ∠A＝ 30°.
求证： BC＝ AB.
探究新知
方法三
A
B
C
D
例题3：已知：如图 ， △ABC是直角三角形，∠C ＝90°， ∠A＝ 30°.
求证： BC＝ AB.
证明: 作∠BCD=60 °,交AB于D
∵ ∠ACB=90°,∠BAC= 30°
∴∠B=60° ∴∠BDC=60°
∴△BCD是等边三角形
（三个角是60度的三角形是等边三角形）
∴ BD=CD, ∠BDC=60°
∴∠BAC= ∠DCA= 30°
∴ CD=AD
∴ BD=AD= AB
∴ BC= AB
探究新知
定理：在直角三角形中, 如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
在△ABC 中，
∵∠C =90 °，∠A =30 °
∴ BC = AB .
A
C
B
典例分析
例 求证: 如果等腰三角形的底角为15°, 那么腰上的高是腰长的一半.
已知：如图，ABC中，AB=AC，∠B= 15°, CD是腰AB上的高
求证: CD= AC
证明: 在△ABC中，∵AB=AC，∠B=15°，
∴∠B=∠ACB=15° (等边对等角),
∴∠DAC=∠B+∠ACB= 15°+ 15°= 30°
(三角形的一个外角,等于和它不相邻的两内角的和).
∵CD是腰AB上的高，
∴∠ADC=90°
∴CD= AC
(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°, 那么它所对的直角边等于斜边的一半).
A
C
B
D
150
150
课堂练习
【知识技能类作业 必做题】
C
1.已知△ABC 的三个外角都相等，且 AB=3cm，则△ABC的周长为（ ）.
A.6cm B.8cm C.9cm D.10cm
2.已知△ABC的三边长 a、b、c 满足∣a -b∣+( b -c) 2 = 0， 则该三角形是_______三角形.
3.如图，已知OA=a，P是射线ON上一动点，
∠AON = 60°，当OP =_____时， △AOP为等
边三角形.
等边
a
60°
a
A
O
P
N
第3题图
课堂练习
A
4．已知a，b是△ABC的两条边长，且a2+b2﹣2ab＝0，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．不确定
5．如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，D是边BC上一点，
且∠BAD＝30°，则CD的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
6．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．要在格点上确定一点C，连结AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
C
B
课堂练习
【知识技能类作业 选做题】
7．在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE＝BD，
（1）当点E为AB的中点时，如图1，求证：EC＝ED；
（2）当点E不是AB的中点时，如图2，过点E作EF∥BC，求证：△AEF是等边三角形；
（3）在第（2）小题的条件下，EC与ED还相等吗，请说明理由．
课堂练习
（2）如图2，∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠C＝60°，
∴△AEF为等边三角形；
课堂练习
课堂练习
8．如图，△ABC中，AB＝AC，AD∥CB，求证：AD平分∠CAE．
解：∵在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD∥CB，
∴∠B＝∠EAD，∠C＝∠CAD，
∴∠EAD＝∠CAD，
∴AD平分∠CAE．
【综合实践类作业】
课堂练习
【综合实践类作业】
9．如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC．
（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）若∠A＝35°，∠C＝70°，求∠BDE的度数．
（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，
∴△BDE是等腰三角形；
（2）解：∵∠A＝35°，∠C＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣35°﹣70°＝75°，
∵DE∥BC，
∴∠BDE+∠DBC＝180°，
∴∠BDE＝180°﹣75°＝105°．
课堂总结
等边三角形的判定方法有：
从边的角度;定义：三条边都相等的三角形是等边三角形.
从角的角度;定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.
从边和角的角度;定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
作业布置
【知识技能类作业 必做题】
1.如图1，△ABC是等边三角形，AD∥BC,CD⊥AD,若AD=2cm,则△ABC的周长为 ___.
2.如图2，△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD⊥BC,垂直为D,若CD=1,则AB=___.
3.如图3，在R t △ ABC中，∠ACB=90°, ∠B=60°,CD是△ABC的高，且BD=1,则AD=___.
(1) (2) (3)
12cm
2
3
作业布置
4．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（ ）
5．如图，在中，AB=AC=4，∠B=∠C=15°．则△ABC的面积为（ ）
A．16 B．4 C．6 D．8
第4题 第5题
A．16 B．4 C．6 D．8
D
B
作业布置
55
6
【知识技能类作业 选做题】
作业布置
作业布置
作业布置
作业布置
【综合实践类作业】
10．已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，AD=BE=CF，求证：DE=EF．
作业布置
11．点C、D都在线段AB上，且AD＝BC，AE＝BF，∠A＝∠B，CE与DF相交于点G．
(1)求证∠E＝∠F；
(2)若CE＝10，DG＝4，求 EG的长．
板书设计
（1）等边三角形的判定方法：
定义 三条边都相等的三角形是等边三角形.
定理 三个角都相等的三角形是等边三角形.
定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
（2）含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 下册 第一章
课标要求 新课标要求教学活动中应注重让学生体会证明是原有探究活动的自然延伸和必然发展。引导学生从问题出发，根据观察和实验的结果，发现证明的思路。本章课标要求：体会转化思想；掌握分类讨论思想；体会建模思想。
内容分析 本章主要内容包括：等腰三角形的性质和判断、等边三角的性质和判断、直角三角形的性质和判断、线段的垂直平分线的性质和判断、角平分线的性质定理及其逆定理；反证法以及利用本章知识证明或解决实际问题。本章是平行线证明的继续，在平行线的证明中给出了一些基本事实，并从基本事实出发，证明了一些有关平行线的结论，利用这些基本事实和已经学过的定理还可以证明三角形的一些结论。三角形的证明是中考的必考内容，考察方式以填空、选择和中档解答题为主，主要考察等腰三角形、直角三角形的角的度数问题，边长的计算或证明角、线段相等或推导角之间的关系或线段之间的而关系。另外角平分线和垂直平分线也是常考题型。
学情分析 本章是八年级上册第七单元平行线的证明的继续，在平行线的证明中给出了8个基本事实，利用这些基本事实证明了一些数学结论，学生具备了一定知识能力，为本章学习奠定了基础。在此之前，学生对图像的性质及其相互关系进行了大量的探索，积累了一定的经验，具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，从而为本章严格的证明有关三角形有关定理打下基础。
单元目标 （一）教学目标1、了解全等三角形的概念和性质，能准确辩论全等三角形的对应元素。2、探索全等三角形的判断方法，能利用全等三角形进行证明，掌握综合法证明格式。3、了解线段垂直平分线的性质，能利用三角形全等证明线段垂直平分线的性质，会用垂直平分线的性质证明命题。4、了解角平分线的性质，能利用三角形全等证明角平分线的性质，会用角平分线的性质证明命题。5、在图形变换和时间操作中，发展空间观念，6、在经历三角形全等的探索过程中，体会利用操作、归纳获得数学知识的过程，培养学生综合运用能力。7、通过本章学习，体会数学与生活息息相关，激发学习数学的兴趣。教学重点、难点重点1、等腰三角形的性质和判断；2、直角三角形的性质和判断；3、线段的垂直平分线的性质和判断；4、角平分线的性质定理及其逆定理；5、真假命题的判断。难点等腰三角形的性质定理和判断定理的证明；用反证法证明利用尺规作等腰三角形和直角三角形。利用本章知识解决或证明有关几何的综合性问题
单元知识结构框架及课时安排 （二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1等腰三角形12等腰三角形和等边三角形13等腰三角形的判断和反证法14等边三角形的判断15直角三角形的判断16直角三角形全等的判断17垂直平分线（1）18垂直平分线（2）19角平分线（1）110角平分线（2）111回顾与反思1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务等腰三角形1、理解等腰三角形的性质，会利用等腰三角形的性质，进行简单的推理、判断和计算。 2、运用现代化的教学手段，通过观察、实践、猜想，论证发展学生的推理能力、动手操作能力和数学语言表达(包括口头和书面)能力。 3、在实际操作动手中感受几何应用美 回顾知识。2、检查预习效果。3、利用三种方法证明等边对等角。4、理解等腰三角形的三线合一，环节一：知识回顾。环节二：检查预习。环节三：探究新知。等腰三角形和等边三角形1、证明等腰三角形的性质定理，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性；2、证明等边三角形的性质定理。3、经历“观察－发现－猜想－论证”的过程，发展学生初步的逻辑推理能力,在图形的观察中，发展学生的几何直觉。4、通过“观察－发现－猜想－论证”，让学生感受数学活动充满着探索性和创造性，突出数学的严谨性。在活动中，培养学生之间的合作精神，从而增强学生学数学、用数学的意识。1、复习内容主要由学生自主回答，教师引导并课件展示，2、学生在导学案上画出其他角平分线，中线和高，小组合作讨论其中一些相等的线段，3、小组代表简述讨论结果并讨论论证，教师巡视从不同角度引导。4、小组代表汇报论证过程。5、学生在导学案上画出其他角平分线，中线和高，小组合作讨论其中一些相等的线段，6、小组代表简述讨论结果并讨论论证，教师巡视从不同角度引导。7、小组代表汇报论证过程。环节一：知识回顾。环节二：等腰三角形相等的线段。环节三：等腰三角形和等边三角形。等腰三角形的判断和反证法1. 探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.2. 通过动手操作探索并掌握识别一个三角形是等腰三角形.3.理解并掌握“等角对等边”，体会与“等边对等角”互逆关系，能够利用三角形的识别方法去解决问题.4.了解反证法，掌握反证法证题的过程。学会数学说理，发展初步的演绎推理能力，进一步体会等腰三角形的对称美.5.过程方法：通过学生装的独立思考、交流合作，让学生经历问题解决的过程，体验解决问题策略的多样性。让学生感悟数学与日常生活的联系，激发学生学习数学的兴趣。1、学生回顾知识。2、学生证明等腰三角形的判定定理。3、让学生分组讨论，合作完成第三个命题证明。4、总结归纳反证法的步骤。环节一：知识回顾。环节二：等腰三角形判断定理的证明。环节三：反证法。等边三角形的判断理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30 角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维；经历实际操作，探索含有30 角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.复习旧知，思考2个问题。证明等边三角形的判定定理，并总结证明三角形是等边三角形的方法。3、动手操作发现结论。4、利用多种方法证明“直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半。”环节一：新课导入。环节二：探究等边三角形判断。环节三：探究在直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半。。直角三角形的判断1、知识与技能：掌握直角三角形的概念及表示法.掌握直角三角形性质。掌握直角三角形判定。了解互逆命题和互逆定理的概念。2、过程与方法：课堂上采用“问题情境-建立模型-应用与拓展的模式展开”，为学生提供充分的探索与交流的时间与空间，使学生进一步掌握推理证明的方法。发展演绎推理的能力。3、情感态度与价值观：让学生经历知识的形成与应用过程，使学生更好地理解数学，应用数学，增强学好数学的信心反证法证明，直角三角形只有一个直角，钝角三角形只有一个钝角。证明有两个角互余的三角形是直角三角形。3、让学生根据以前所学的勾股定理和逆定理的知识直接回答出定理的内容,对于证明学生有一定的难度,尤其是逆定理的证明,在证明时教师加以指导.4、让学生自己总结出互逆命题的定义，然后让学生再分析每个互逆命题是否正确，是真命题还是假命题，从而得出互逆定理的概念。环节一：复习旧知。环节二：探究勾股定理及逆定理。环节三：探究原命题、逆命题的真伪。直角三角形全等的判断1、能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性。2、熟练利用“斜边、直角边”定理判定两个直角三角形是否全等，解决一些简单的实际问题。 3、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。 经历探索直角三角形全等条件的过程，进一步掌握证明几何问题和解决简单实际问题 的方法。 4、让学生理解事物的特殊与一般的关系，培养学生的思维品质及能力。通过定理的证明，范例的分析过程的教学，培养观察分析问题、把实际问题抽象概括成数学问题、并加以论证解决的能力。通过“HL”定理的推导渗透变换的思想，培养学生一题多解的思维能力，拓宽学生的知识面，并使学生在数学学习中体验数学推理证明的乐趣，获得成功的喜悦。1、回顾知识，根据三角形全等的判断条件，判断三角形是否全等，并说明理由。2、学生按要求画直角三角形。3、猜想、验证斜边、直角定理（HL）4、小组合作运用“斜边、直角边”定理解决问题，注意规范书写。环节一：复习导入。环节二：探究“斜边、直角边”定理。环节三：典例分析。垂直平分线（1）1.经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力。2.证明线段垂直平分线的性质定理，探索并证明线段垂直平分线的判定定理，进一步发展推理能力。3.能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题。回顾知识。试着确定码头位置。利用多种方法证明垂直平分线定理。利用垂直平分线定理解决问题，注意书写的规范性环节一：复习旧知，情景导入。环节二：探究垂直平分线定理。环节三：典例分析。垂直平分线（2）1.通过动手操作、尺规作图和理论证明，能探究出“三角形三边垂直平分线的性质”， 进一步发展学生的推理证明意识和能力,并会熟练应用来解决实际问题.2.借助线段垂直平分线的尺规作图，通过个人探究和小组交流，能准确作出符合条件的几何图形；体会转化的思想.1、知识回顾，用数学语言描述垂直平分线定理。2、尺规准确作出符合条件的几何图形：已知直线（或线段）的垂线；3、能严密流畅地写出“三角形三边垂直平分线的性质定理”的证明过程。4、运用知识解决实际问题，关注学生答题的规范性。环节一：复习旧知。环节二：探究尺规作垂直平分线。环节三：典例分析角平分线（1）1.通过自主学习能够用数学语言描述角平分线的性质定理和判定定理.2.经历小组合作探究会证明角平分线的性质定理和判定定理.3.经过练习拓展，能够灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解决有关问题， 体会转化的思想.1、准确回忆角平分线的定义且领悟角平分线位于角的内部，为准确表述角平分线性质定理的逆命题作准备.2、学生在探究和交流的过程中准确完整写出证明过程.3、学生对角平分线的性质定理、判定定理的几何语言的书写是否简洁明了.4、关注学生是否积极参与，检查基础知识的掌握情况.5、关注学生在学习活动是否感受到成功的快乐.环节一：知识再现。环节二：探究新知。环节三：典例分析角平分线（2）1. 通过对角的平分线性质定理和判定定理的理解，能运用定理熟练推导出三角形中三条角平分线的性质，完成例2的证明．2. 通过例3的学习，能熟练运用角平分线的性质定理及判定定理进行数学的证明与计算；3.能准确的说出三角形三边垂直平分线与角平分线交点性质的区别；4.通过小组成员的合作交流学习，4/5的学生能够运用角平分线的性质定理及判定定理，灵活解决实际问题． 1、独立回答问题。2、学生独立思考，并上台展示自己的思路，最后将证明过程整理在学案上。3、学生独立思考并和同学们分享解题思路，然后独立完成解答，最后与教材解答进行比对、更改。环节一：知识再现。环节二：探究三角形角平分线。环节三：典例分析回顾与反思1．知识目标：在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等.2．能力目标：进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.3．情感价值观要求通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.学生回顾知识，构建知识框架。教师引导学生梳理知识，学生独立解决练一练，关注中差生的成长。自学例题，并完成课堂练习，关注中下生。环节一：知识框架。环节二：知识梳理。环节三：考点讲练
《三角形的证明》单元教学设计
活动一；回顾知识
活动二；检查预习
任务一：等腰三角形
活动三；探究新知
三
角
形
的
证
明
活动一；回顾知识
活动二；等腰三角形相等的线段
任务二：等腰三角形和等边三角形形
活三；等边三角形
活动一；回顾知识
活动二；等腰三角形的判断与反证法
任务三：等腰三角形的判断和反证法
活三；反证法
活动一；新课导入
活动二；探究等边三角形的判断
任务四：等边三角形的判断
活动三；探究直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半
活动一；复习旧知
任务五：直角三角形的判断
活动二；探究勾股定理的逆定理
活动三；探究原命题和逆命题
活动一；复习导入
三
角
形
的
证
明
活动二；探究“直角边、斜边”定理
任务六：直角形全等的判断
活动三；典例分析
活动一；复习知识情景导入
活动二；探究垂直平分线定理
任务七：垂直平分线（1）
活动三；典例分析
活动一；复习知识
任务八：垂直平分线（2）
活动二；探究尺规作图
活动三；典例分析
活动一；知识在现
活动二；探究新知
任务九：角平分线（1）
活动三；典例分析
活动一；知识在现
活动二；探究三角形角平分线
任务十：角平分线（2）
三
角
形
的
证
明
活动三；典例精析
活动一；知识框架
任务十一：回顾与反思
活动二；知识梳理
活动三；考点讲练
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