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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 下册 第一章
课标要求 新课标要求教学活动中应注重让学生体会证明是原有探究活动的自然延伸和必然发展。引导学生从问题出发，根据观察和实验的结果，发现证明的思路。本章课标要求：体会转化思想；掌握分类讨论思想；体会建模思想。
内容分析 本章主要内容包括：等腰三角形的性质和判断、等边三角的性质和判断、直角三角形的性质和判断、线段的垂直平分线的性质和判断、角平分线的性质定理及其逆定理；反证法以及利用本章知识证明或解决实际问题。本章是平行线证明的继续，在平行线的证明中给出了一些基本事实，并从基本事实出发，证明了一些有关平行线的结论，利用这些基本事实和已经学过的定理还可以证明三角形的一些结论。三角形的证明是中考的必考内容，考察方式以填空、选择和中档解答题为主，主要考察等腰三角形、直角三角形的角的度数问题，边长的计算或证明角、线段相等或推导角之间的关系或线段之间的而关系。另外角平分线和垂直平分线也是常考题型。
学情分析 本章是八年级上册第七单元平行线的证明的继续，在平行线的证明中给出了8个基本事实，利用这些基本事实证明了一些数学结论，学生具备了一定知识能力，为本章学习奠定了基础。在此之前，学生对图像的性质及其相互关系进行了大量的探索，积累了一定的经验，具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，从而为本章严格的证明有关三角形有关定理打下基础。
单元目标 （一）教学目标1、了解全等三角形的概念和性质，能准确辩论全等三角形的对应元素。2、探索全等三角形的判断方法，能利用全等三角形进行证明，掌握综合法证明格式。3、了解线段垂直平分线的性质，能利用三角形全等证明线段垂直平分线的性质，会用垂直平分线的性质证明命题。4、了解角平分线的性质，能利用三角形全等证明角平分线的性质，会用角平分线的性质证明命题。5、在图形变换和时间操作中，发展空间观念，6、在经历三角形全等的探索过程中，体会利用操作、归纳获得数学知识的过程，培养学生综合运用能力。7、通过本章学习，体会数学与生活息息相关，激发学习数学的兴趣。教学重点、难点重点1、等腰三角形的性质和判断；2、直角三角形的性质和判断；3、线段的垂直平分线的性质和判断；4、角平分线的性质定理及其逆定理；5、真假命题的判断。难点等腰三角形的性质定理和判断定理的证明；用反证法证明利用尺规作等腰三角形和直角三角形。利用本章知识解决或证明有关几何的综合性问题
单元知识结构框架及课时安排 （二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1等腰三角形12等腰三角形和等边三角形13等腰三角形的判断和反证法14等边三角形的判断15直角三角形的判断16直角三角形全等的判断17垂直平分线（1）18垂直平分线（2）19角平分线（1）110角平分线（2）111回顾与反思1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务等腰三角形1、理解等腰三角形的性质，会利用等腰三角形的性质，进行简单的推理、判断和计算。 2、运用现代化的教学手段，通过观察、实践、猜想，论证发展学生的推理能力、动手操作能力和数学语言表达(包括口头和书面)能力。 3、在实际操作动手中感受几何应用美 回顾知识。2、检查预习效果。3、利用三种方法证明等边对等角。4、理解等腰三角形的三线合一，环节一：知识回顾。环节二：检查预习。环节三：探究新知。等腰三角形和等边三角形1、证明等腰三角形的性质定理，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性；2、证明等边三角形的性质定理。3、经历“观察－发现－猜想－论证”的过程，发展学生初步的逻辑推理能力,在图形的观察中，发展学生的几何直觉。4、通过“观察－发现－猜想－论证”，让学生感受数学活动充满着探索性和创造性，突出数学的严谨性。在活动中，培养学生之间的合作精神，从而增强学生学数学、用数学的意识。1、复习内容主要由学生自主回答，教师引导并课件展示，2、学生在导学案上画出其他角平分线，中线和高，小组合作讨论其中一些相等的线段，3、小组代表简述讨论结果并讨论论证，教师巡视从不同角度引导。4、小组代表汇报论证过程。5、学生在导学案上画出其他角平分线，中线和高，小组合作讨论其中一些相等的线段，6、小组代表简述讨论结果并讨论论证，教师巡视从不同角度引导。7、小组代表汇报论证过程。环节一：知识回顾。环节二：等腰三角形相等的线段。环节三：等腰三角形和等边三角形。等腰三角形的判断和反证法1. 探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.2. 通过动手操作探索并掌握识别一个三角形是等腰三角形.3.理解并掌握“等角对等边”，体会与“等边对等角”互逆关系，能够利用三角形的识别方法去解决问题.4.了解反证法，掌握反证法证题的过程。学会数学说理，发展初步的演绎推理能力，进一步体会等腰三角形的对称美.5.过程方法：通过学生装的独立思考、交流合作，让学生经历问题解决的过程，体验解决问题策略的多样性。让学生感悟数学与日常生活的联系，激发学生学习数学的兴趣。1、学生回顾知识。2、学生证明等腰三角形的判定定理。3、让学生分组讨论，合作完成第三个命题证明。4、总结归纳反证法的步骤。环节一：知识回顾。环节二：等腰三角形判断定理的证明。环节三：反证法。等边三角形的判断理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30 角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维；经历实际操作，探索含有30 角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.复习旧知，思考2个问题。证明等边三角形的判定定理，并总结证明三角形是等边三角形的方法。3、动手操作发现结论。4、利用多种方法证明“直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半。”环节一：新课导入。环节二：探究等边三角形判断。环节三：探究在直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半。。直角三角形的判断1、知识与技能：掌握直角三角形的概念及表示法.掌握直角三角形性质。掌握直角三角形判定。了解互逆命题和互逆定理的概念。2、过程与方法：课堂上采用“问题情境-建立模型-应用与拓展的模式展开”，为学生提供充分的探索与交流的时间与空间，使学生进一步掌握推理证明的方法。发展演绎推理的能力。3、情感态度与价值观：让学生经历知识的形成与应用过程，使学生更好地理解数学，应用数学，增强学好数学的信心反证法证明，直角三角形只有一个直角，钝角三角形只有一个钝角。证明有两个角互余的三角形是直角三角形。3、让学生根据以前所学的勾股定理和逆定理的知识直接回答出定理的内容,对于证明学生有一定的难度,尤其是逆定理的证明,在证明时教师加以指导.4、让学生自己总结出互逆命题的定义，然后让学生再分析每个互逆命题是否正确，是真命题还是假命题，从而得出互逆定理的概念。环节一：复习旧知。环节二：探究勾股定理及逆定理。环节三：探究原命题、逆命题的真伪。直角三角形全等的判断1、能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性。2、熟练利用“斜边、直角边”定理判定两个直角三角形是否全等，解决一些简单的实际问题。 3、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。 经历探索直角三角形全等条件的过程，进一步掌握证明几何问题和解决简单实际问题 的方法。 4、让学生理解事物的特殊与一般的关系，培养学生的思维品质及能力。通过定理的证明，范例的分析过程的教学，培养观察分析问题、把实际问题抽象概括成数学问题、并加以论证解决的能力。通过“HL”定理的推导渗透变换的思想，培养学生一题多解的思维能力，拓宽学生的知识面，并使学生在数学学习中体验数学推理证明的乐趣，获得成功的喜悦。1、回顾知识，根据三角形全等的判断条件，判断三角形是否全等，并说明理由。2、学生按要求画直角三角形。3、猜想、验证斜边、直角定理（HL）4、小组合作运用“斜边、直角边”定理解决问题，注意规范书写。环节一：复习导入。环节二：探究“斜边、直角边”定理。环节三：典例分析。垂直平分线（1）1.经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力。2.证明线段垂直平分线的性质定理，探索并证明线段垂直平分线的判定定理，进一步发展推理能力。3.能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题。回顾知识。试着确定码头位置。利用多种方法证明垂直平分线定理。利用垂直平分线定理解决问题，注意书写的规范性环节一：复习旧知，情景导入。环节二：探究垂直平分线定理。环节三：典例分析。垂直平分线（2）1.通过动手操作、尺规作图和理论证明，能探究出“三角形三边垂直平分线的性质”， 进一步发展学生的推理证明意识和能力,并会熟练应用来解决实际问题.2.借助线段垂直平分线的尺规作图，通过个人探究和小组交流，能准确作出符合条件的几何图形；体会转化的思想.1、知识回顾，用数学语言描述垂直平分线定理。2、尺规准确作出符合条件的几何图形：已知直线（或线段）的垂线；3、能严密流畅地写出“三角形三边垂直平分线的性质定理”的证明过程。4、运用知识解决实际问题，关注学生答题的规范性。环节一：复习旧知。环节二：探究尺规作垂直平分线。环节三：典例分析角平分线（1）1.通过自主学习能够用数学语言描述角平分线的性质定理和判定定理.2.经历小组合作探究会证明角平分线的性质定理和判定定理.3.经过练习拓展，能够灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解决有关问题， 体会转化的思想.1、准确回忆角平分线的定义且领悟角平分线位于角的内部，为准确表述角平分线性质定理的逆命题作准备.2、学生在探究和交流的过程中准确完整写出证明过程.3、学生对角平分线的性质定理、判定定理的几何语言的书写是否简洁明了.4、关注学生是否积极参与，检查基础知识的掌握情况.5、关注学生在学习活动是否感受到成功的快乐.环节一：知识再现。环节二：探究新知。环节三：典例分析角平分线（2）1. 通过对角的平分线性质定理和判定定理的理解，能运用定理熟练推导出三角形中三条角平分线的性质，完成例2的证明．2. 通过例3的学习，能熟练运用角平分线的性质定理及判定定理进行数学的证明与计算；3.能准确的说出三角形三边垂直平分线与角平分线交点性质的区别；4.通过小组成员的合作交流学习，4/5的学生能够运用角平分线的性质定理及判定定理，灵活解决实际问题． 1、独立回答问题。2、学生独立思考，并上台展示自己的思路，最后将证明过程整理在学案上。3、学生独立思考并和同学们分享解题思路，然后独立完成解答，最后与教材解答进行比对、更改。环节一：知识再现。环节二：探究三角形角平分线。环节三：典例分析回顾与反思1．知识目标：在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等.2．能力目标：进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.3．情感价值观要求通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.学生回顾知识，构建知识框架。教师引导学生梳理知识，学生独立解决练一练，关注中差生的成长。自学例题，并完成课堂练习，关注中下生。环节一：知识框架。环节二：知识梳理。环节三：考点讲练
《三角形的证明》单元教学设计
活动一；回顾知识
活动二；检查预习
任务一：等腰三角形
活动三；探究新知
三
角
形
的
证
明
活动一；回顾知识
活动二；等腰三角形相等的线段
任务二：等腰三角形和等边三角形形
活三；等边三角形
活动一；回顾知识
活动二；等腰三角形的判断与反证法
任务三：等腰三角形的判断和反证法
活三；反证法
活动一；新课导入
活动二；探究等边三角形的判断
任务四：等边三角形的判断
活动三；探究直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半
活动一；复习旧知
任务五：直角三角形的判断
活动二；探究勾股定理的逆定理
活动三；探究原命题和逆命题
活动一；复习导入
三
角
形
的
证
明
活动二；探究“直角边、斜边”定理
任务六：直角形全等的判断
活动三；典例分析
活动一；复习知识情景导入
活动二；探究垂直平分线定理
任务七：垂直平分线（1）
活动三；典例分析
活动一；复习知识
任务八：垂直平分线（2）
活动二；探究尺规作图
活动三；典例分析
活动一；知识在现
活动二；探究新知
任务九：角平分线（1）
活动三；典例分析
活动一；知识在现
活动二；探究三角形角平分线
任务十：角平分线（2）
三
角
形
的
证
明
活动三；典例精析
活动一；知识框架
任务十一：回顾与反思
活动二；知识梳理
活动三；考点讲练
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三角形的证明
回顾与反思
北师大版八年级下册
教材分析
教科书要求教学活动中应注重让学生体会到证明是原有探索活动的自然延续和必要发展，引导学生从问题出发，根据观察、试验的结果，发现证明的思路.具体复习内容为：等腰三角形；等边三角形；直角三角形；线段垂直平分线；角平分线；全等三角形的判断；反证法和逆命题。复习分为三个环节：1、构建知识框架。2、知识梳理。3、考点讲练。4、布置作业
教学目标
1．知识目标：在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等.
2．能力目标：进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.
3．情感价值观要求
通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.
知识框架
三角形的证明
等腰三角形
等腰三角形的判定
勾股定理
等边三角形的性质
等边三角形的判定
直角三角形
直角三角形的性质
两个直角三角形全等的判定（HL）
直角三角形的判定
等边三角形
勾股定理的逆定理
角平分线的性质
垂直平分线的性质
等腰三角形的性质
知识梳理
1、定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形；
3、判定：
2、性质：
（1）（定理）等腰三角形的两底角相等（等边对等角）；
（2）（推论）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合（三线合一）。
一、等腰三角形
（1）（定义）有两边相等的三角形是等腰三角形；
（2）（定理）有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。
练一练
1．已知等腰三角形的一个底角为80°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．20° B．40° C．50° D．80°
2．等腰三角形的两条边长分别为5cm和6cm，则它的周长是______________
3．已知等腰三角形ABC的腰AB＝AC＝10cm，底边BC＝12cm，则△ABC的角平分线AD的长是____cm。
A
16cm或17cm
8
知识梳理
1、定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形；
2、性质：
（1）等边三角形的三个内角都相等，且都为60°；
（2）等边三角形内角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合（三线合一）
3、判定：
（1）（定义）三边都相等的三角形是等边三角形；
（2）（定理）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）（定理）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
二、等边三角形
练一练
1．边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为________。
2．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝________度
15
知识梳理
三、直角（Rt）三角形
1、定义：有一个角是90°的三角形叫做直角三角形；
2、性质：
（1）（定理）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
（2）（定理）直角三角形两锐角互余；
（3）（勾股定理）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
知识梳理
3、判定：
（1）（定义）有一个角是90°的三角形叫做直角三角形；
（2）（定理）有两个角互余的三角形是直角三角形；
（3）（勾股定理的逆定理）如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
练一练
1．如下左图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AP平分∠CAB交BC于点P，若BP＝6，则CP＝_____。
2．如上右图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
3
D
知识梳理
四、线段的垂直平分线
1、性质定理：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
2、性质定理的逆定理（判定定理）
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
3、三角形三边的垂直平分线的性质：
三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
练一练
1、如下左图，在Rt△ABC中，有∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=20°，则∠C= _________。
2、如下右图，在△ABC中∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D。若ED=5，则CE的长为（ ）
A.10 B.8 C. 5 D 2.5
35°
A
知识梳理
五、角平分线
1、性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
2、性质定理的逆定理（判定定理）：
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
3、三角形三条角平分线的性质：
三角形三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
练一练
1、如下左图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD＝4，则点D到AB的距离是_______。
2．如下右图，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF，则线段AD是△ABC的（ ）
A．垂直平分线 B．角平分线 C．高 D．中线
4
B
知识梳理
六、全等的判定及性质
1、性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
2、判定：
三角形：“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SAS”、
Rt三角形：“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SAS”、“HL”
知识梳理
七.反证法与互逆命题
1.反证法：（定义）先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法.反证法三部曲：假设，找茬，反转.
2.互逆命题：（定义）如果一个命题的条件和结论是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
3.互逆定理：一个定理的逆命题经过证明也是定理，则称它们互为逆定
考点讲练
考点一 等腰（等边）三角形的性质与判定
例1 如图所示，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.求证： ∠BAC = 2∠DBC.
A
B
C
D
)
)
1
2
E
【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，可作顶角∠BAC的平分线，来获取角的数量关系.
考点讲练
证明：作∠BAC的平分线AE,交BC于点E,如图所示
则
∵AB=AC, ∴AE⊥BC.
∴ ∠ 2+ ∠ACB=90 °.
∵BD⊥AC, ∴ ∠DBC+ ∠ACB=90 °.
∴ ∠ 2= ∠DBC.
∴ ∠BAC= 2∠DBC.
A
B
C
D
)
)
1
2
E
方法总结
等腰三角形的性质与判定是本章的重点之一，它们是证明线段相等和角相等的重要依据，等腰三角形的特殊情形—等边三角形的性质与判定应用也很广泛，有一个角是30°的直角三角形的性质是证明线段之间的倍份关系的重要手段.
课堂练习
1.如图，在△ABC中，AB=AC时，
(1)∵AD⊥BC，
∴∠ ____= ∠_____;____ = ____.
(2) ∵AD是中线，
∴____⊥____; ∠ _____= ∠_____.
(3) ∵ AD是角平分线，
∴____ ⊥____ ;_____ =____ .
B
A
C
D
BAD
CAD
BD
CD
AD
BC
BAD
CAD
AD
BC
BD
CD
考点讲练
考点二 勾股定理
例2 在△ABC中，已知BD是高，∠B＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且a＝3，b＝4，求BD的长．
解：∵∠B＝90°，∴b是斜边，
则在Rt△ABC中，由勾股定理，得
又∵S△ABC＝ b BD＝ ac，
方法总结
在直角三角形中，已知两边的长求斜边上的高时，先用勾股定理求出第三边，然后用面积求斜边上的高较为简便．在用勾股定理时，一定要清楚直角所对的边才是斜边，如在本例中不要受勾股数3，4，5的干扰．
课堂练习
2.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A.25 B.14 C.7 D.7或25
D
考点讲练
考点三 勾股定理的逆定理
例3 已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，判断△ABC是否为直角三角形．
解：由于a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1，
c2＝(n2＋1)2 ＝n4＋2n2＋1，
从而a2＋b2＝c2，
故可以判定△ABC是直角三角形．
方法总结
运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断哪条边最大；
②分别用代数方法计算出a2＋b2和c2的值(c边最大)；③判断a2＋b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形．
课堂练习
3.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点上，可以判定三角形是直角三角形的有________．
(2)(4)
考点讲练
考点四 命题与逆命题
例4 判断下列命题的真假，写出这些命题的逆命题并判断它们的真假．
(1)如果a＝0，那么ab＝0；
(2)如果点P到线段AB两端点的距离相等，那么P在线段AB的垂直平分线上．
解：(1)原命题是真命题．
原命题的逆命题是：如果ab＝0，那么a＝0.逆命题为假．
(2)原命题是真命题．
原命题的逆命题是：如果P在线段AB的垂直平分线上，那么点P到线段AB两端点的距离相等．其逆命题也是真命题．
课堂练习
4.写出下列命题的逆命题，并判断其真假：
（1）若x=1，则x2=1；（2）若|a|=|b|，则a=b.
解：
（1）逆命题：若x2=1，则x=1．是假命题.
（2）逆命题：若a=b，则|a|=|b|．是真命题.
考点讲练
考点五 线段的垂直平分线
例5 如图，AD是BC的垂直平分线，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？
A
B
C
D
E
解：∵ AD 是BC 的垂直平分线，
∴ AB =AC，BD=CD.
∵ 点C 在AE 的垂直平分线上，
∴ AC =CE,∴AB=AC=CE,
∴ AB+BD=DE.
方法总结
常常运用线段的垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”进行线段之间的转换来求线段之间的关系及周长的和差等,有时候与等腰三角形的“三线合一”结合起来考查.
课堂练习
5.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=5厘米，△ABD的周长等于13厘米，则△ABC的周长是 .
A
B
D
E
18厘米
6.下列说法：
①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB；
②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；
③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；
④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．
其中正确的有 （填序号）
① ② ③
考点讲练
考点六 角平分线的性质与判定
例6 如图，在△ABC中，AD是角平分线，且BD = CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E , F.
求证：EB=FC.
A
B
C
D
E
F
【分析】先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE ≌ Rt△CDF.
考点讲练
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线，
DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
A
B
C
D
E
F
课堂练习
7. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= .
8.△ABC中, ∠C=90°, AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是
E
B
D
F
A
C
G
A
B
C
D
60
BF
3
课堂练习
9. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．
解：AD平分∠BAC．理由如下：
∵D到PE的距离与到PF的距离相等，
∴点D在∠EPF的平分线上．
∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
3
4
1
2
P
考点讲练
考点七 本章的数学思想与解题方法
例7 等腰三角形的周长为20cm,其中两边的差为8cm,求这个等腰三角形各边的长.
解：若腰比底边长，设腰长为xcm,则底边长为（x-8)cm，
根据题意得 2x+x-8=20,
解得 x= , ∴x-8= ;
若腰比底边短，设腰长为ycm,则底边长为（y+8)cm,根据题意得2y+y+8=20,解得y=4, ∴y+8=12,但4+4=8<12,不符合题意.
故此等腰三角形的三边长分别为
分类讨论思想
考点讲练
方程思想
例8 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE，求CD的长．
解：由折叠知：DA＝DB，△ACD为直角三角形．
在Rt△ACD中，AC2＋CD2＝AD2①，
设CD＝x cm，则AD＝BD＝(8－x)cm，
代入①式，得62＋x2＝(8－x)2，
化简，得36＝64－16x，
所以x＝ ＝1.75，
即CD的长为1.75 cm.
方法总结
勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题；如果只知一边和另两边的关系时，也可用勾股定理求出未知边，这时往往要列出方程求解．
课堂练习
10.等腰三角形的两边长分别为4和6，求它的周长.
解：①若腰长为6，则底边长为4，周长为6+6+4=16；
②若腰长为4，则底边长为6，周长为4+4+6=14.
故这个三角形的周长为14或16.
课堂练习
11.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为 .
课堂总结
1.各类三角形，性质、判定要记牢；
2.反证法，特定题目显奇效；
3.中垂线，角平分线，性质、判定皆重要；
4.常见尺规作图别忘了！
作业布置
【知识技能类作业 必做题】
1．等腰三角形的两条边长分别为3cm和4cm，则它的周长是 .
2．已知等腰三角形ABC的腰AB＝AC＝5cm，底边BC＝6cm，则△ABC的角平分线AD的长是
3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=36°，∠ADE=∠AED=2∠EAD，则图中共有多少个等腰三角形？（ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
10cm或11cm
4cm
D
作业布置
4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=36°，∠ADE=∠AED=2∠EAD，则图中共有多少个等腰三角形？（ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
5.如图，在△ABC中，∠c=90°，按以下步骤作图：①以A点为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC、AB于点、M、N；②分别以M、N点和点为圆心、大于MN一半的长为半径作圆弧，在△ABC内，两弧交于P点；作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABC的面积是( )
A. B. C. D.
D
B
作业布置
B
C
作业布置
65°
作业布置
【知识技能类作业 选做题】
作业布置
解：(1)证明△DOC≌△EOC即可得出CD＝CE
(2)成立．如图，过点C作CH⊥AO于点H，CG⊥OB于点G，
∵OM平分∠AOB，∴CG＝CH.
∵∠AOG＝90°，∴∠HCG＝90°，∴∠HCD＋∠DCG＝90°.
∵∠DCG＋∠GCE＝90°，∴∠HCD＝∠GCE.
又∵∠CHD＝∠CGE＝90°，∴△CHD≌△CGE(ASA)，
∴CD＝CE
作业布置
【综合实践类作业】
作业布置
11.如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．
(1)求证：AB＝DC；
(2)试判断△OEF的形状，并说明理由．
证明：（1）∵BE＝CF，
∴BE＋EF＝CF＋EF， 即BF＝CE．
又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AB＝DC．
（2）△OEF为等腰三角形
理由如下：∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC．
∴OE=OF．
∴△OEF为等腰三角形．
板书设计
三角形的证明
等腰三角形
等腰三角形的判定
勾股定理
等边三角形的性质
等边三角形的判定
直角三角形
直角三角形的性质
两个直角三角形全等的判定（HL）
直角三角形的判定
等边三角形
勾股定理的逆定理
角平分线的性质
垂直平分线的性质
等腰三角形的性质
谢谢
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八年级下册分课时教学设计
《三角形的证明》第11课时（回顾与反思）教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 教科书要求教学活动中应注重让学生体会到证明是原有探索活动的自然延续和必要发展，引导学生从问题出发，根据观察、试验的结果，发现证明的思路.具体复习内容为：等腰三角形；等边三角形；直角三角形；线段垂直平分线；角平分线；全等三角形的判断；反证法和逆命题。复习分为三个环节：1、构建知识框架。2、知识梳理。3、考点讲练。4、布置作业。
学习者分析 学生已经了解等腰三角形性质探索经验的基础上，继续深入学习证明的方法和格式；多数学生已经了解证明的必要性，具备了证明命题是否成立的探索经验的基础.同时已经具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.
教学目标 1．知识目标：在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等. 2．能力目标：进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力. 3．情感价值观要求 通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.
教学重点 通过考点讲练对所学知识进行复习巩固是重点，
教学难点 本章知识的综合性应用对学生来讲是难点。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：知识框架； 教师活动1： 学生活动1： 学生回顾知识，构建知识框架。活动意图说明： 引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系. 环节二：知识梳理教师活动2： 一、等腰三角形 1、定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形； 2、性质： （1）（定理）等腰三角形的两底角相等（等边对等角）； （2）（推论）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合（三线合一）。 3、判定： （1）（定义）有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）（定理）有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。 练一练 1．已知等腰三角形的一个底角为80°，则这个等腰三角形的顶角为（ A ） A．20° B．40° C．50° D．80° 2．等腰三角形的两条边长分别为5cm和6cm，则它的周长是_【16cm或17cm】 3．已知等腰三角形ABC的腰AB＝AC＝10cm，底边BC＝12cm，则△ABC的角平分线AD的长是【8】cm。 二、等边三角形 1、定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形； 2、性质： （1）等边三角形的三个内角都相等，且都为60°； （2）等边三角形内角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合（三线合一） 3、判定： （1）（定义）三边都相等的三角形是等边三角形； （2）（定理）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）（定理）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 练一练 1．边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为【cm】。 2．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝【15】度 三、直角（Rt）三角形 1、定义：有一个角是90°的三角形叫做直角三角形； 2、性质： （1）（定理）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； （2）（定理）直角三角形两锐角互余； （3）（勾股定理）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 3、判定： （1）（定义）有一个角是90°的三角形叫做直角三角形； （2）（定理）有两个角互余的三角形是直角三角形； （3）（勾股定理的逆定理）如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 练一练 1．如下左图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AP平分∠CAB交BC于点P，若BP＝6，则CP＝【3】。 2．如上右图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ D ） A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7 四、线段的垂直平分线 1、性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 2、性质定理的逆定理（判定定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 3、三角形三边的垂直平分线的性质： 三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 练一练 1、如下左图，在Rt△ABC中，有∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=20°，则∠C=【35°】。 2、如下右图，在△ABC中∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D。若ED=5，则CE的长为（ A ） A.10 B.8 C. 5 D 2.5 五、角平分线 1、性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 2、性质定理的逆定理（判定定理）： 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 3、三角形三条角平分线的性质： 三角形三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 练一练 1、如下左图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD＝4，则点D到AB的距离是【4】。 2．如下右图，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF，则线段AD是△ABC的（ B ） A．垂直平分线 B．角平分线 C．高 D．中线 六、全等的判定及性质 1、性质： 全等三角形的对应边相等，对应角相等。 2、判定： 三角形：“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SAS”、 Rt三角形：“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SAS”、“HL” 七.反证法与互逆命题 1.反证法：（定义）先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法.反证法三部曲：假设，找茬，反转. 2.互逆命题：（定义）如果一个命题的条件和结论是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 3.互逆定理：一个定理的逆命题经过证明也是定理，则称它们互为逆定学生活动2： 教师引导学生梳理知识，学生独立解决练一练，关注中差生的成长。活动意图说明： 在回顾与思考中建立本章的知识框架图的基础上，对等腰三角形；等边三角形；直角三角形；线段垂直平分线；角平分线；全等三角形的判断；反证法和逆命题进行梳理，并完成课堂练习，加强学生运用知识解决实际问题的能力。环节三：考点讲练教师活动3： 考点一 等腰（等边）三角形的性质与判定 例1 如图所示，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.求证： ∠BAC = 2∠DBC. 【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，可作顶角∠BAC的平分线，来获取角的数量关系. 证明：作∠BAC的平分线AE,交BC于点E,如图所示 则∠1=∠2=∠BAC;∵AB=AC,∴AE⊥BC ∴∠2+∠C=90°，∵BD⊥AC，∴∠DBC+∠C=90° ∴∠2=∠DBC ∴ ∠BAC= 2∠DBC. 方法总结； 等腰三角形的性质与判定是本章的重点之一，它们是证明线段相等和角相等的重要依据，等腰三角形的特殊情形—等边三角形的性质与判定应用也很广泛，有一个角是30°的直角三角形的性质是证明线段之间的倍份关系的重要手段. 课堂练习 1.如图，在△ABC中，AB=AC时， (1)∵AD⊥BC， ∴∠ BAD= ∠CAD; BD=DC. (2) ∵AD是中线， ∴AD⊥BC; ∠BAD= ∠CAD. (3) ∵ AD是角平分线， ∴AD⊥BC ;BD =DC. 考点二 勾股定理 例2 在△ABC中，已知BD是高，∠B＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且a＝3，b＝4，求BD的长． 解：∵∠B＝90°，∴b是斜边， 则在Rt△ABC中，由勾股定理，得 又∵S△ABC＝ b BD＝ ac， ∴BD= 方法总结： 在直角三角形中，已知两边的长求斜边上的高时，先用勾股定理求出第三边，然后用面积求斜边上的高较为简便．在用勾股定理时，一定要清楚直角所对的边才是斜边，如在本例中不要受勾股数3，4，5的干扰． 课堂练习 2.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ D ） A.25 B.14 C.7 D.7或25 考点三 勾股定理的逆定理 例3 已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，a＝n－1，b＝2n，c＝n＋1(n＞1)，判断△ABC是否为直角三角形． 解：由于a＋b＝(n－1)＋(2n)＝n＋2n＋1， c＝(n2＋1)＝n＋2n＋1， 从而a＋b＝c， 故可以判定△ABC是直角三角形． 方法总结 运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断哪条边最大； ②分别用代数方法计算出a＋b和c的值(c边最大)；③判断a＋b和c是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形． 课堂练习 3.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点上，可以判定三角形是直角三角形的有【(2)(4)】． 考点四 命题与逆命题 例4 判断下列命题的真假，写出这些命题的逆命题并判断它们的真假． (1)如果a＝0，那么ab＝0； (2)如果点P到线段AB两端点的距离相等，那么P在线段AB的垂直平分线上． 解：(1)原命题是真命题． 原命题的逆命题是：如果ab＝0，那么a＝0.逆命题为假． (2)原命题是真命题． 原命题的逆命题是：如果P在线段AB的垂直平分线上，那么点P到线段AB两端点的距离相等．其逆命题也是真命题． 课堂练习 4.写出下列命题的逆命题，并判断其真假： （1）若x=1，则x=1；（2）若|a|=|b|，则a=b. 解：（1）逆命题：若x=1，则x=1．是假命题. （2）逆命题：若a=b，则|a|=|b|．是真命题. 考点五 线段的垂直平分线 例5 如图，AD是BC的垂直平分线，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？ 解：∵ AD 是BC 的垂直平分线， ∴ AB =AC，BD=CD. ∵ 点C 在AE 的垂直平分线上， ∴ AC =CE,∴AB=AC=CE, ∴ AB+BD=DE. 方法总结 常常运用线段的垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”进行线段之间的转换来求线段之间的关系及周长的和差等,有时候与等腰三角形的“三线合一”结合起来考查. 课堂练习 5.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=5厘米，△ABD的周长等于13厘米，则△ABC的周长是 【18cm】. 6.下列说法： ①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB； ②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB； ③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点； ④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB． 其中正确的有【① ② ③】（填序号） 考点六 角平分线的性质与判定 例6 如图，在△ABC中，AD是角平分线，且BD = CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E , F. 求证：EB=FC. 【分析】先利用角平分线的性质定理得到 DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE ≌ Rt△CDF. 证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC， ∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴ EB=FC. 课堂练习 7. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF=【60】度，BE= 【BF】 . 8.△ABC中, ∠C=90°, AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 【3】 第7题 第8题 第9题 9. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由． 解：AD平分∠BAC．理由如下： ∵D到PE的距离与到PF的距离相等， ∴点D在∠EPF的平分线上． ∴∠1＝∠2． 又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3． 同理，∠2＝∠4． ∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC． 考点七 本章的数学思想与解题方法 分类讨论思想 例7 等腰三角形的周长为20cm,其中两边的差为8cm,求这个等腰三角形各边的长. 解：若腰比底边长，设腰长为xcm,则底边长为（x-8)cm， 根据题意得 2x+x-8=20, 解得 x= , ∴x-8= ; 若腰比底边短，设腰长为ycm,则底边长为（y+8)cm,根据题意得2y+y+8=20,解得y=4, ∴y+8=12,但4+4=8<12,不符合题意. 故此等腰三角形的三边长分别为cm,cm,cm 方程思想 例8 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE，求CD的长． 解：由折叠知：DA＝DB，△ACD为直角三角形． 在Rt△ACD中，AC2＋CD2＝AD2①， 设CD＝x cm，则AD＝BD＝(8－x)cm， 代入①式，得62＋x2＝(8－x)2， 化简，得36＝64－16x， 所以x＝1.75， 即CD的长为1.75 cm. 方法总结 勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题；如果只知一边和另两边的关系时，也可用勾股定理求出未知边，这时往往要列出方程求解 课堂练习 等腰三角形的两边长分别为4和6，求它的周长. 解：①若腰长为6，则底边长为4，周长为6+6+4=16； ②若腰长为4，则底边长为6，周长为4+4+6=14. 故这个三角形的周长为14或16. 11.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为.学生活动3： 自学例题，并完成课堂练习，关注中下生活动意图说明： 通过例题考点讲练，进一步掌握本章知识，结合相关习题进一步发展学生的推理证明意识和能力.体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识.
板书设计
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图所示，AC=AD,BC=BD, 则下列说法正确的是（ A ） A．AB垂直平分CD； B ．CD垂直平分AB ； C．AB与CD互相垂直平分；D．CD平分∠ ACB ． 2.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB， 这样的点的组合共有【无数】种. 3.下列说法： ①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB； ②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB； ③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点； ④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB． 其中正确的有 （填序号）. 4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=36°，∠ADE=∠AED=2∠EAD，则图中共有多少个等腰三角形？（ ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 5.如图，在中，，按以下步骤作图：以点为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边、于点、；分别以点和点为圆心、大于一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点；作射线交边于点，若，，则的面积是 A. B. C. D. 6.如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，记两把尺的接触点为点其中一把直尺边缘恰好和射线重合，而另一把直尺的下边缘与射线重合，上边缘与射线交于点，联结若，则的大小为 B. C. D. 第5题图 第6题图 第7题图 如图所示，在中，的垂直平分线分别交于点，交于点，的周长为，，则的周长为 A. B. C. D. 8.如图，分别以线段的两个端点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，，作直线，点为直线上一点，连接，，以为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点，连接若，则的度数为【65°】． 选做题： 9.已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与点C重合，它的两条直角边分别与OA，OB相交于点D，E. (1)如图①，若CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E.求证：CD＝CE； (2)当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图②这种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明． 解：(1)证明△DOC≌△EOC即可得出CD＝CE (2)成立．如图，过点C作CH⊥AO于点H，CG⊥OB于点G， ∵OM平分∠AOB，∴CG＝CH. ∵∠AOG＝90°，∴∠HCG＝90°，∴∠HCD＋∠DCG＝90°. ∵∠DCG＋∠GCE＝90°，∴∠HCD＝∠GCE. 又∵∠CHD＝∠CGE＝90°，∴△CHD≌△CGE(ASA)， ∴CD＝CE 【综合拓展类作业】 如图，四边形ABCD中，，对角线AC，BD相交于点O，，垂足分别是E、F，求证：． 证明：在△ABD和△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（SSS）， ∴∠ABD=∠CBD， ∴BD平分∠ABC． 又∵OE⊥AB，OF⊥CB， ∴OE=OF． 11.如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O． (1)求证：AB＝DC； (2)试判断△OEF的形状，并说明理由． 证明：（1）∵BE＝CF， ∴BE＋EF＝CF＋EF， 即BF＝CE． 又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C， ∴△ABF≌△DCE（AAS）， ∴AB＝DC． （2）△OEF为等腰三角形 理由如下：∵△ABF≌△DCE， ∴∠AFB=∠DEC． ∴OE=OF． ∴△OEF为等腰三角形．
教学反思
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