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北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明》测试卷（A）
满分：120分 考试时间：90分钟
选择题。（每小题3分，共30分）
1．直角三角形的两直角边长分别是3cm，4cm，则斜边上的中线长为（ ）
A．5cm B．2.4cm C．2.5cm D．5cm或cm
2．已知等腰三角形两边长是10 cm和5 cm，那么它的腰长是( )
A．25cm B．15cm C．10 cm或5 cm D．10 cm
3．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．一个锐角和斜边对应相等 B．两条直角边对应相等
C．两个锐角对应相等 D．斜边和一条直角边对应相等
4．如图，中，，AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点E、D，若，则（ ）．
B． C． D．
第4题 第5题 第6题 第7题
5. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝22°，则∠BDC等于( )
A．44° B．60° C．67° D．77°
6. 如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠BAC＝75°，AB的垂直平分线交BC于点D，垂足为E.则∠CAD等于( )
A．30° B．35° C．40° D．50°
7. 某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植一草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( )
A.300a元 B．150a元 C．450a元 D．225a元
8.如图，，分别是，的平分线上的点，于点，于点，于点，则以下结论错误的是
A. B. C. 与互余的角有个 D. 是的中点
9.如图，在四边形中ABCD，AB=AD，CB=CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫作筝形．根据学习平行四边形性质的经验，有同学得出如下筝形的性质，你认为其中不正确的是
A. 两组邻边分别相等 B. 有一组对角相等
C. 两条对角线相互垂直平分 D. 一条对角线被另一条对角线垂直平分
10.如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作正三角形和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ、OC现有以下4个结论：
；；；平分．这些结论中一定成立的有（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
第8题 第9题 第10题
填空题（每小题4分共28分）
11. 我们规定，等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k.若k＝2，则该等腰三角形的顶角为________度．
12.如图，在中，，，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，直线MN与AC、BC分别交于点D、E，连接AE,若BE=3，则的长为______．
13.如图，的斜边的中垂线MN与交于点M，∠A=15°，BC=2，则△AMB的面积为_________．
14.如图，长方形中，，，对角线的垂直平分线分别交，于点，，连接，则的长为________．
第12题图 第13题图 第14题图
15.已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且
直线DE交OB于点F，如图所示．若DE=3，则DF______．
16.如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E.若PE＝4，则两平行线AD与BC间的距离为____．
第15题 第16题 第17题
17.一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE＝ 米时，有DC2＝AE2＋BC2.
解答题（6×3=18分）
18．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．
19． 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N.求证：CM＝2BM.
20.如图，四边形ABCD中，，对角线AC，BD相交于点O，，垂足分别是E、F，求证：．
解答题（8×3=24分）
已知：如图，在等边三角形ABC中，D为BC延长线上的一点，E为CA延长线上的一点，且AE=CD试说明：BE=AD．
22.已知：如图，∠ABC=∠ADC=90°，E、F分别是AC、BD的中点. 求证：.
23.如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点，连接EF交AD于点O．
(1)求证：AD垂直平分EF；
(2)若∠BAC=60°，写出DO与AD之间的数量关系，并证明．
解答题 （10×2=20分）
24.如图1，△ABC中，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，连接DE
若AB=BC,DE=1,BE=3，求△ABC的周长；
如图2，若AB=BC,AD=BD，∠ADB的角平分线DF交BE于点F，求证：．
25. 已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与点C重合，它的两条直角边分别与OA，OB相交于点D，E.
(1)如图①，若CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E.求证：CD＝CE；
(2)当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图②这种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C A C B B C C D
二 、填空
题号 11 12 13 14 15 16 17
答案 90 6 4 6 8
解答题
证明：如图所示．∵DE∥AC，∴∠1＝∠3.
∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2.
∴∠2＝∠3.∵AD⊥BD，
∴∠2＋∠B＝90°，∠3＋∠BDE＝90°.
∴∠B＝∠BDE.
∴BE＝DE，即△BDE是等腰三角形．
证明：如图，连接AM.∵MN是AB的垂直平分线，
∴AM＝BM.∴∠MAB＝∠B.
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°.
∴∠MAB＝30°.
∴∠MAC＝90°.
∵∠C＝30°，
∴CM＝2AM.∴CM＝2BM.
解：在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠ABC．
又∵OE⊥AB，OF⊥CB，
∴OE=OF．
21.解：在等边中，，，
．
在和中，
，
≌，
．
22.证明：如图，连接BE、DE，
∵∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点，
∴BE=DE=AC，
∵F是BD的中点，
∴EF⊥BD．
23.证明：AD平分∠BAC，DE⊥AB,DF⊥AC，
∴DE=DF，∠DEA=90°=∠DFA，
∴∠DEF=∠DFE
∴∠DEA-∠DEF=∠DFA-∠DFE
即∠AEF=∠AFE
∴AE=AF
∵DE=DF,AE=AF
∴点D、点A在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF；
(2)解：．
证明：，平分，
，
，，
，
，
，
，
，
即．
24.解：，，
，，
，
，
，
，，
，
，
的周长；
证明：连接，如图所示：
，，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，，，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
25．解：(1)证明△DOC≌△EOC即可得出CD＝CE
(2)成立．如图，过点C作C
H⊥AO于点H，CG⊥OB于点G，
∵OM平分∠AOB，
∴CG＝CH.
∵∠AOG＝90°，
∴∠HCG＝90°，∴∠HCD＋∠DCG＝90°.
∵∠DCG＋∠GCE＝90°，∴∠HCD＝∠GCE.
又∵∠CHD＝∠CGE＝90°，
∴△CHD≌△CGE(ASA)，
∴CD＝CE
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北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明》测试卷（B）
满分：120分 考试时间：90分钟
选择题。（每小题3分，共30分）
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC,AB、于点M、N；②分别以点M和点N为圆心、大于MN一半的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是( )
A. 15 B. 30 C. 45 D. 60
2.如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，记两把尺的接触点为点P其中一把直尺边缘恰好和射线OA重合，而另一把直尺的下边缘与射线OB重合，上边缘与射线OA交于点M，联结OP若∠BOP=28°，则∠AMP的大小为
62° B. 56° C. 52° D. 46°
第1题图 第2题图 第3题图
3.如图所示，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC于点D，交BC于点E，△ABC的周长为20，BE=4，则△ABD的周长为( )
A. 6 B. 8 C. 12 D. 20
4.三角形中到三边距离相等的点是( )
A. 三条边的中垂线交点 B. 三条高交点
C. 三条中线交点 D. 三条角平分线的交点
5.下列命题中，假命题是
A. 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等
B. 斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等
C. 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
D. 一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等
6．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若AB=10厘米，AC=9厘米，BC=8厘米，则△EBC的周长等于（ ）
A．17厘米 B．18厘米 C．19厘米 D．13.5厘米
7．如图,已知点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是( )
A．48 B．60 C．76 D．80
第6题 第7题 第8题 第9题
8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CE分别是斜边上的高和中线，∠B＝30°，CE＝4，则CD的长为( )
A．2 B．4 C．2 D.
9.如图，△ABC中BD,CD，平分∠ABC,∠ACB，过点D作直线平行于BC，分别交AB，AC于点E，F，当∠A的位置及大小变化时，线段EF和BE+CF的大小关系是( )
A. 不能确定 B. C. D.
10.下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中等边三角形是
A. B. C. D.
填空题（每小题4分共28分）
11．在等腰三角形ABC中，，则________.
12．等腰三角形的一内角等于50°，则其它两个内角各为_________________．
13. 用反证法证明“如果同位角不相等，那么这两条直线不平行”的第一步应假设__________
__________________________．
14.在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=60°,AB=2，在直线BC上取一点P使得△PAB是等腰三角形，则可以考虑点P在线段延长线上和______上的情况；当点P在线段延长线上时，等腰三角形PAB的腰长为______．
15.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，直线MN与AC、BC分别交于点D、E，连接AE若BE=3，则CE的长为______．
16.如图，等边△ABC的边长为2cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A处，且点A在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为______cm．
第12题 第13题 第14题
17.如图，在△ABC中，BC=8，AC=6按下列步骤作图：
步骤1：以点C为圆心，小于AC的长为半径作弧分别交BC、AC于点D、E；
步骤2：分别以点D、E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M；
步骤3：作射线CM交AB于点F，若AF=4.5，则AB______．
解答题（6×3=18分）
已知：如图，AD=4，CD=3∠ADC=90°，AB=13，BC=12，求图形的面积．
19.已知：如图，．求证：△ABC≌△CDA．
20.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E.
(1)求证：△ACD≌△AED；
(2)若∠B＝30°，CD＝1，求BD的长．
四、解答题（8×3=24分）
21.△ABC是等边三角形，AD是高，△ADE是等边三角形，连接BE、ED．
判断△EBD形状并证明；
若△ABC的周长是，求BE的长．
22.如图，在△ABC中，O为∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥AC,OF⊥BC，垂足分别为D，E，F．
(1）OD与OE是否相等请说明理由
（2）若△ABC的周长是30，且OF=3，求△ABC的面积．
23.如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．
(1)求证：AB＝DC；
(2)试判断△OEF的形状，并说明理由．
五、解答题 （10×2=20分）
24.如图，已知△ABC是等边三角形，D为边AB的中点，AE⊥EB，连结DE，DC，且CD=EB．
(1)求证：△BDC≌△AEB
(2)请判断△ADE是什么三角形，并说明理由．
25．如图25，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠A=40 .
（1）求∠NMB的度数；
（2）如果将（1）中∠A的度数改为70 ，其余条件不变，再求∠NMB的度数；
（3）你发现有什么样的规律性，试证明之；
（4）若将（1）中的∠A改为钝角，你对这个规律性的认识是否需要加以修改？
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C D A B C C D D
二 、填空
题号 11 12 13 14 15 16 17
答案 40° 50°，80°或65°，65° 同位角不相等，两直线平行 BC,2 6 6 10.5
解答题
解：连接，在中，，，，
在中，，
为直角三角形；
图形面积为：
．
19.．解：
△ABC≌△CDA(SAS)
20.解：(1)证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝ED，∠DEA＝∠C＝90°，
∵在Rt△ACD和Rt△AED中，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)．
∵DC＝DE＝1，DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∵∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2.
21.解：是等边三角形，是边上的高，
，，
又为等边三角形，
，，
则，
在和中，
≌，
，
则是等腰三角形；
是等边三角形，且边长为，
，
，
≌，
．
22.(1)相等理由如下：
因为平分，，，所以．
因为平分，，，
所以，所以．
(2)连接由第小题得，
所以
，
即的面积是．
23.证明：（1）∵BE＝CF，
∴BE＋EF＝CF＋EF， 即BF＝CE．
又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AB＝DC．
（2）△OEF为等腰三角形
理由如下：∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC．
∴OE=OF．
∴△OEF为等腰三角形．
24.解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴BC=AB
又∵D为边AB的中点，∴CD⊥AB
又∵AE⊥EB,∴∠BDC=∠AEB=90° 又∵CD=EB
∴△RtBDC≌Rt△AEB(HL）
△ADE是等边三角形。理由如下
∵△RtBDC≌Rt△AEB ∴∠EAB=∠ABC=60° AE=BD
又∵D为AB的中点。
∴AD=BD AD=AE
∴△ADE为等边形。
25.解（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B＝（180°-∠A）=70°，
∴∠NMB=90°-∠B=90°-70°=20°.
（2）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B＝（180°-∠A）=55°,
∴∠NMB=90°-∠B=90°-55°=35°.
（3）规律：∠NMB的度数等于顶角∠A度数的一半，
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=（180°-∠A），
∵∠BNM=90°，
∴∠NMB=90°-∠B=90°-（180°-∠A）=∠A，
即∠NMB的度数等于顶角∠A度数的一半.
（4）将（1）中的∠A改为钝角，这个规律不需要修改，仍有等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边的延长线相交所成的锐角等于顶角的一半．
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