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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 下册 第一章
课标要求 新课标要求教学活动中应注重让学生体会证明是原有探究活动的自然延伸和必然发展。引导学生从问题出发，根据观察和实验的结果，发现证明的思路。本章课标要求：体会转化思想；掌握分类讨论思想；体会建模思想。
内容分析 本章主要内容包括：等腰三角形的性质和判断、等边三角的性质和判断、直角三角形的性质和判断、线段的垂直平分线的性质和判断、角平分线的性质定理及其逆定理；反证法以及利用本章知识证明或解决实际问题。本章是平行线证明的继续，在平行线的证明中给出了一些基本事实，并从基本事实出发，证明了一些有关平行线的结论，利用这些基本事实和已经学过的定理还可以证明三角形的一些结论。三角形的证明是中考的必考内容，考察方式以填空、选择和中档解答题为主，主要考察等腰三角形、直角三角形的角的度数问题，边长的计算或证明角、线段相等或推导角之间的关系或线段之间的而关系。另外角平分线和垂直平分线也是常考题型。
学情分析 本章是八年级上册第七单元平行线的证明的继续，在平行线的证明中给出了8个基本事实，利用这些基本事实证明了一些数学结论，学生具备了一定知识能力，为本章学习奠定了基础。在此之前，学生对图像的性质及其相互关系进行了大量的探索，积累了一定的经验，具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，从而为本章严格的证明有关三角形有关定理打下基础。
单元目标 （一）教学目标1、了解全等三角形的概念和性质，能准确辩论全等三角形的对应元素。2、探索全等三角形的判断方法，能利用全等三角形进行证明，掌握综合法证明格式。3、了解线段垂直平分线的性质，能利用三角形全等证明线段垂直平分线的性质，会用垂直平分线的性质证明命题。4、了解角平分线的性质，能利用三角形全等证明角平分线的性质，会用角平分线的性质证明命题。5、在图形变换和时间操作中，发展空间观念，6、在经历三角形全等的探索过程中，体会利用操作、归纳获得数学知识的过程，培养学生综合运用能力。7、通过本章学习，体会数学与生活息息相关，激发学习数学的兴趣。教学重点、难点重点1、等腰三角形的性质和判断；2、直角三角形的性质和判断；3、线段的垂直平分线的性质和判断；4、角平分线的性质定理及其逆定理；5、真假命题的判断。难点等腰三角形的性质定理和判断定理的证明；用反证法证明利用尺规作等腰三角形和直角三角形。利用本章知识解决或证明有关几何的综合性问题
单元知识结构框架及课时安排 （二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1等腰三角形12等腰三角形和等边三角形13等腰三角形的判断和反证法14等边三角形的判断15直角三角形的判断16直角三角形全等的判断17垂直平分线（1）18垂直平分线（2）19角平分线（1）110角平分线（2）111回顾与反思1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务等腰三角形1、理解等腰三角形的性质，会利用等腰三角形的性质，进行简单的推理、判断和计算。 2、运用现代化的教学手段，通过观察、实践、猜想，论证发展学生的推理能力、动手操作能力和数学语言表达(包括口头和书面)能力。 3、在实际操作动手中感受几何应用美 回顾知识。2、检查预习效果。3、利用三种方法证明等边对等角。4、理解等腰三角形的三线合一，环节一：知识回顾。环节二：检查预习。环节三：探究新知。等腰三角形和等边三角形1、证明等腰三角形的性质定理，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性；2、证明等边三角形的性质定理。3、经历“观察－发现－猜想－论证”的过程，发展学生初步的逻辑推理能力,在图形的观察中，发展学生的几何直觉。4、通过“观察－发现－猜想－论证”，让学生感受数学活动充满着探索性和创造性，突出数学的严谨性。在活动中，培养学生之间的合作精神，从而增强学生学数学、用数学的意识。1、复习内容主要由学生自主回答，教师引导并课件展示，2、学生在导学案上画出其他角平分线，中线和高，小组合作讨论其中一些相等的线段，3、小组代表简述讨论结果并讨论论证，教师巡视从不同角度引导。4、小组代表汇报论证过程。5、学生在导学案上画出其他角平分线，中线和高，小组合作讨论其中一些相等的线段，6、小组代表简述讨论结果并讨论论证，教师巡视从不同角度引导。7、小组代表汇报论证过程。环节一：知识回顾。环节二：等腰三角形相等的线段。环节三：等腰三角形和等边三角形。等腰三角形的判断和反证法1. 探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.2. 通过动手操作探索并掌握识别一个三角形是等腰三角形.3.理解并掌握“等角对等边”，体会与“等边对等角”互逆关系，能够利用三角形的识别方法去解决问题.4.了解反证法，掌握反证法证题的过程。学会数学说理，发展初步的演绎推理能力，进一步体会等腰三角形的对称美.5.过程方法：通过学生装的独立思考、交流合作，让学生经历问题解决的过程，体验解决问题策略的多样性。让学生感悟数学与日常生活的联系，激发学生学习数学的兴趣。1、学生回顾知识。2、学生证明等腰三角形的判定定理。3、让学生分组讨论，合作完成第三个命题证明。4、总结归纳反证法的步骤。环节一：知识回顾。环节二：等腰三角形判断定理的证明。环节三：反证法。等边三角形的判断理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30 角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维；经历实际操作，探索含有30 角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.复习旧知，思考2个问题。证明等边三角形的判定定理，并总结证明三角形是等边三角形的方法。3、动手操作发现结论。4、利用多种方法证明“直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半。”环节一：新课导入。环节二：探究等边三角形判断。环节三：探究在直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半。。直角三角形的判断1、知识与技能：掌握直角三角形的概念及表示法.掌握直角三角形性质。掌握直角三角形判定。了解互逆命题和互逆定理的概念。2、过程与方法：课堂上采用“问题情境-建立模型-应用与拓展的模式展开”，为学生提供充分的探索与交流的时间与空间，使学生进一步掌握推理证明的方法。发展演绎推理的能力。3、情感态度与价值观：让学生经历知识的形成与应用过程，使学生更好地理解数学，应用数学，增强学好数学的信心反证法证明，直角三角形只有一个直角，钝角三角形只有一个钝角。证明有两个角互余的三角形是直角三角形。3、让学生根据以前所学的勾股定理和逆定理的知识直接回答出定理的内容,对于证明学生有一定的难度,尤其是逆定理的证明,在证明时教师加以指导.4、让学生自己总结出互逆命题的定义，然后让学生再分析每个互逆命题是否正确，是真命题还是假命题，从而得出互逆定理的概念。环节一：复习旧知。环节二：探究勾股定理及逆定理。环节三：探究原命题、逆命题的真伪。直角三角形全等的判断1、能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性。2、熟练利用“斜边、直角边”定理判定两个直角三角形是否全等，解决一些简单的实际问题。 3、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。 经历探索直角三角形全等条件的过程，进一步掌握证明几何问题和解决简单实际问题 的方法。 4、让学生理解事物的特殊与一般的关系，培养学生的思维品质及能力。通过定理的证明，范例的分析过程的教学，培养观察分析问题、把实际问题抽象概括成数学问题、并加以论证解决的能力。通过“HL”定理的推导渗透变换的思想，培养学生一题多解的思维能力，拓宽学生的知识面，并使学生在数学学习中体验数学推理证明的乐趣，获得成功的喜悦。1、回顾知识，根据三角形全等的判断条件，判断三角形是否全等，并说明理由。2、学生按要求画直角三角形。3、猜想、验证斜边、直角定理（HL）4、小组合作运用“斜边、直角边”定理解决问题，注意规范书写。环节一：复习导入。环节二：探究“斜边、直角边”定理。环节三：典例分析。垂直平分线（1）1.经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力。2.证明线段垂直平分线的性质定理，探索并证明线段垂直平分线的判定定理，进一步发展推理能力。3.能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题。回顾知识。试着确定码头位置。利用多种方法证明垂直平分线定理。利用垂直平分线定理解决问题，注意书写的规范性环节一：复习旧知，情景导入。环节二：探究垂直平分线定理。环节三：典例分析。垂直平分线（2）1.通过动手操作、尺规作图和理论证明，能探究出“三角形三边垂直平分线的性质”， 进一步发展学生的推理证明意识和能力,并会熟练应用来解决实际问题.2.借助线段垂直平分线的尺规作图，通过个人探究和小组交流，能准确作出符合条件的几何图形；体会转化的思想.1、知识回顾，用数学语言描述垂直平分线定理。2、尺规准确作出符合条件的几何图形：已知直线（或线段）的垂线；3、能严密流畅地写出“三角形三边垂直平分线的性质定理”的证明过程。4、运用知识解决实际问题，关注学生答题的规范性。环节一：复习旧知。环节二：探究尺规作垂直平分线。环节三：典例分析角平分线（1）1.通过自主学习能够用数学语言描述角平分线的性质定理和判定定理.2.经历小组合作探究会证明角平分线的性质定理和判定定理.3.经过练习拓展，能够灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解决有关问题， 体会转化的思想.1、准确回忆角平分线的定义且领悟角平分线位于角的内部，为准确表述角平分线性质定理的逆命题作准备.2、学生在探究和交流的过程中准确完整写出证明过程.3、学生对角平分线的性质定理、判定定理的几何语言的书写是否简洁明了.4、关注学生是否积极参与，检查基础知识的掌握情况.5、关注学生在学习活动是否感受到成功的快乐.环节一：知识再现。环节二：探究新知。环节三：典例分析角平分线（2）1. 通过对角的平分线性质定理和判定定理的理解，能运用定理熟练推导出三角形中三条角平分线的性质，完成例2的证明．2. 通过例3的学习，能熟练运用角平分线的性质定理及判定定理进行数学的证明与计算；3.能准确的说出三角形三边垂直平分线与角平分线交点性质的区别；4.通过小组成员的合作交流学习，4/5的学生能够运用角平分线的性质定理及判定定理，灵活解决实际问题． 1、独立回答问题。2、学生独立思考，并上台展示自己的思路，最后将证明过程整理在学案上。3、学生独立思考并和同学们分享解题思路，然后独立完成解答，最后与教材解答进行比对、更改。环节一：知识再现。环节二：探究三角形角平分线。环节三：典例分析回顾与反思1．知识目标：在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等.2．能力目标：进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.3．情感价值观要求通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.学生回顾知识，构建知识框架。教师引导学生梳理知识，学生独立解决练一练，关注中差生的成长。自学例题，并完成课堂练习，关注中下生。环节一：知识框架。环节二：知识梳理。环节三：考点讲练
《三角形的证明》单元教学设计
活动一；回顾知识
活动二；检查预习
任务一：等腰三角形
活动三；探究新知
三
角
形
的
证
明
活动一；回顾知识
活动二；等腰三角形相等的线段
任务二：等腰三角形和等边三角形形
活三；等边三角形
活动一；回顾知识
活动二；等腰三角形的判断与反证法
任务三：等腰三角形的判断和反证法
活三；反证法
活动一；新课导入
活动二；探究等边三角形的判断
任务四：等边三角形的判断
活动三；探究直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半
活动一；复习旧知
任务五：直角三角形的判断
活动二；探究勾股定理的逆定理
活动三；探究原命题和逆命题
活动一；复习导入
三
角
形
的
证
明
活动二；探究“直角边、斜边”定理
任务六：直角形全等的判断
活动三；典例分析
活动一；复习知识情景导入
活动二；探究垂直平分线定理
任务七：垂直平分线（1）
活动三；典例分析
活动一；复习知识
任务八：垂直平分线（2）
活动二；探究尺规作图
活动三；典例分析
活动一；知识在现
活动二；探究新知
任务九：角平分线（1）
活动三；典例分析
活动一；知识在现
活动二；探究三角形角平分线
任务十：角平分线（2）
三
角
形
的
证
明
活动三；典例精析
活动一；知识框架
任务十一：回顾与反思
活动二；知识梳理
活动三；考点讲练
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八年级下册分课时教学设计
《三角形的证明》第9课时（1.4角平分线1）教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 《角平分线（１）》是北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明》的第四节第一课时，本节在学习了直角三角形全等的判定定理、线段的垂直平分线的性质和判定定理的基础上，进一步学分线的性质和判定定理及相关结论。在本章的前几节课，学生已经经历了构造一个命题的逆命题的过程，因此比较容易用类比的方法构造角平分线性质定理的逆命题。同时也体会到了证明的必要性，掌握了推理证明的基本要求和方法，能够用数学的符号语言正确表达定理或命题，明确每一步推理的依据并能比较准确地表达推理的过程.同时，也体会到归纳思想、类比思想、转化思想的应用。 在上一课时中，学生已经掌握了线段垂直平分线的性质定理、判定定理及应用。本节课的主要任务是证明角的平分线性质定理和判断定理为第二课时探究“三角形三个内角的平分线相交于一点，并且这一点到三角形三边的距离都相等” 作准备。这一结论，就是九年级下册第三章《圆》中，三角形内切圆圆心的确定方法，为以后九年级的学习奠定了理论基础。
学习者分析 1、学生已经在七年级学习了角平线的定义，并且经过折纸初步用操作的方法验证了角平分线的性质，部分同学在信息技术课利用几何画板制作了角平分线上点到角两边距离的动态演示图，获得了直观、真实、生动的体验。同时前两节课学生学习了线段的垂直平分线的性质定理、判定定理和尺规作图，这些都为本节课打下了知识基础。 2、八年级学生具有一定的观察、分析、概括能力，有着一定的学习经验及活动经验，形成了较好的参与和合作意识，能够在教师引导下进行合作探究；并且通过对上两节线段垂直平分线内容的学习，学生已经积累了如何证明一个命题的经验，并掌握了必要的证明方法。 3、学生在证明角平分线性质定理和判断定理时不能完整、准确地写出已知和求证；学生在书角平分线性质定理和判断定理的证明过程时不能完整、准确地写出三角形全等的条件；学生在证明完角平分性质定理和判断定理后解决实际问题时仍然写出三角形全等的过程，忘记可以直接使用；针对这三方面的问题，教学时，教师应循序渐进地引导学生熟练掌握。
教学目标 1.通过自主学习能够用数学语言描述角平分线的性质定理和判定定理. 2.经历小组合作探究会证明角平分线的性质定理和判定定理. 3.经过练习拓展，能够灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解决有关问题， 体会转化的思想.
教学重点 正确证明角平分线性质定理及判定定理.
教学难点 正确证明角平分线性质定理及判定定理.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：知识再现； 教师活动1： 拿出课前准备的纸，在纸上任意画出一个角。 折痕OC和∠AOB有什么关系？ 折痕OC把∠AOB分成两个相等的角∠AOC和∠BOC。 折痕OC叫做∠AOB的角平分线。 你能准确的说出角平分线的性质定理和判断定理 性质定理：角平分线上的点到这个角 的两边的距离相等. 判定定理：在一个角的内部，到角的两 边距离相等的点在这个角的平分线上学生活动1： 准确回忆角平分线的定义且领悟角平分线位于角的内部，为准确表述角平分线性质定理的逆命题作准备. 活动意图说明： 直观感受，角平分线是一条从角的顶点引出的射线且位于角的内部.初步感知角平分线的性质定理和判断定理 环节二：探究新知教师活动2： 探究角平分线的性质定理 已知：如图 ，OC 是∠AOB 的平分线，点 P在OC上，PD⊥OA， PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证：PD=PE. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E， ∴ ∠PDO=∠PEO=90 ° . ∵ ∠1=∠2，OP=OP， ∴ △PDO≌△PEO（AAS）. ∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）. 小结：角平分线性质定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 几何语言 ∵ OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA 于D, PE⊥OB于E ∴ PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等） 探究角平分线的判断定理 你能写出角平分线的性质定理的逆命题吗？并证明逆命题是否为真命题 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 已知：如图 ，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE. 求证：OP 平分∠AOB. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E， ∴ ∠ODP = ∠OEP = 90 ° . ∵ PD = PE，OP = OP， ∴ Rt△DOP≌Rt△EOP（HL）. ∴ ∠1 =∠2（全等三角形的对应角相等）. ∴ OP 平分 ∠AOB. 小结：角平分线的判定 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 几何语言： ∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE, ∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)． 角平分线的判定所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.学生活动2： 1学生在探究和交流的过程中准确完整写出证明过程. 2、学生对角平分线的性质定理、判定定理的几何语言的书写是否简洁明了. 活动意图说明： 本探究活动目的是老师大胆放手给学生以更多的交流空间，进一体现学生的主体地位和老师的主导作用.对于学生来说，有一定的困难，需要教师进行点拨.该环节设置的目的在于让学生巩固基础的同时，增强运用知识的灵活性，帮助学生对新知识进行内化.环节三：典例分析教师活动3： 例题1：在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长. 解法1： ∵DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，垂足分别为E， F，且DE=DF， ∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的 E 两边距离相等的点在这个角的平分线上）. 又∵ ∠BAC=60°， ∴ ∠BAD=30°. 在Rt △ ADE中， ∠AED=90°，AD=10， ∴AD= 2 ED= DE=10÷2=5（在直角三角形中， 如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角 边等于斜边的一半）. 解法2：∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠EDA=∠DFA=90° 在Rt△ADE与Rt△ADF中 AD=AD DE=DF ∴Rt△ADE≌Rt△ADF 在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10 DE=AD=5 (在直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半。 例题2：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F. (1)求证：DE＝DF； (2)若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数． 证明：（1）连接AD. ∵∠B＝∠C，∴AB＝AC. ∵D是BC的中点，∴AD平分∠BAC. 又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF. 解：(2)∵∠BDE＝40°，∠BED＝90°， ∴∠B＝50°. ∴∠C＝50°. ∴∠BAC＝80°. 例题3：.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°,作AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，连接BE，求证：BE平分∠ABC 证明： ∵DE是AB的垂直平分线 ∴BE=AE ∴ ∠EBD= ∠ A= 30° ∵∠C＝90°,∠A=30° ∴∠ABC＝60° ∴∠CBE=∠ABC- ∠EBD ＝60°-30°=30° ∴∠CBE=∠EBD ∴BE平分∠ABC学生活动3： 1、关注学生能否积极参与练习. 2、关注学生对基础知识的掌握情况. 3、关注学生在学习活动是否感受到成功的快乐. 活动意图说明： 该环节设置的目的在于检验目标达成度、反馈学情.使更多的学生参与到学习中来，感受到成功的快乐.
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB＝6 cm，则△DBE的周长是( ) A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm 2.如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD.下列结论不正确的是( ) A．∠BAC＝70° B．∠DOC＝90° C．∠BDC＝35° D．∠DAC＝55° 第1题 第2题 第3题 3.如图，已知AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE与CF相交于点D.下列结论： ①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上． 其中正确的是( ) A．①②③ B．②③ C．①③ D．① 4.【中考·怀化】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为( ) A．3 B． C．2 D．6 第4题 第5题 第6题 5.【中考·湖州】如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是( ) A．24 B．30 C．36 D．42 选做题： 7．如图，在梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB的中点，DE平分∠ADC． (1)求证：CE平分∠BCD； (2)求证：AD+BC=CD． (1)证明：如图，作EM⊥CD垂足为M， ∵ED平分∠ADM，EA⊥AD，EM⊥CD， ∴AE＝EM， ∵AE＝EB， ∴EM＝EB， ∵EB⊥BC，EM⊥CD， ∴EC平分∠BCD． (2)证明：由（1）可知：AE＝EM＝EB， 在Rt△DEA和Rt△DEM中， ， ∴Rt△DEA≌Rt△DEM（HL）， ∴DA＝DM， 同理可证：Rt△BEC≌Rt△BMC（HL）， ∴CB＝CM， ∴CD＝DM+MC＝AD+BC． 【综合拓展类作业】 8．已知：如图，是的角平分线． 求证：． 证明：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵AD平分，DE⊥AB，， ∴DE=DC， ∵在直角三角形BED中，， ∴， ∴． 9.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE//AB，交BC于点E，PF//AC，交BC于点F．求证：点D到PE和PF的距离相等． 证明：∵PE∥AB，PF∥AC， ∴∠EPD=∠BAD，∠DPF=∠CAD， ∵△ABC中，AD是它的角平分线， ∴∠BAD=∠CAD， ∴∠EPD=∠DPF， 即PD平分∠EPF， ∴D到PE的距离与D到PF的距离相等．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 如图，在△ABC中，BC=10，CD是∠ACB的平分线．若P，Q分别是CD和AC上的动点，且△ABC的面积为24，则PA+PQ的最小值是（ C ） A． B．4 C． D．5 2．如图，∠BAC＝30°，AD平分∠BAC，DF⊥AB交AB于F，DE⊥DF交AC于E，若AE＝8，则DF等于（ B ） A．5 B．4 C．3 D．2 第1题 第2题 3．如图，已知的周长是22，PB、PC分别平分和，于D，且，的面积是【33】． 4．如图，在中，，平分，，点到的距离为5.6，则【16.8】． 5．如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，且EFBC，垂足为点F，，则EF的值为【4】． 第3题 第4题 第5题 选做题： 6.如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F． (1)求证：DE＝DF； (2)若AB＝5，BC＝8，求DE的长． (1)证明：如图，连接AD， ∵∠B＝∠C， ∴AB＝AC， ∵D是BC的中点， ∴AD平分∠BAC， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF； (2)解：∵AB＝AC， ∵D是BC的中点， ∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝4， ∴AD＝＝＝3， ∴S△ABD＝AB DE＝BD AD， ∴5DE＝4×3， ∴DE＝． 【综合拓展类作业】 7.如图，在中，． (1)过点作的平分线交于点（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）； (2)若，，求的面积． 解：(1)∠ABC的平分线如图所示． (2)作DH⊥AB于H． ∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DH⊥AB， ∴CD=DH=3， ∴△ABC的面积=S△BCD+S△ABD=BC CD+AB DH =×3BC+×3AB=×3（BC+AB） =×3×16=24． 8.如图所示，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N． 求证： 解：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， 在△ABD和△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB=∠CDB， ∴BD平分∠ADC， ∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN．
教学反思
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共33张PPT)
三角形的证明
1.4角平分线(1)
北师大版八年级下册
教材分析
《角平分线（１）》是北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明》的第四节第一课时，本节在学习了直角三角形全等的判定定理、线段的垂直平分线的性质和判定定理的基础上，进一步学分线的性质和判定定理及相关结论。在本章的前几节课，学生已经经历了构造一个命题的逆命题的过程，因此比较容易用类比的方法构造角平分线性质定理的逆命题。同时也体会到了证明的必要性，掌握了推理证明的基本要求和方法，能够用数学的符号语言正确表达定理或命题，明确每一步推理的依据并能比较准确地表达推理的过程.同时，也体会到归纳思想、类比思想、转化思想的应用。
在上一课时中，学生已经掌握了线段垂直平分线的性质定理、判定定理及应用。本节课的主要任务是证明角的平分线性质定理和判断定理为第二课时探究“三角形三个内角的平分线相交于一点，并且这一点到三角形三边的距离都相等” 作准备。这一结论，就是九年级下册第三章《圆》中，三角形内切圆圆心的确定方法，为以后九年级的学习奠定了理论基础。
教学目标
1.通过自主学习能够用数学语言描述角平分线的性质定理和判定定理.
2.经历小组合作探究会证明角平分线的性质定理和判定定理.
3.经过练习拓展，能够灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解决有关问题， 体会转化的思想.
新知导入
拿出课前准备的纸，在纸上任意画出一个角
A
O
B
C
折痕OC和∠AOB有什么关系？
折痕OC把∠AOB分成两个相等的角∠AOC和∠BOC。
折痕OC叫做∠AOB的角平分线。
旧知导入
你能准确的说出角平分线的性质定理和判断定理
性质定理：角平分线上的点到这个角
的两边的距离相等.
判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
探究新知
已知：如图 ，OC 是∠AOB 的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，
PE⊥OB，垂足分别为 D，E.
求证：PD=PE.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，
∴ ∠PDO=∠PEO=90 ° .
∵ ∠1=∠2，OP=OP，
∴ △PDO≌△PEO（AAS）.
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）.
探究新知
角平分线性质定理
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
几何语言
∵ OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA 于D, PE⊥OB于E
∴ PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
探究新知
性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
你能写出这个定理的逆命题吗？
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
它是真命题吗？
探究新知
已知：如图 ，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE.
求证：OP 平分∠AOB.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，
∴ ∠ODP = ∠OEP = 90 ° .
∵ PD = PE，OP = OP，
∴ Rt△DOP≌Rt△EOP（HL）.
∴ ∠1 =∠2（全等三角形的对应角相等）.
∴ OP 平分 ∠AOB.
探究新知
角平分线的判定
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
几何语言：
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,
∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)．
探究新知
角平分线的判定定理
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
角平分线的判定所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
典例分析
例题1：在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长.
解法1： ∵DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，垂足分别为E， F，且DE=DF，
∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的 E 两边距离相等的点在这个角的平分线上）. 又∵ ∠BAC=60°，
∴ ∠BAD=30°.
在Rt △ ADE中， ∠AED=90°，AD=10， ∴AD= 2 ED= DE=10÷2=5（在直角三角形中， 如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角 边等于斜边的一半）.
典例分析
例题1：在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长.
解法2：∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠EDA=∠DFA=90°
在Rt△ADE与Rt△ADF中
AD=AD DE=DF
∴Rt△ADE≌Rt△ADF
在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10
DE= AD=5
(在直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半。
典例分析
例题2：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.
(1)求证：DE＝DF；
证明：连接AD.
∵∠B＝∠C，∴AB＝AC.
∵D是BC的中点，∴AD平分∠BAC.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.
典例分析
例题2：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.
(2)若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．
解：∵∠BDE＝40°，∠BED＝90°，
∴∠B＝50°.
∴∠C＝50°.
∴∠BAC＝80°.
典例分析
例题3：.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°,作AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，连接BE，求证：BE平分∠ABC
证明：
∵DE是AB的垂直平分线
∴BE=AE
∴ ∠EBD= ∠ A= 30°
∵∠C＝90°,∠A=30°
∴∠ABC＝60°
∴∠CBE=∠ABC- ∠EBD ＝60°-30°=30°
∴∠CBE∠EBD
∴BE平分∠ABC
课堂练习
【知识技能类作业 必做题】
A
1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB＝6 cm，则△DBE的周长是( )
A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
2.如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD.下列结论不正确的是( )
A．∠BAC＝70° B．∠DOC＝90°
C．∠BDC＝35° D．∠DAC＝55°
B
课堂练习
3.如图，已知AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE与CF相交于点D.下列结论：
①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．
其中正确的是( )
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①
4.【中考·怀化】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，
则DE的长为( )
A．3 B． C．2 D．6
A
A
探究新知
5.【中考·湖州】如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是( )
A．24 B．30 C．36 D．42
B
课堂练习
c
课堂练习
【知识技能类作业 选做题】
7．如图，在梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB的中点，DE平分∠ADC．
(1)求证：CE平分∠BCD；
(2)求证：AD+BC=CD．
(1)证明：如图，作EM⊥CD垂足为M，
∵ED平分∠ADM，EA⊥AD，EM⊥CD，
∴AE＝EM，
∵AE＝EB，
∴EM＝EB，
∵EB⊥BC，EM⊥CD，
∴EC平分∠BCD．
课堂练习
课堂练习
【综合实践类作业】
课堂练习
9.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE//AB，交BC于点E，PF//AC，交BC于点F．求证：点D到PE和PF的距离相等．
课堂总结
角平分线性质定理
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
角平分线判定定理
在一个角形内部，到角的两边的距离相等
的点在这个角的平分线上
作业布置
【知识技能类作业 必做题】
C
B
作业布置
33
16.8
4
【知识技能类作业 选做题】
6.如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
(1)求证：DE＝DF；
(2)若AB＝5，BC＝8，求DE的长
(1)证明：如图，连接AD，
∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∵D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF；
作业布置
作业布置
【综合实践类作业】
解：(1)∠ABC的平分线如图所示．
作业布置
板书设计
性质定理：
∵ OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA 于D, PE⊥OB于E
∴ PD=PE
判定定理：
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,
∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)．
角平分线
谢谢
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