2023-2024学年第一学期期末高一数学参考答案：
1．D
【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系逐个分析判断即可.
【详解】对于A，因为空集是集合，所以，所以A错误，
对于B，因为0属于自然数，即，所以B错误，
对于C，因为，所以C错误，
对于D，因为，所以D正确，
故选：D
2．D
【分析】解绝对值不等式，找到需要研究的命题，用逻辑的知识逐个选项分析求解即可.
【详解】，，
对于A选项，是充要条件，A错误
对于B选项，是充分不必要条件，B错误
对于C选项，是充分不必要条件，C错误
对于D选项，是必要不充分条件，D正确
故选:D
3．D
【分析】利用特值法及作差法判断.
【详解】对于A，取，则，此时，故A错误；
对于B，取，则，此时，故B错误；
对于C，取，则，此时，故C错误；
对于D，∵，且，∴，且，
则，即，故D正确.
故选：D.
4．B
【分析】根据题意得出a、b、c的关系，代入新的一元二次不等式求解即可.
【详解】一元二次不等式的解为，
所以的解为，且，
由韦达定理得，代入得
，
故选：B.
5．D【分析】根据对数的运算性质及所给数据计算可得.
【详解】因为，，
所以，则.
故选：D
6．A
【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性结合对数函数的单调性即可得解.
【详解】由，解得，
故函数的定义域为，
令，其在上单调递增，在上单调递减，
又因为函数为减函数，
所以函数的单调递减区间为.
故选：A.
7．C
【分析】将变形为，结合同角的三角函数关系化简为，即可求得答案.
【详解】由题意知，则
，
故选：C
8．A
【分析】根据诱导公式及二倍角余弦公式求解.
【详解】因为，
所以，
故选：A
二．多选题全选对得5分，部分选对得2分，有错误选项得0分。
9．ABD
【分析】用列举法表示集合及各选项的集合，对比即可得出答案.
【详解】，
选项A，符合；
选项B，，符合；
选项C，不符合；
选项D，，符合，
故选：ABD.
10．AC
【分析】根据集合的包含关系判断即可.
【详解】因为 ， ，
所以由推得出，由推不出，
即是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件；
同理可得是的必要不充分条件；
所以使“”成立的一个必要不充分条件可以是，.
故选：AC
11．BCD
【分析】根据各选项给定函数的解析式直接判断即得.
【详解】函数，在上都为减函数，CD都是；
当时，，则函数在上为减函数，B是；
函数在上为增函数，A不是.
故选：BCD
12．ABC
【分析】根据不等式的性质判断各选项．
【详解】A选项，，∴，不成立，
B选项，，不成立，
C选项， 由，∴，即，不成立，
D选项，∵，∴，成立，
故选：ABC.
13．6
【分析】利用基本不等式求解.
【详解】因为，所以，即，
所以，则有，
解得（舍），或，
当且仅当时取得等号，
所以的最小值为6，
故答案为:6.
14．16
【分析】设幂函数为，则，解得，代入计算得到答案.
【详解】设幂函数为，则，解得，故，
故.
故答案为：.
15．
【分析】先根据韦达定理得到，进而求得，，再结合诱导公式化简求值即可.
【详解】由题意得，，则或，
又，即，解得或（舍去），
则，
所以
.
故答案为：.
16． 15
【分析】根据函数的解析式求得的值，即可求得；判断的单调性，从而将转化为，解不等式即可得答案.
【详解】由题意可得，所以，
当时，在上单调递增，且；
当时，在上单调递增，且，
故在R上单调递增，
故由可得，即，
解得，即的解集是，
故答案为：15，
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据集合的交集运算求得答案；
（2）由，列出相应的不等式组，解得答案.
【详解】（1）当时，， ...........................2分；
. ...........................4分；
（2），则，解得,
所以实数的取值范围为 .........................10分。
18．(1)
(2)函数在上单调递增
【分析】（1）由奇函数的定义可知对于定义域内任意有恒成立，由此即可求出答案；
（2）设，由函数单调性的定义易知在单调递减，利用复合函数的单调性判断“同增异减”，则说明函数在上单调递增.
【详解】（1）∵函数为奇函数，
∴恒成立， ..........................2分；
即，
∴，
则，则恒成立，解得．......................4分；
当时，，舍去；
当时，，满足题意．
故． ......................6分；
（2）由（1）知，
设，
任取，，且， ............................8分；
．
∵，∴，
又∵,，，
∴
∴函数在上单调递减．
又函数在上单调递减，
∴函数在上单调递增． .........................12分。
19．（1）；（2）．
【分析】（1）根据三角恒等变换化简的表达式可得，，再根据周期公式可得，即得到的表达式；
（2）根据整体代换法，由即可解出减区间．
【详解】（1）
..............4分；
又函数的最小正周期为，所以，故，所以．
..............6分；
（2）由题意，得， ................8分；
解得：，，
所以的单调递减区间是． ..............12 分。
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据运输成本由燃油费和的其他费用构成，即可列关系式，
（2）根据基本不等式即可求解最值.
【详解】（1）由题意得：，
即： ....................6分；
（2）由于，所以函数，
当且仅当，即时取等号(最小值)． .................12分。
21．(1)
(2)
【分析】（1）应用同角三角函数关系求值再根据角的范围判断符号即可；
（2）先根据同角三角函数关系求值再应用诱导公式求值.
【详解】（1）因为，所以， ..................2分；
所以，即. ..................4分；
因为，则，所以，，
因为，所以. ................6分；
（2）由解得，，
所以； .................8分；
所以.
.................12分。
22．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可知和1是方程的两个实数根，由韦达定理求的值；
（2）讨论是否为0，分别求得的范围，求并集即为的取值范围.
【详解】（1）若关于的不等式的解集为，
则和1是的两个实数根，且，
由韦达定理可得，解得. ................................6分；
（2）若关于的不等式解集为，
当时，不等式化为，恒成立，满足题意； ..............................8分；
当时，则有，解得，
所以，即实数的取值范围为. ..........................12分。
答案第1页，共2页２０２３－２０２４学年上学期高一期末考试
数 学
说明:１．本试卷共４页,满分１５０分.
２．请将所有答案填写在答题卡上,答在试卷上无效.
一、选择题:本题共８个小题,每小题５分,共４０分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.
１．下列说法正确的是 ( )
A． ∈{０} B．０ N
１
C．３ Q D．
{－１} Z
２．使|x|≤１成立的一个必要不充分条件是 ( )
A．－１≤x≤１ B．０＜x≤１
C．－１＜x＜１ D．x≤１
３．已知a＞b,且ab≠０,则 ( )
A．a２＞ab B．a２＞b２
１ １ １ １
C．a＜b D．ab２＞a２b
４．一元二次不等式ax２＋bx＋c＞０的解为{x －２＜x＜３},那么ax２－bx＋c＞０的解集
为 ( )
A．{x x＞３或x＜－２} B．{x －３＜x＜２}
C．{x x＞２或x＜－３} D．{x －２＜x＜３}
５．我国古代数学家李善兰在 对数探源 中利用尖锥术理论来制作对数表,他通过 “对
数积”求得 ５ln２≈０ ６９３,ln ≈０ ２２３,由此可知ln５的近似值为 ( )４
A．１ ５１９ B．１ ７２６ C．１ ３１６ D．１ ６０９
６．函数y＝log０ ３ (－x２＋６x＋５５) 的单调递减区间是 ( )
A．(－５,３] B．[３,１１) C．(－ ,３] D．(１１,＋ )
７．已知tanθ＝２,则sin２θ＋sinθcosθ＝ ( )
２ ２ ６ ６
A．－５ B．５ C．５ D．－５
已知 ( ３８． α∈ ０,π),若sin π α－ ÷ ,则６ ＝３ sin
πα ２ ＋ ÷６ ＝
( )
è è
１ ２ １ １
A．３ B．３ C．－３ D．±３
高一数学试题 第１页 (共４页 )
{#{QQABKQQEggiAABIAAQhCUwXICAEQkBCAAIoGBFAIIAIAiRNABAA=}#}
二、选择题:本题共４个小题,每小题５分,共２０分.在每小题给出的四个选项中,有
多项符合题目要求,全部选对的得５分,部分选对的得２分,有选错的得０分.
９．集合A＝{ ６x∈N ∈N},集合A 还可以表示为 (３－x )
A．{０,１,２} B．{x x (x２－３x＋２) ＝０}
C．{３,６} D．{x∈N －１≤x＜３}
１０．使 “０＜x＜１”成立的一个必要不充分条件可以是 ( )
A．x≥０ B．x≤０或x≥１
C．０＜x＜２ D．x＜０
１１．下列函数中,在区间 (－ ,０) 上为减函数的是 ( )
A．y＝x＋３ B．y＝ x
１
C．y＝x D．y＝－x
１２．若a＜b＜０,下列不等式中不成立的是 ( )
a １ １
A．b ＜１ B．a＜b
C．b２＞a２ D．|a|＞－b
三、填空题:本题共４个小题,每小题５分,共２０分.
１３．若a,b＞０,且ab＝a＋b＋３,则a＋b的最小值为 ．
１４．已知幂函数f (x) 的图象经过点A (２,４) ,B (４,m ) ,则m＝ ．
１５．若sinθ、cosθ是关于x 的方程x２－ax＋a＝０的两个根,
则cos ３πθ ＋sin
３π
－ ÷ ２ ＋θ
÷ ＝ ．
è è２
{３x,x≥３１６．已知函数f (x) ＝ ,则f (f (１) ) ＝ ;－x２＋６x,x＜３
不等式f (x２－２x) ＜f (３x－４) 的解集是 ．
高一数学试题 第２页 (共４页 )
{#{QQABKQQEggiAABIAAQhCUwXICAEQkBCAAIoGBFAIIAIAiRNABAA=}#}
四、解答题:本题共６个小题,共７０分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
１７．(本小题满分１０分)
已知集合A＝{x １≤x≤４},B＝{x|３－a≤x≤３＋a,a＞０}．
(１)当a＝４时,求A∩B;
(２)若A B,求实数a 的范围．
１８．(本小题满分１２分)
已知函数 ２－kxf(x)＝log１ 为奇函数３ x－２ ．
(１)求常数k的值;
(２)判断函数f(x)在 (２,＋ )上的单调性．
１９．(本小题满分１２分)
已知函数f(
３
x)＝cosωx(３cosωx＋sinωx)－ (ω＞０),且f(x)的最小正周期为２
π．
(１)求函数f(x)的表达式;
(２)求f(x)的单调递减区间．
高一数学试题 第３页 (共４页 )
{#{QQABKQQEggiAABIAAQhCUwXICAEQkBCAAIoGBFAIIAIAiRNABAA=}#}
２０．(本小题满分１２分)
某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地,已知轮船的最大航行速度为６０海里/小
时,甲地至乙地之间的海上航行距离为６００海里,每小时的运输成本由燃料费和其他
费用组成,轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比,比例系数为０ ５,其余费
用为每小时１２５０元．
(１)把全程运输成本y(元)表示为速度x (海里/小时)的函数;
(２)为使全程运输成本最小,轮船应以多大速度行驶
２１．(本小题满分１２分)
已知 １０sinθ＋cosθ＝ ,５ θ∈
(０,π) ．
(１)求sinθ－cosθ的值;
(２)求cos(２θ＋２０２３π) ＋tan(θ＋２０２３π) 的值．
２２．(本小题满分１２分)
已知关于x 的不等式kx２＋kx－１＜０
(１)若不等式的解集为{x|－２＜x＜１},求实数k的值;
(２)若不等式的解集为R,求实数k的取值范围．
高一数学试题 第４页 (共４页 )
{#{QQABKQQEggiAABIAAQhCUwXICAEQkBCAAIoGBFAIIAIAiRNABAA=}#}
