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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 下册 第一章
课标要求 新课标要求教学活动中应注重让学生体会证明是原有探究活动的自然延伸和必然发展。引导学生从问题出发，根据观察和实验的结果，发现证明的思路。本章课标要求：体会转化思想；掌握分类讨论思想；体会建模思想。
内容分析 本章主要内容包括：等腰三角形的性质和判断、等边三角的性质和判断、直角三角形的性质和判断、线段的垂直平分线的性质和判断、角平分线的性质定理及其逆定理；反证法以及利用本章知识证明或解决实际问题。本章是平行线证明的继续，在平行线的证明中给出了一些基本事实，并从基本事实出发，证明了一些有关平行线的结论，利用这些基本事实和已经学过的定理还可以证明三角形的一些结论。三角形的证明是中考的必考内容，考察方式以填空、选择和中档解答题为主，主要考察等腰三角形、直角三角形的角的度数问题，边长的计算或证明角、线段相等或推导角之间的关系或线段之间的而关系。另外角平分线和垂直平分线也是常考题型。
学情分析 本章是八年级上册第七单元平行线的证明的继续，在平行线的证明中给出了8个基本事实，利用这些基本事实证明了一些数学结论，学生具备了一定知识能力，为本章学习奠定了基础。在此之前，学生对图像的性质及其相互关系进行了大量的探索，积累了一定的经验，具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，从而为本章严格的证明有关三角形有关定理打下基础。
单元目标 （一）教学目标1、了解全等三角形的概念和性质，能准确辩论全等三角形的对应元素。2、探索全等三角形的判断方法，能利用全等三角形进行证明，掌握综合法证明格式。3、了解线段垂直平分线的性质，能利用三角形全等证明线段垂直平分线的性质，会用垂直平分线的性质证明命题。4、了解角平分线的性质，能利用三角形全等证明角平分线的性质，会用角平分线的性质证明命题。5、在图形变换和时间操作中，发展空间观念，6、在经历三角形全等的探索过程中，体会利用操作、归纳获得数学知识的过程，培养学生综合运用能力。7、通过本章学习，体会数学与生活息息相关，激发学习数学的兴趣。教学重点、难点重点1、等腰三角形的性质和判断；2、直角三角形的性质和判断；3、线段的垂直平分线的性质和判断；4、角平分线的性质定理及其逆定理；5、真假命题的判断。难点等腰三角形的性质定理和判断定理的证明；用反证法证明利用尺规作等腰三角形和直角三角形。利用本章知识解决或证明有关几何的综合性问题
单元知识结构框架及课时安排 （二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1等腰三角形12等腰三角形和等边三角形13等腰三角形的判断和反证法14等边三角形的判断15直角三角形的判断16直角三角形全等的判断17垂直平分线（1）18垂直平分线（2）19角平分线（1）110角平分线（2）111回顾与反思1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务等腰三角形1、理解等腰三角形的性质，会利用等腰三角形的性质，进行简单的推理、判断和计算。 2、运用现代化的教学手段，通过观察、实践、猜想，论证发展学生的推理能力、动手操作能力和数学语言表达(包括口头和书面)能力。 3、在实际操作动手中感受几何应用美 回顾知识。2、检查预习效果。3、利用三种方法证明等边对等角。4、理解等腰三角形的三线合一，环节一：知识回顾。环节二：检查预习。环节三：探究新知。等腰三角形和等边三角形1、证明等腰三角形的性质定理，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性；2、证明等边三角形的性质定理。3、经历“观察－发现－猜想－论证”的过程，发展学生初步的逻辑推理能力,在图形的观察中，发展学生的几何直觉。4、通过“观察－发现－猜想－论证”，让学生感受数学活动充满着探索性和创造性，突出数学的严谨性。在活动中，培养学生之间的合作精神，从而增强学生学数学、用数学的意识。1、复习内容主要由学生自主回答，教师引导并课件展示，2、学生在导学案上画出其他角平分线，中线和高，小组合作讨论其中一些相等的线段，3、小组代表简述讨论结果并讨论论证，教师巡视从不同角度引导。4、小组代表汇报论证过程。5、学生在导学案上画出其他角平分线，中线和高，小组合作讨论其中一些相等的线段，6、小组代表简述讨论结果并讨论论证，教师巡视从不同角度引导。7、小组代表汇报论证过程。环节一：知识回顾。环节二：等腰三角形相等的线段。环节三：等腰三角形和等边三角形。等腰三角形的判断和反证法1. 探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.2. 通过动手操作探索并掌握识别一个三角形是等腰三角形.3.理解并掌握“等角对等边”，体会与“等边对等角”互逆关系，能够利用三角形的识别方法去解决问题.4.了解反证法，掌握反证法证题的过程。学会数学说理，发展初步的演绎推理能力，进一步体会等腰三角形的对称美.5.过程方法：通过学生装的独立思考、交流合作，让学生经历问题解决的过程，体验解决问题策略的多样性。让学生感悟数学与日常生活的联系，激发学生学习数学的兴趣。1、学生回顾知识。2、学生证明等腰三角形的判定定理。3、让学生分组讨论，合作完成第三个命题证明。4、总结归纳反证法的步骤。环节一：知识回顾。环节二：等腰三角形判断定理的证明。环节三：反证法。等边三角形的判断理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30 角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维；经历实际操作，探索含有30 角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.复习旧知，思考2个问题。证明等边三角形的判定定理，并总结证明三角形是等边三角形的方法。3、动手操作发现结论。4、利用多种方法证明“直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半。”环节一：新课导入。环节二：探究等边三角形判断。环节三：探究在直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半。。直角三角形的判断1、知识与技能：掌握直角三角形的概念及表示法.掌握直角三角形性质。掌握直角三角形判定。了解互逆命题和互逆定理的概念。2、过程与方法：课堂上采用“问题情境-建立模型-应用与拓展的模式展开”，为学生提供充分的探索与交流的时间与空间，使学生进一步掌握推理证明的方法。发展演绎推理的能力。3、情感态度与价值观：让学生经历知识的形成与应用过程，使学生更好地理解数学，应用数学，增强学好数学的信心反证法证明，直角三角形只有一个直角，钝角三角形只有一个钝角。证明有两个角互余的三角形是直角三角形。3、让学生根据以前所学的勾股定理和逆定理的知识直接回答出定理的内容,对于证明学生有一定的难度,尤其是逆定理的证明,在证明时教师加以指导.4、让学生自己总结出互逆命题的定义，然后让学生再分析每个互逆命题是否正确，是真命题还是假命题，从而得出互逆定理的概念。环节一：复习旧知。环节二：探究勾股定理及逆定理。环节三：探究原命题、逆命题的真伪。直角三角形全等的判断1、能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性。2、熟练利用“斜边、直角边”定理判定两个直角三角形是否全等，解决一些简单的实际问题。 3、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。 经历探索直角三角形全等条件的过程，进一步掌握证明几何问题和解决简单实际问题 的方法。 4、让学生理解事物的特殊与一般的关系，培养学生的思维品质及能力。通过定理的证明，范例的分析过程的教学，培养观察分析问题、把实际问题抽象概括成数学问题、并加以论证解决的能力。通过“HL”定理的推导渗透变换的思想，培养学生一题多解的思维能力，拓宽学生的知识面，并使学生在数学学习中体验数学推理证明的乐趣，获得成功的喜悦。1、回顾知识，根据三角形全等的判断条件，判断三角形是否全等，并说明理由。2、学生按要求画直角三角形。3、猜想、验证斜边、直角定理（HL）4、小组合作运用“斜边、直角边”定理解决问题，注意规范书写。环节一：复习导入。环节二：探究“斜边、直角边”定理。环节三：典例分析。垂直平分线（1）1.经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力。2.证明线段垂直平分线的性质定理，探索并证明线段垂直平分线的判定定理，进一步发展推理能力。3.能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题。回顾知识。试着确定码头位置。利用多种方法证明垂直平分线定理。利用垂直平分线定理解决问题，注意书写的规范性环节一：复习旧知，情景导入。环节二：探究垂直平分线定理。环节三：典例分析。垂直平分线（2）1.通过动手操作、尺规作图和理论证明，能探究出“三角形三边垂直平分线的性质”， 进一步发展学生的推理证明意识和能力,并会熟练应用来解决实际问题.2.借助线段垂直平分线的尺规作图，通过个人探究和小组交流，能准确作出符合条件的几何图形；体会转化的思想.1、知识回顾，用数学语言描述垂直平分线定理。2、尺规准确作出符合条件的几何图形：已知直线（或线段）的垂线；3、能严密流畅地写出“三角形三边垂直平分线的性质定理”的证明过程。4、运用知识解决实际问题，关注学生答题的规范性。环节一：复习旧知。环节二：探究尺规作垂直平分线。环节三：典例分析角平分线（1）1.通过自主学习能够用数学语言描述角平分线的性质定理和判定定理.2.经历小组合作探究会证明角平分线的性质定理和判定定理.3.经过练习拓展，能够灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解决有关问题， 体会转化的思想.1、准确回忆角平分线的定义且领悟角平分线位于角的内部，为准确表述角平分线性质定理的逆命题作准备.2、学生在探究和交流的过程中准确完整写出证明过程.3、学生对角平分线的性质定理、判定定理的几何语言的书写是否简洁明了.4、关注学生是否积极参与，检查基础知识的掌握情况.5、关注学生在学习活动是否感受到成功的快乐.环节一：知识再现。环节二：探究新知。环节三：典例分析角平分线（2）1. 通过对角的平分线性质定理和判定定理的理解，能运用定理熟练推导出三角形中三条角平分线的性质，完成例2的证明．2. 通过例3的学习，能熟练运用角平分线的性质定理及判定定理进行数学的证明与计算；3.能准确的说出三角形三边垂直平分线与角平分线交点性质的区别；4.通过小组成员的合作交流学习，4/5的学生能够运用角平分线的性质定理及判定定理，灵活解决实际问题． 1、独立回答问题。2、学生独立思考，并上台展示自己的思路，最后将证明过程整理在学案上。3、学生独立思考并和同学们分享解题思路，然后独立完成解答，最后与教材解答进行比对、更改。环节一：知识再现。环节二：探究三角形角平分线。环节三：典例分析回顾与反思1．知识目标：在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等.2．能力目标：进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.3．情感价值观要求通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.学生回顾知识，构建知识框架。教师引导学生梳理知识，学生独立解决练一练，关注中差生的成长。自学例题，并完成课堂练习，关注中下生。环节一：知识框架。环节二：知识梳理。环节三：考点讲练
《三角形的证明》单元教学设计
活动一；回顾知识
活动二；检查预习
任务一：等腰三角形
活动三；探究新知
三
角
形
的
证
明
活动一；回顾知识
活动二；等腰三角形相等的线段
任务二：等腰三角形和等边三角形形
活三；等边三角形
活动一；回顾知识
活动二；等腰三角形的判断与反证法
任务三：等腰三角形的判断和反证法
活三；反证法
活动一；新课导入
活动二；探究等边三角形的判断
任务四：等边三角形的判断
活动三；探究直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半
活动一；复习旧知
任务五：直角三角形的判断
活动二；探究勾股定理的逆定理
活动三；探究原命题和逆命题
活动一；复习导入
三
角
形
的
证
明
活动二；探究“直角边、斜边”定理
任务六：直角形全等的判断
活动三；典例分析
活动一；复习知识情景导入
活动二；探究垂直平分线定理
任务七：垂直平分线（1）
活动三；典例分析
活动一；复习知识
任务八：垂直平分线（2）
活动二；探究尺规作图
活动三；典例分析
活动一；知识在现
活动二；探究新知
任务九：角平分线（1）
活动三；典例分析
活动一；知识在现
活动二；探究三角形角平分线
任务十：角平分线（2）
三
角
形
的
证
明
活动三；典例精析
活动一；知识框架
任务十一：回顾与反思
活动二；知识梳理
活动三；考点讲练
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三角形的证明
1.2直角三角形的判断
北师大版八年级下册
教材分析
本节内容选自北师大版八年级数学下册第一章第二节内容，教材从实际问题入手，给学生创设学习情境，研究直角三角形的边角关系，最后用勾股定理的知识来解决实际问题，为了充分调动学生学习的积极性，发挥学生的主观能动性，是他们变被动学习为主动学习，因此让学生通过观察、引导学生去思考、讨论、归纳、概括等方法帮助学生理解本节内容，从而突破学习难点。
逆定理安排在本章，表面看是独立的内容，其实与三角形有关内容具有密切的联系，关于三角形的性质和判断的许多命题之间都存在互逆关系，这样安排既加深对原命题和逆命题的理解，又巩固了三角形的有关知识。
教学目标
1、知识与技能：掌握直角三角形的概念及表示法.掌握直角三角形性质。掌握直角三角形判定。了解互逆命题和互逆定理的概念。
2、过程与方法：课堂上采用“问题情境-建立模型-应用与拓展的模式展开”，为学生提供充分的探索与交流的时间与空间，使学生进一步掌握推理证明的方法。发展演绎推理的能力。
3、情感态度与价值观：让学生经历知识的形成与应用过程，使学生更好地理解数学，应用数学，增强学好数学的信心
复习旧知
三角形
锐角三角形
三个角都是锐角
直角三角形
有一个角是直角
钝角三角形
有一个角是钝角
按角分类
有两个直角吗？为什么？
有两个钝角吗？为什么？
复习回顾
直角三角形:
定义：有一个内角是直角的三角形.
表示：Rt△ABC
面积：
A
C
B
直角边
斜边
a
b
c
探究新知
1、直角三角形的两个锐角有怎样的关系？
直角三角形的两个锐角互余
2、如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？
有两个角互余的三角形是直角三角形，你可以证明吗？
探究新知
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
c
b
勾
弦
股
探究新知
在一个三角形中,当两边的平方和等于第三边的平方时,这个三角形是直角三角形。
你能证明吗？
分析: 由边的关系推出角是90度, 是不容易的,如果能借助于ΔABC与一个直角三角形全等,导出∠A=90 即可.
探究新知
已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2.
求证:△ABC是直角三角形.
a
c
b
A
B
C
(1)
证明:作Rt △A′B′C′使∠C′=900,
A′C′=AC,B′C′=BC(如图),则
A′C′2+B′C′2=A′B′2(勾股定理).
∵AC2 + BC2 = AB2(已知),
A′C′=AC,B′C′=BC(作图),
∴ AB2=A′B′2(等式性质).
∴ AB=A′B′(等式性质).
∴ △ABC≌ △A′B′C′(SSS).
∴ ∠A=∠A′＝900(全等三角形的对应边).
∴ △ABC是直角三角形(直角三角形定义).
a
c
b
B′
A′
C′
(2)
探究新知
如果三角形的三边长a、b、c满足
那么这个三角形是直角三角形。
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么有
a2 + b2 = c2
a2 + b2 = c2
勾股定理
互逆命题
探究新知
互逆命题
在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就为原命题．
原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题!!
探究新知
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.
我们已经学习了一些互逆的定理,如:
勾股定理及其逆定理,
两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.
典例分析
再观察下面三组命题的条件和结论之间也有类似的关系吗 与同伴进行交流.
如果两个角是对顶角,那么它们相等,
如果两个角相等,那么它们是对顶角;
如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧,
如果小明发烧,那么他一定患了肺炎;
三角形中相等的边所对的角相等,
三角形中相等的角所对的边相等.
典例分析
说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假:
大胆尝试
(1)四边形是多边形；
(2)两直线平行，同旁内角互补；
(3)如果ab=0，那么a=0 b=0
解：(1)多边形是四边形．原命题是真命题，而逆命题是假命题．
(2)同旁内角互补，两直线平行．原命题与逆命题同为真命题．
(3)如果a=0，b=0，那么ab=0．原命题是假命题，而逆命题
是真命题．
课堂练习
【知识技能类作业 必做题】
A
1. 适合条件 ∠A=∠B= ∠C 的三角形是 ( )
A. 锐角三形 B. 直角三形 C. 钝角三形 D. 都有可能
2. 下列命题的逆命题正确的是( )
A. 两条直线平行，内错角相等
B. 若两个实数相等，则它们的绝对值相等
C. 全等三角形的对应角相等
D. 若两个实数相等，则它们的平方也相等
3. 下面直角三角形中，不能解直角三角形的是( )
A. 已知一直角边和它所对的锐角 B. 已知一直角和斜边
C. 已知两条直角边 D. 已知斜边和一锐角
B
B
课堂练习
A
A
C
课堂练习
【知识技能类作业 选做题】
课堂练习
【综合实践类作业】
8、在正方形ABCD中,F为CD的中点,E为BC上的一点, 且EC= BC
求证:∠EFA=90°
A
B
C
D
E
F
方法一:利用相似证明
方法二:利用勾股定理计算
三边,再利用勾股定理逆定
理判定是直角三角形.
课堂练习
课堂练习
课堂总结
1、直角三角形的判断
2.了解了勾股定理及逆定理的证明方法;
3.了解了逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立;解了逆定理的
4.了解了逆定理的概念，知道并非所有的定理都有逆命题.
【知识技能类作业 必做题】
作业布置
A
B
C
B
作业布置
【知识技能类作业 必做题】
D
A
B
【知识技能类作业 选做题】
作业布置
作业布置
作业布置
【综合实践类作业】
9.如图,正四棱柱的底面边长为5cm,侧棱长为8cm,一只蚂蚁欲从正四棱柱的底面上的点A沿棱柱侧面到点C1处吃食物,那么它需要爬行的最短路径是多少？
B
A
B1
D1
A1
D
C1
C
解:如下图,将四棱柱的侧面展开,连结AC1
∵AC=10cm,CC1=8cm(已知),
,
答:蚂蚁需要爬行的最短路径是 cm.
作业布置
. 证明：（1）∵∠ACB＝90゜， CD⊥AB于D，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B；
（2）在Rt△AFC中，∠CFA＝90°﹣∠CAF，
同理在Rt△AED中，∠AED＝90°﹣∠DAE．
又∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠DAE，
∴∠AED＝∠CFE，
又∵∠CEF＝∠AED，
∴∠CEF＝∠CFE．
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教学内容分析 本节内容选自北师大版八年级数学下册第一章第二节内容，教材从实际问题入手，给学生创设学习情境，研究直角三角形的边角关系，最后用勾股定理的知识来解决实际问题，为了充分调动学生学习的积极性，发挥学生的主观能动性，是他们变被动学习为主动学习，因此让学生通过观察、引导学生去思考、讨论、归纳、概括等方法帮助学生理解本节内容，从而突破学习难点。 逆定理安排在本章，表面看是独立的内容，其实与三角形有关内容具有密切的联系，关于三角形的性质和判断的许多命题之间都存在互逆关系，这样安排既加深对原命题和逆命题的理解，又巩固了三角形的有关知识。
学习者分析 直角三角形的判断和勾股定理及其逆定理在前面已有学生通过一些直观的方法进行了探究，所以学生对这些结论有了一定的了解，虽然勾股定理的证明方法很多，但对学生来说这些都有一定的难点因此教材将其内容安排在读一读，供有兴趣的学生阅读，不要求所有学生掌握，其逆定理也有一定的难度。 学生比较容易识别两个命题是不是互逆，但对于逆定理正确与否可能拔网线不大，需要通过证明逆命题的真伪，所以本课安排的活动让学生再次感受从正反两个方面来探究某一个问题。
教学目标 1、知识与技能：掌握直角三角形的概念及表示法.掌握直角三角形性质。掌握直角三角形判定。了解互逆命题和互逆定理的概念。 2、过程与方法：课堂上采用“问题情境-建立模型-应用与拓展的模式展开”，为学生提供充分的探索与交流的时间与空间，使学生进一步掌握推理证明的方法。发展演绎推理的能力。 3、情感态度与价值观：让学生经历知识的形成与应用过程，使学生更好地理解数学，应用数学，增强学好数学的信心
教学重点 ①了解勾股定理及其逆定理的证明方法． ②结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．
教学难点 勾股定理及其逆定理的证明方法．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习旧知； 教师活动1： 三角形的分类按角分：【锐角三角形（3个均为锐角）；直角三角形（只有一个锐角）；钝角三角形（只有一个钝角）】 学生自己反证法证明，直角三角形只有一个直角，钝角三角形只有一个钝角 直角三角形两锐角之间的关系【直角三角形两锐角之和互余。逆命题两锐角互余的三角形是直角三角形】 证明：有两个角互余的三角形是直角三角形学生活动1： 反证法证明，直角三角形只有一个直角，钝角三角形只有一个钝角。 证明有两个角互余的三角形是直角三角形活动意图说明： 让学生复习回顾前面所学习的有关直角三角形的性质和判定，为本课直角三角形的性质和判定定理的证明做准备,激发学生学习兴趣和求知欲，为新课的学习做下铺垫.环节二：探究勾股定理逆定理教师活动2： 1、勾股定理 ;如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 2、勾股定理逆定理：在一个三角形中,当两边的平方和等于第三边的平方时,这个三角形是直角三角形。 证明逆定理 分析: 由边的关系推出角是90度, 是不容易的,如果能借助于ΔABC与一个直角三角形全等,导出∠A=90 即可. 已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2. 求证:△ABC是直角三角形. 学生活动2： 1、让学生根据以前所学的勾股定理和逆定理的知识直接回答出定理的内容,对于证明学生有一定的难度,尤其是逆定理的证明,在证明时教师加以指导. 活动意图说明： 让学生掌握勾股定理及其逆定理的内容和证明的方法.对于勾股定理及其逆定理主要是让学生掌握其应用,因此在证明时只要求学生能够接受证明的方法和过程即可,不宜对学生提出更高的要求.环节三：探究原命题和逆命题教师活动3： 3、在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就为原命题． 注意： （1）原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题!! （2）如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理. （3）我们已经学习了一些互逆的定理,如: 勾股定理及其逆定理, 两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行. （4）再观察下面三组命题的条件和结论之间也有类似的关系吗 与同伴进行交流. 如果两个角是对顶角,那么它们相等, 如果两个角相等,那么它们是对顶角; 如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧, 如果小明发烧,那么他一定患了肺炎; 三角形中相等的边所对的角相等, 三角形中相等的角所对的边相等. 4大胆尝试 说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假: (1)四边形是多边形； (2)两直线平行，同旁内角互补； (3)如果ab=0，那么a=0 b=0 分析：(1)多边形是四边形．原命题是真命题，而逆命题是假命题． (2)同旁内角互补，两直线平行．原命题与逆命题同为真命题． (3)如果a=0，b=0，那么ab=0．原命题是假命题，而逆命题 是真命题．学生活动3： 1、让学生自己总结出互逆命题的定义，然后让学生再分析每个互逆命题是否正确，是真命题还是假命题，从而得出互逆定理的概念。活动意图说明： 通过师生的共同探究,使学生掌握互逆命题和互逆定理的定义,提高了推理及归纳能力,进一步发展学生的逻辑思维和发展演绎推理能力,同时,既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力,又感受到数学逻辑关系存在的必然性,掌握了对数学问题初步的推理证明方法.
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课堂练习 【知识技能类作业 必做题】 1. 适合条件 的三角形是 A. 锐角三形 B. 直角三形 C. 钝角三形 D. 都有可能 2. 下列命题的逆命题正确的是 A. 两条直线平行，内错角相等 B. 若两个实数相等，则它们的绝对值相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 若两个实数相等，则它们的平方也相等 3. 下面直角三角形中，不能解直角三角形的是 A. 已知一直角边和它所对的锐角 B. 已知一直角和斜边 C. 已知两条直角边 D. 已知斜边和一锐角 4. 如图，在 中，， 平分 ，，，则 的长等于 A. B. C. D. 5. 如图，在直角三角形 中，，过点 作线段 交 于点 ，且 ，若 ，，则 等于 A. B. C. D. 6. 如图， 于 点 ， 于 点 ，若 ，则下列结论中不正确的是 A. B. C. D. 第4题 第5题 第6题 【知识技能类作业 选做题】 7. 如图，在平面直角坐标系 中，正方形 的顶点 ， 分别在 轴、 轴上，． （1）求直线 的表达式； （2）若直线 与该正方形有两个公共点，请直接写出 的取值范围． 解：（1） ， 是正方形， ， ． 设直线 的解析式为 ． 在直线 上， ，． ． （2） ． 【综合拓展类作业】 8、在正方形ABCD中,F为CD的中点,E为BC上的一点, 且EC= BC求证:∠EFA=90° 方法一:利用相似证明 方法二:利用勾股定理计算三边,再利用勾股定 理逆定理判定是直角三角形. 9. 如图，有三个论断： ① ； ② ； ③ ． （1）请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； （2）选择（）中的一个真命题加以证明． 解：（1） 命题一：如果 ，，那么 ．此命题是真命题． 命题二：如果 ，，那么 ．此命题是真命题． 命题三：如果 ，，那么 ．此命题是真命题． （2） 以命题一为例，证明如下： 如图， ，， ， ， ， 又 ， ， ．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2，则BC＝（ A ） A．1 B．2 C． D． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，则∠A＝（ B ） A．45° B．55° C．65° D．75° 3．一个直角三角形的两条直角边分别为5、12，则斜边上的中线为（ C ） A． B． C． D． 4．如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个直角三角形中一个锐角的度数是（ B ） A．9° B．18° C．27° D．36° 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，点D到AB的距离DE＝38cm，那么BC＝（ D ） A．38cm B．76cm C．112cm D．114cm 6．如图，BE⊥AE，CF⊥AE，垂足分别为E、F，D是EF的中点，CF＝AF．若BE＝4，DE＝2，则△ACD的面积为（ A ） A．12 B．13 C．16 D．24 7．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ B ） A． m B．4 m C．4 m D．8 m 选做题： 8．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为高，且CD，CE三等分∠ACB． （1）求∠B的度数； （2）求证：CE是AB边上的中线，且CE＝AB． （1）解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB， ∴∠ACD＝∠DCE＝∠BCE＝30°，则∠BCD＝60°， 又∵CD为高， ∴∠B＝90°﹣60°＝30° （2）证明：由（1）知，∠B＝∠BCE＝30°，则CE＝BE，AC＝AB． ∵∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴∠A＝60°， 又∵由（1）知，∠ACD＝∠DCE＝30°， ∴∠ACE＝∠A＝60°， ∴△ACE是等边三角形， ∴AC＝AE＝EC＝AB， ∴AE＝BE，即点E是AB的中点． ∴CE是AB边上的中线，且CE＝AB． 【综合拓展类作业】 9.如图,正四棱柱的底面边长为5cm,侧棱长为8cm,一只蚂蚁欲从正四棱柱的底面上的点A沿棱柱侧面到点C1处吃食物,那么它需要爬行的最短路径是多少？ 解:如下图,将四棱柱的侧面展开,连结AC1 ∵AC=10cm,CC1=8cm(已知), 答:蚂蚁需要爬行的最短路径是2 cm. 10．如图，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D． （1）求证：∠ACD＝∠B； （2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE． 证明：（1）∵∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D， ∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°， ∴∠ACD＝∠B； （2）在Rt△AFC中，∠CFA＝90°﹣∠CAF， 同理在Rt△AED中，∠AED＝90°﹣∠DAE． 又∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠DAE， ∴∠AED＝∠CFE， 又∵∠CEF＝∠AED， ∴∠CEF＝∠CFE．
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