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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 下册 第一章
课标要求 新课标要求教学活动中应注重让学生体会证明是原有探究活动的自然延伸和必然发展。引导学生从问题出发，根据观察和实验的结果，发现证明的思路。本章课标要求：体会转化思想；掌握分类讨论思想；体会建模思想。
内容分析 本章主要内容包括：等腰三角形的性质和判断、等边三角的性质和判断、直角三角形的性质和判断、线段的垂直平分线的性质和判断、角平分线的性质定理及其逆定理；反证法以及利用本章知识证明或解决实际问题。本章是平行线证明的继续，在平行线的证明中给出了一些基本事实，并从基本事实出发，证明了一些有关平行线的结论，利用这些基本事实和已经学过的定理还可以证明三角形的一些结论。三角形的证明是中考的必考内容，考察方式以填空、选择和中档解答题为主，主要考察等腰三角形、直角三角形的角的度数问题，边长的计算或证明角、线段相等或推导角之间的关系或线段之间的而关系。另外角平分线和垂直平分线也是常考题型。
学情分析 本章是八年级上册第七单元平行线的证明的继续，在平行线的证明中给出了8个基本事实，利用这些基本事实证明了一些数学结论，学生具备了一定知识能力，为本章学习奠定了基础。在此之前，学生对图像的性质及其相互关系进行了大量的探索，积累了一定的经验，具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，从而为本章严格的证明有关三角形有关定理打下基础。
单元目标 （一）教学目标1、了解全等三角形的概念和性质，能准确辩论全等三角形的对应元素。2、探索全等三角形的判断方法，能利用全等三角形进行证明，掌握综合法证明格式。3、了解线段垂直平分线的性质，能利用三角形全等证明线段垂直平分线的性质，会用垂直平分线的性质证明命题。4、了解角平分线的性质，能利用三角形全等证明角平分线的性质，会用角平分线的性质证明命题。5、在图形变换和时间操作中，发展空间观念，6、在经历三角形全等的探索过程中，体会利用操作、归纳获得数学知识的过程，培养学生综合运用能力。7、通过本章学习，体会数学与生活息息相关，激发学习数学的兴趣。教学重点、难点重点1、等腰三角形的性质和判断；2、直角三角形的性质和判断；3、线段的垂直平分线的性质和判断；4、角平分线的性质定理及其逆定理；5、真假命题的判断。难点等腰三角形的性质定理和判断定理的证明；用反证法证明利用尺规作等腰三角形和直角三角形。利用本章知识解决或证明有关几何的综合性问题
单元知识结构框架及课时安排 （二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1等腰三角形12等腰三角形和等边三角形13等腰三角形的判断和反证法14等边三角形的判断15直角三角形的判断16直角三角形全等的判断17垂直平分线（1）18垂直平分线（2）19角平分线（1）110角平分线（2）111回顾与反思1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务等腰三角形1、理解等腰三角形的性质，会利用等腰三角形的性质，进行简单的推理、判断和计算。 2、运用现代化的教学手段，通过观察、实践、猜想，论证发展学生的推理能力、动手操作能力和数学语言表达(包括口头和书面)能力。 3、在实际操作动手中感受几何应用美 回顾知识。2、检查预习效果。3、利用三种方法证明等边对等角。4、理解等腰三角形的三线合一，环节一：知识回顾。环节二：检查预习。环节三：探究新知。等腰三角形和等边三角形1、证明等腰三角形的性质定理，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性；2、证明等边三角形的性质定理。3、经历“观察－发现－猜想－论证”的过程，发展学生初步的逻辑推理能力,在图形的观察中，发展学生的几何直觉。4、通过“观察－发现－猜想－论证”，让学生感受数学活动充满着探索性和创造性，突出数学的严谨性。在活动中，培养学生之间的合作精神，从而增强学生学数学、用数学的意识。1、复习内容主要由学生自主回答，教师引导并课件展示，2、学生在导学案上画出其他角平分线，中线和高，小组合作讨论其中一些相等的线段，3、小组代表简述讨论结果并讨论论证，教师巡视从不同角度引导。4、小组代表汇报论证过程。5、学生在导学案上画出其他角平分线，中线和高，小组合作讨论其中一些相等的线段，6、小组代表简述讨论结果并讨论论证，教师巡视从不同角度引导。7、小组代表汇报论证过程。环节一：知识回顾。环节二：等腰三角形相等的线段。环节三：等腰三角形和等边三角形。等腰三角形的判断和反证法1. 探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.2. 通过动手操作探索并掌握识别一个三角形是等腰三角形.3.理解并掌握“等角对等边”，体会与“等边对等角”互逆关系，能够利用三角形的识别方法去解决问题.4.了解反证法，掌握反证法证题的过程。学会数学说理，发展初步的演绎推理能力，进一步体会等腰三角形的对称美.5.过程方法：通过学生装的独立思考、交流合作，让学生经历问题解决的过程，体验解决问题策略的多样性。让学生感悟数学与日常生活的联系，激发学生学习数学的兴趣。1、学生回顾知识。2、学生证明等腰三角形的判定定理。3、让学生分组讨论，合作完成第三个命题证明。4、总结归纳反证法的步骤。环节一：知识回顾。环节二：等腰三角形判断定理的证明。环节三：反证法。等边三角形的判断理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30 角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维；经历实际操作，探索含有30 角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.复习旧知，思考2个问题。证明等边三角形的判定定理，并总结证明三角形是等边三角形的方法。3、动手操作发现结论。4、利用多种方法证明“直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半。”环节一：新课导入。环节二：探究等边三角形判断。环节三：探究在直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半。。直角三角形的判断1、知识与技能：掌握直角三角形的概念及表示法.掌握直角三角形性质。掌握直角三角形判定。了解互逆命题和互逆定理的概念。2、过程与方法：课堂上采用“问题情境-建立模型-应用与拓展的模式展开”，为学生提供充分的探索与交流的时间与空间，使学生进一步掌握推理证明的方法。发展演绎推理的能力。3、情感态度与价值观：让学生经历知识的形成与应用过程，使学生更好地理解数学，应用数学，增强学好数学的信心反证法证明，直角三角形只有一个直角，钝角三角形只有一个钝角。证明有两个角互余的三角形是直角三角形。3、让学生根据以前所学的勾股定理和逆定理的知识直接回答出定理的内容,对于证明学生有一定的难度,尤其是逆定理的证明,在证明时教师加以指导.4、让学生自己总结出互逆命题的定义，然后让学生再分析每个互逆命题是否正确，是真命题还是假命题，从而得出互逆定理的概念。环节一：复习旧知。环节二：探究勾股定理及逆定理。环节三：探究原命题、逆命题的真伪。直角三角形全等的判断1、能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性。2、熟练利用“斜边、直角边”定理判定两个直角三角形是否全等，解决一些简单的实际问题。 3、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。 经历探索直角三角形全等条件的过程，进一步掌握证明几何问题和解决简单实际问题 的方法。 4、让学生理解事物的特殊与一般的关系，培养学生的思维品质及能力。通过定理的证明，范例的分析过程的教学，培养观察分析问题、把实际问题抽象概括成数学问题、并加以论证解决的能力。通过“HL”定理的推导渗透变换的思想，培养学生一题多解的思维能力，拓宽学生的知识面，并使学生在数学学习中体验数学推理证明的乐趣，获得成功的喜悦。1、回顾知识，根据三角形全等的判断条件，判断三角形是否全等，并说明理由。2、学生按要求画直角三角形。3、猜想、验证斜边、直角定理（HL）4、小组合作运用“斜边、直角边”定理解决问题，注意规范书写。环节一：复习导入。环节二：探究“斜边、直角边”定理。环节三：典例分析。垂直平分线（1）1.经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力。2.证明线段垂直平分线的性质定理，探索并证明线段垂直平分线的判定定理，进一步发展推理能力。3.能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题。回顾知识。试着确定码头位置。利用多种方法证明垂直平分线定理。利用垂直平分线定理解决问题，注意书写的规范性环节一：复习旧知，情景导入。环节二：探究垂直平分线定理。环节三：典例分析。垂直平分线（2）1.通过动手操作、尺规作图和理论证明，能探究出“三角形三边垂直平分线的性质”， 进一步发展学生的推理证明意识和能力,并会熟练应用来解决实际问题.2.借助线段垂直平分线的尺规作图，通过个人探究和小组交流，能准确作出符合条件的几何图形；体会转化的思想.1、知识回顾，用数学语言描述垂直平分线定理。2、尺规准确作出符合条件的几何图形：已知直线（或线段）的垂线；3、能严密流畅地写出“三角形三边垂直平分线的性质定理”的证明过程。4、运用知识解决实际问题，关注学生答题的规范性。环节一：复习旧知。环节二：探究尺规作垂直平分线。环节三：典例分析角平分线（1）1.通过自主学习能够用数学语言描述角平分线的性质定理和判定定理.2.经历小组合作探究会证明角平分线的性质定理和判定定理.3.经过练习拓展，能够灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解决有关问题， 体会转化的思想.1、准确回忆角平分线的定义且领悟角平分线位于角的内部，为准确表述角平分线性质定理的逆命题作准备.2、学生在探究和交流的过程中准确完整写出证明过程.3、学生对角平分线的性质定理、判定定理的几何语言的书写是否简洁明了.4、关注学生是否积极参与，检查基础知识的掌握情况.5、关注学生在学习活动是否感受到成功的快乐.环节一：知识再现。环节二：探究新知。环节三：典例分析角平分线（2）1. 通过对角的平分线性质定理和判定定理的理解，能运用定理熟练推导出三角形中三条角平分线的性质，完成例2的证明．2. 通过例3的学习，能熟练运用角平分线的性质定理及判定定理进行数学的证明与计算；3.能准确的说出三角形三边垂直平分线与角平分线交点性质的区别；4.通过小组成员的合作交流学习，4/5的学生能够运用角平分线的性质定理及判定定理，灵活解决实际问题． 1、独立回答问题。2、学生独立思考，并上台展示自己的思路，最后将证明过程整理在学案上。3、学生独立思考并和同学们分享解题思路，然后独立完成解答，最后与教材解答进行比对、更改。环节一：知识再现。环节二：探究三角形角平分线。环节三：典例分析回顾与反思1．知识目标：在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等.2．能力目标：进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.3．情感价值观要求通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.学生回顾知识，构建知识框架。教师引导学生梳理知识，学生独立解决练一练，关注中差生的成长。自学例题，并完成课堂练习，关注中下生。环节一：知识框架。环节二：知识梳理。环节三：考点讲练
《三角形的证明》单元教学设计
活动一；回顾知识
活动二；检查预习
任务一：等腰三角形
活动三；探究新知
三
角
形
的
证
明
活动一；回顾知识
活动二；等腰三角形相等的线段
任务二：等腰三角形和等边三角形形
活三；等边三角形
活动一；回顾知识
活动二；等腰三角形的判断与反证法
任务三：等腰三角形的判断和反证法
活三；反证法
活动一；新课导入
活动二；探究等边三角形的判断
任务四：等边三角形的判断
活动三；探究直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半
活动一；复习旧知
任务五：直角三角形的判断
活动二；探究勾股定理的逆定理
活动三；探究原命题和逆命题
活动一；复习导入
三
角
形
的
证
明
活动二；探究“直角边、斜边”定理
任务六：直角形全等的判断
活动三；典例分析
活动一；复习知识情景导入
活动二；探究垂直平分线定理
任务七：垂直平分线（1）
活动三；典例分析
活动一；复习知识
任务八：垂直平分线（2）
活动二；探究尺规作图
活动三；典例分析
活动一；知识在现
活动二；探究新知
任务九：角平分线（1）
活动三；典例分析
活动一；知识在现
活动二；探究三角形角平分线
任务十：角平分线（2）
三
角
形
的
证
明
活动三；典例精析
活动一；知识框架
任务十一：回顾与反思
活动二；知识梳理
活动三；考点讲练
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八年级下册分课时教学设计
《三角形的证明》第6课时（1.2直角三角形全等）教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 “直角三角形（第二课时）”选自《义务教育课程标准实验教科书（北师大版）·数学》八年级下册第一章第二节．本节课主要探究的是直角三角形全等判定的“斜边、直角边”定理，这是在学生已经学过的三角形全等的判定、直角三角形的性质和勾股定理等知识的基础上进行的，它既是前面学习的三角形全等判断方法的拓展与应用，又为证明三角形全等、研究矩形的性质等提供了新的方法．所以，本节课在教材中起着承上启下的作用．另外学生在本节课的动手操作、观察猜想、合作交流、反思质疑及归纳小结的过程中，进一步的提高了分析问题和解决问题的能力、感受了合情推理与演绎推理的紧密联系、养成了良好学习习惯以及形成了实事求是的科学态度．这对于学生对后续知识的研究起着很大的作用。
学习者分析 学生在学习直角三角形全等判定定理“HL”之前，已经掌握了一般三角形全等的判定方法、勾股定理，且在以往的探究知识的过程中，具备了初步的合情推理和演绎推理能力，积累了一定的探究知识经验，已经具备了进一步探索并证明判定直角三角形全等定理的基础．就其生理、心理特点而言，八年级学生的思维还是以形象思维为主，抽象思维虽然逐渐形成，但尚未成熟．八年级学生有较强的学习兴趣，学习独立性逐渐加强，可塑性大，是掌握基础知识、基本技能的最佳时期．但其认知水平和分析能力有一定的局限．所以在教学过程中，一方面教师要运用直观材料激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性和主动性；另一方面教师要精心的设计教学活动，留足时间给学生操作、观察、思考、交流、质疑和归纳，引导学生用自己的语言归纳新的定理，让学生真正明白知识的产生过程，学会探究新知识的方法．
教学目标 1、能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性。 2、熟练利用“斜边、直角边”定理判定两个直角三角形是否全等，解决一些简单的实际问题。 3、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。 经历探索直角三角形全等条件的过程，进一步掌握证明几何问题和解决简单实际问题 的方法。 4、让学生理解事物的特殊与一般的关系，培养学生的思维品质及能力。通过定理的证明，范例的分析过程的教学，培养观察分析问题、把实际问题抽象概括成数学问题、并加以论证解决的能力。通过“HL”定理的推导渗透变换的思想，培养学生一题多解的思维能力，拓宽学生的知识面，并使学生在数学学习中体验数学推理证明的乐趣，获得成功的喜悦。
教学重点 掌握“HL”定理的推导过程；运用直角三角形全等解决一些简单的实际问题。
教学难点 “HL”定理的获得与证明以及如何用几何语言有条理的，清晰的阐述自己的观点。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习导入；教师活动1： 判定三角形全等的方法有：【SAS、ASA、AAS、SSS】 如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，根据下列条件△ABC与△DEF全等吗？理由是什么？ （1） AB=DE，BC=EF （2）∠ A=∠D，AC=DF （3） AB=DE ，AC=DF学生活动1： 回顾知识，根据三角形全等的判断条件，判断三角形是否全等，并说明理由活动意图说明： 复习旧知，为新授铺垫。环节二：探究直角三角形全等的判断定理教师活动2： 1、画一个Rt△ABC,使∠C=90°, CA=3cm, AB=5cm。 2、画一个Rt△ABC,使∠C=90°, CA=3cm, CB=4cm。 把画好的三角形剪下来，同组之间比较一下，它们全等吗 猜想：斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等 验证猜想 已知：在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中， ∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′．求证：Rt△ABC ≌Rt△A′B′C′. 证明：在Rt△ABC中，AC=AB一BC(勾股定理)． 又∵在Rt△ A′B′C′中， A′C′=A′B′—B′C′ (勾股定理)． ∴AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′． ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(SSS) 由此得到直角三角形全等的判定定理： 斜边、直角边定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”). 在使用“HL”时,同学们应注意什么 （1）“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法. （2）注意对应相等. 书写格式: ∵在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中 AB =A′B′ BC =B′C′ ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL) 想一想 到现在为止，你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？ 答：有五种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL学生活动2： 学生按要求画直角三角形。 猜想、验证斜边、直角定理（HL）活动意图说明： 学生经历操作、观察、猜想、交流、验证等活动，获得判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.感受了合情推理与演绎推理的紧密联系.环节三：典例分析教师活动3： 例1．已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC.求证：AD∥BC． 证明: ∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABD=∠CDB=90°. 在Rt△ABD和Rt△CDB中， AD=CB， BD=DB， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL） ∴∠ADB=∠CBD ∴AD∥BC. 例2．已知:如图，AC⊥BC，BD⊥AD, AC=BD，求证：AD=BC. 证明：∵AC⊥BC,BD⊥AD， ∴∠D=∠C=90°. 在Rt△ABC和Rt△BAD中， AB=BA， AC=BD， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL). ∴BC=AD. 例3．已知：如图，AC＝BD，AD⊥AC,BC⊥BD．求证：AD＝BC. 证明：连接DC. ∵ AD⊥AC，BC⊥BD， ∴∠A=∠B=90°. 在Rt△ADC和Rt△BCD中， DC=CD， AC=BD， ∴Rt△ADC≌Rt△BCD(HL). ∴AD=BC. 例题4：已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．求证：ED⊥AC． 证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB， ∴∠EAD=∠ABC=90°. 在Rt△EAD和Rt△ABC中， ED=AC， EA=AB， ∴ Rt△EAD≌Rt△ABC (HL). ∴∠AED=∠BAC. ∵∠EAF+∠BAC=90°， ∴∠EAF+∠AED=90°， ∴∠EFA=90°， ∴ED⊥AC.学生活动3： 1小组合作运用斜边、直角边定理解决问题，注意规范书写。活动意图说明： 及时运用知识解决问题，提高学生分析问题和解决问题的能力，增强应用意识、参与意识，巩固所学的“斜边、直角边”定理．
板书设计 直角三角形全等的判断(HL) ∵在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中 AB =A′B′ BC =B′C′ ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL)
课堂练习 【知识技能类作业 必做题：】 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2，则BC＝（ A ） A．1 B．2 C． D． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，则∠A＝（ B ） A．45° B．55° C．65° D．75° 3．一个直角三角形的两条直角边分别为5、12，则斜边上的中线为（ C ） A． B． C． D． 4．如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个直角三角形中一个锐角的度数是（ B ） A．9° B．18° C．27° D．36° 5．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的高，点O是两条高线的交点，则∠A与∠1+∠2的关系是（ B ） A．∠A＞∠1+∠2 B．∠A＝∠1+∠2 C．∠A＜∠1+∠2 D．无法确定 第5题 第6题 6．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，点D在线段AC上，且∠A＝30°，∠BDC＝60°，BC＝3，则AD＝【2】． 7．已知Rt△ABC的斜边AB的长为8cm，斜边上的中线【16.4cm】． 选做题： 8、如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点． （1）求证：MN⊥DE． （2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想． （3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由． （1）证明：如图（1），连接DM，ME， ∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点， ∴DM＝BC，ME＝BC， ∴DM＝ME， 又∵N为DE中点， ∴MN⊥DE； （2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∵DM＝ME＝BM＝MC， ∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）， ＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）， ＝360°﹣2（180°﹣∠A）， ＝2∠A， ∴∠DME＝180°﹣2∠A； （3）结论（1）成立，结论（2）不成立， 理由如下：连接DM，ME， 在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC， ∵DM＝ME＝BM＝MC， ∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC， ＝2（180°﹣∠BAC）， ＝360°﹣2∠BAC， ∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC）， ＝2∠BAC﹣180°． 【综合拓展类作业】 9.等腰△ABC中，AC＝BC＝16，∠ACB＝120°，点D是AC中点，E点、F点分别在AB、BC上，且AE＝2BE，连EF，过F作EF的垂线，交AC于G，当点F从C点向B点运动的过程中，若GD＝2，则BF＝【 11或13】． 10.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC中点，DE⊥AC于点D，交BC于E，连接BD．求证：∠ABD＝∠CED． 证明：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC中点， ∴，． ∴AD＝BD． ∴∠A＝∠ABD， ∵DE⊥AC， ∴∠CED+∠C＝90°． ∵∠A+∠C＝90°， ∴∠A＝∠CED， ∴∠ABD＝∠CED．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．在△ABC中，∠ACB为直角，∠A＝30°，CD⊥AB于D，若BD＝1，则AB的长度是（ A ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（ D ） A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC 3．如图，一根长为a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙上，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑动，在滑动的过程中OP的长度（ C ） A．减小 B．增大 C．不变 D．先减小再增大 第1题 第2题 第3题 4．已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则该等腰三角形的底角为（ A ） A．75°或15° B．30°或60° C．75° D．30° 5．若等腰三角形腰长为8，腰上的高为4，则此三角形的顶角是（ C ） A．30° B．150° C．30°或150° D．30°或120° 在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，点E在AC上，且∠EDC＝72°，点F在AB上，满足DE＝DF， 则∠CEF的度数为【 54°或144°】． 选做题： 7.下列说法正确的是 A. 每个定理都有逆命题 B. 每个命题都有逆命题 C. 原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题 D. 真命题的逆命题是真命题 8. 下列命题与它的逆命题都为真命题的是 A. 已知非零实数 ，如果 为分式，那么它的倒数也是分式 B. 如果 的相反数为 ，那么 为 C. 如果一个数能被 整除，那么这个数也能被 整除 D. 如果两个数的和是偶数，那么它们都是偶数 【综合拓展类作业】 9. 如图，在 中，， 平分 ，，，则 的长等于 A. B. C. D. 10 如图，在直角三角形 中，，过点 作线段 交 于点 ，且 ，若 ，，则 等于 A. B. C. D. 11. 如图， 于 点 ， 于 点 ，若 ，则下列结论中不正确的是 A. B. C. D. 第9题 第10题 第11题
教学反思
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共31张PPT)
三角形的证明
1.2全等的直角三角形判断
北师大版八年级下册
教材分析
“直角三角形（第二课时）”选自《义务教育课程标准实验教科书（北师大版）·数学》八年级下册第一章第二节．本节课主要探究的是直角三角形全等判定的“斜边、直角边”定理，这是在学生已经学过的三角形全等的判定、直角三角形的性质和勾股定理等知识的基础上进行的，它既是前面学习的三角形全等判断方法的拓展与应用，又为证明三角形全等、研究矩形的性质等提供了新的方法．所以，本节课在教材中起着承上启下的作用．另外学生在本节课的动手操作、观察猜想、合作交流、反思质疑及归纳小结的过程中，进一步的提高了分析问题和解决问题的能力、感受了合情推理与演绎推理的紧密联系、养成了良好学习习惯以及形成了实事求是的科学态度．这对于学生对后续知识的研究起着很大的作用．
教学目标
1、能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性。
2、熟练利用“斜边、直角边”定理判定两个直角三角形是否全等，解决一些简单的实际问题。
3、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。 经历探索直角三角形全等条件的过程，进一步掌握证明几何问题和解决简单实际问题 的方法。
4、让学生理解事物的特殊与一般的关系，培养学生的思维品质及能力。通过定理的证明，范例的分析过程的教学，培养观察分析问题、把实际问题抽象概括成数学问题、并加以论证解决的能力。通过“HL”定理的推导渗透变换的思想，培养学生一题多解的思维能力，拓宽学生的知识面，并使学生在数学学习中体验数学推理证明的乐趣，获得成功的喜悦。
复习导入
1、判定三角形全等的方法有： 。
SAS、ASA、AAS、SSS
2、如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，根据下列条件△ABC与△DEF全等吗？理由是什么？
A
C
B
D
E
F
（1） AB=DE，BC=EF
（2）∠ A=∠D，AC=DF
（3） AB=DE ，AC=DF
探究新知
1、画一个Rt△ABC,使∠C=90°, CA=3cm, AB=5cm。
2、画一个Rt△ABC,使∠C=90°, CA=3cm, CB=4cm。
把画好的三角形剪下来，同组之间比较一下，它们全等吗
探究新知
如图，已知线段a和c（a＜c），直角∠α.
求作：Rt△ABC，使∠C=∠α，AC=a，AB=c.
A
a
c
把画好的直角三角形剪下来，和同桌的比比看，这些直角三角形有怎样的关系？
探究新知
a
c
B
C
A
B
A
C
c
a
猜想： 和 对应相等的两个直角三角形全等
斜边
一条直角边
探究新知
已知：在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中， ∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′．求证：Rt△ABC ≌Rt△A′B′C′.
验证猜想
证明：在Rt△ABC中，AC2=AB2一BC2(勾股定理)．
又∵在Rt△ A′B′C′中，
A′C′2=A′B′2—B′C′2 (勾股定理)．
∴AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′．
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(SSS)
探究新知
由此得到
直角三角形全等的判定定理：
斜边、直角边定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
探究新知
在使用“HL”时,同学们应注意什么
（1）“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法.
（2）注意对应相等.
书写格式:
∵在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中
AB =A′B′
BC =B′C′
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL)
探究新知
想一想
到现在为止，你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？
答：有五种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL
典例分析
例1．已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC.
求证：AD∥BC．
证明: ∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD=∠CDB=90°.
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
AD=CB，
BD=DB，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）
∴∠ADB=∠CBD
∴AD∥BC.
A
C
B
D
典例分析
例2．已知:如图，AC⊥BC，BD⊥AD, AC=BD， 求证：AD=BC.
证明：∵AC⊥BC,BD⊥AD，
∴∠D=∠C=90°.
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
AB=BA，
AC=BD，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).
∴BC=AD.
C
B
A
D
A
D
A
D
B
A
D
C
B
A
D
D
A
D
A
D
C
典例分析
例3．已知：如图，AC＝BD，AD⊥AC,BC⊥BD．
求证：AD＝BC.
证明：连接DC.
∵ AD⊥AC，BC⊥BD，
∴∠A=∠B=90°.
在Rt△ADC和Rt△BCD中，
DC=CD，
AC=BD，
∴Rt△ADC≌Rt△BCD(HL).
∴AD=BC.
典例分析
例题4：已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．求证：ED⊥AC．
E
A
D
F
C
B
证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB，
∴∠EAD=∠ABC=90°.
在Rt△EAD和Rt△ABC中，
ED=AC，
EA=AB，
∴ Rt△EAD≌Rt△ABC (HL).
∴∠AED=∠BAC.
∵∠EAF+∠BAC=90°，
∴∠EAF+∠AED=90°，
∴∠EFA=90°，
∴ED⊥AC.
课堂练习
【知识技能类作业 必做题】
A
B
C
B
课堂练习
B
16.4cm
5．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的高，点O是两条高线的交点，则∠A与∠1+∠2的关系是（ ）
A．∠A＞∠1+∠2 B．∠A＝∠1+∠2 C．∠A＜∠1+∠2 D．无法确
6．已知Rt△ABC的斜边AB的长为8cm，斜边上的中线为 ．
7．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，点D在线段AC上，且∠A＝30°，∠BDC＝60°，BC＝3，则AD＝ ．
课堂练习
【知识技能类作业 选做题】
8、如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE．
（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．
（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．
课堂练习
课堂练习
（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB），
＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），
＝360°﹣2（180°﹣∠A），
＝2∠A，
∴∠DME＝180°﹣2∠A；
课堂练习
（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，
理由如下：连接DM，ME，
在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC，
＝2（180°﹣∠BAC），
＝360°﹣2∠BAC，
∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC），
＝2∠BAC﹣180°．
课堂练习
【综合实践类作业】
9.等腰△ABC中，AC＝BC＝16，∠ACB＝120°，点D是AC中点，E点、F点分别在AB、BC上，且AE＝2BE，连EF，过F作EF的垂线，交AC于G，当点F从C点向B点运动的过程中，若GD＝2，则BF＝
10.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC中点，DE⊥AC于点D，交BC于E，连接BD．求证：∠ABD＝∠CED．
【 11或13】
课堂练习
10.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC中点，DE⊥AC于点D，交BC于E，连接BD．求证：∠ABD＝∠CED．
课堂总结
我学会了……
我想给同学们的温馨提示是……
使我感到最困难的是……
我想进一步研究的问题是……
【知识技能类作业 选做题】
作业布置
1．在△ABC中，∠ACB为直角，∠A＝30°，CD⊥AB于D，若BD＝1，则AB的长度是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（ ）
A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC
3．如图，一根长为a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙上，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑动，在滑动的过程中OP的长度（ ）
A．减小 B．增大 C．不变 D．先减小再增大
A
D
C
作业布置
【知识技能类作业 必做题】
4．已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则该等腰三角形的底角为（ ）
A．75°或15° B．30°或60° C．75° D．30°
5．若等腰三角形腰长为8，腰上的高为4，则此三角形的顶角是（ ）
A．30° B．150° C．30°或150° D．30°或120°
6．在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，点E在AC上，
且∠EDC＝72°，点F在AB上，满足DE＝DF，则
∠CEF的度数为．
A
C
【 54°或144°】
作业布置
【知识技能类作业 选做题】
7.下列说法正确的是
A. 每个定理都有逆命题 B. 每个命题都有逆命题
C. 原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题
D. 真命题的逆命题是真命题
8. 下列命题与它的逆命题都为真命题的是
A. 已知非零实数 ，如果 为分式，那么它的倒数也是分式
B. 如果 的相反数为 ，那么 为
C. 如果一个数能被 整除，那么这个数也能被 整除
D. 如果两个数的和是偶数，那么它们都是偶数
【 B】
【 B】
作业布置
A
A
C
板书设计
∵在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中
AB =A′B′
BC =B′C′
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL)
直角三角形全等的判断(HL)
谢谢
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