湖南省娄底市娄星区2014-2015学年高二下学期学业水平数学模拟试卷【解析版】

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湖南省娄底市娄星区2014-2015学年高二下学期学业水平数学模拟试卷
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【来源：21·世纪·教育·网】
1．（4分）若集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x＞2}，则A∩B等于（）
A． {x|2＜x≤3} B． {x|x≥1} C． {x|2≤x＜3} D． {x|x＞2}
2．（4分）与﹣角终边相同的角是（）
A． B． C． D．
3．（4分）直线l与直线x﹣y+1=0垂直，则直线l的斜率为（）
A． B． ﹣ C． D． ﹣
4．（4分）如图所示，算法流程图的输出结果为（）
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A． B． C． D．
5．（4分）已知平面向量=（1，2），=（﹣3，x），若∥，则x等于（）
A． 2 B． ﹣3 C． 6 D． ﹣6
6．（4分）已知实数a，b，满足ab＞0，且a＞b，则（）
A． ac2＞bc2 B． a2＞b2 C． a2＜b2 D． ＜
7．（4分）求值：sin45°cos15°+cos45°sin 15°=（）
A． ﹣ B． ﹣ C． D．
8．（4分）已知等差数列{an}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则a5+a7=（）
A． 16 B． 18 C． 22 D． 28
9．（4分）如图，正方形中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点．那么=（）
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A． B． C． D．
10．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A ( http: / / www.21cnjy.com )1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（）2-1-c-n-j-y
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A． B． C． D．
二、填空题：（本题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答卷卡的相应位置上）
11．（4分）某校2014-2015学年高二年级8个班参加合唱比赛的得分如面茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数为和．21教育网
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12．（4分）sin（﹣）的值是．
13．（4分）已知向量=（3，4），向量=（2，k），若⊥，则实数k的值是．
14．（4分）已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a2=b2+c2+bc，则角A的值是．21教育名师原创作品
15．（4分）设m＞1，在约束条件 下，目标函数z=x+5y的最大值为4，则m的值为．
三、解答题：（本大题共5小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（6分）已知sinα=，0＜α＜，求cosα和sin（α+）的值．
17．（8分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，对角线AC与BD相交于点E，平面PAC垂直于底面ABCD，线段PD的中点为F．
（1）求证：EF∥平面PBC；
（2）求证：BD⊥PC．
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18．（8分）等差数列{an}中，a7=4，a19=2a9，
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．
19．（8分）已知抛物线y2=﹣x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点．
（1）求证：OA⊥OB；
（2）当△OAB的面积等于时，求k的值．
20．（10分）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f（x）=1+a （）x+（）x，
（1）当a=1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
湖南省娄底市娄星区2014-2015学年高二下学期学业水平数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）若集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x＞2}，则A∩B等于（）
A． {x|2＜x≤3} B． {x|x≥1} C． {x|2≤x＜3} D． {x|x＞2}
考点： 交集及其运算．
分析： 结合数轴直接求解．
解答： 解：如图，
故选A．
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点评： 本题考查集合的交运算，属容易题，注意结合数轴，注意等号．
2．（4分）与﹣角终边相同的角是（）
A． B． C． D．
考点： 终边相同的角．
专题： 三角函数的求值．
分析： 直接写出终边相同角的集合得答案．
解答： 解：∵与﹣角终边相同的角的集合为A={α|α=}，
取k=1，得．
∴与﹣角终边相同的角是．
故选：C．
点评： 本题考查了终边相同角的概念，是基础的计算题．
3．（4分）直线l与直线x﹣y+1=0垂直，则直线l的斜率为（）
A． B． ﹣ C． D． ﹣
考点： 直线的斜率．
专题： 直线与圆．
分析： 求出已知直线的斜率，结合直线垂直与斜率的关系列式求得直线l的斜率．
解答： 解：∵直线x﹣y+1=0的斜率为，且直线l与直线x﹣y+1=0垂直，
设直线l的斜率为k，
则，即k=﹣．
故选：D．
点评： 本题考查了直线的斜率，考查了两直线垂直与斜率间的关系，是基础题．
4．（4分）如图所示，算法流程图的输出结果为（）
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A． B． C． D．
考点： 程序框图．
专题： 图表型；算法和程序框图．
分析： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环s，n的值，当n=8时，不满足条件m＜8，退出循环，输出s的值为．21·cn·jy·com
解答： 解：模拟执行程序框图，可得
s=0，n=2
满足条件m＜8，s=，n=4
满足条件m＜8，s=+，n=6
满足条件m＜8，s=++=，n=8
不满足条件m＜8，退出循环，输出s的值为．
故选：C．
点评： 本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环s，n的值是解题的关键，属于基本知识的考查．www.21-cn-jy.com
5．（4分）已知平面向量=（1，2），=（﹣3，x），若∥，则x等于（）
A． 2 B． ﹣3 C． 6 D． ﹣6
考点： 平面向量共线（平行）的坐标表示．
专题： 平面向量及应用．
分析： 由向量平行的充要条件可得：2×（﹣3）﹣x=0，解之即可．
解答： 解：∵平面向量=（1，2），=（﹣3，x），若∥，
∴2×（﹣3）﹣x=0，解得x=﹣6．
故选：D．
点评： 本题考查向量平行的充要条件，属基础题．
6．（4分）已知实数a，b，满足ab＞0，且a＞b，则（）
A． ac2＞bc2 B． a2＞b2 C． a2＜b2 D． ＜
考点： 不等式的基本性质．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： 利用不等式的基本性质即可判断出．
解答： 解：∵ab＞0，且a＞b，
∴，即．
故选：D．
点评： 本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．
7．（4分）求值：sin45°cos15°+cos45°sin 15°=（）
A． ﹣ B． ﹣ C． D．
考点： 两角和与差的正弦函数．
专题： 三角函数的求值．
分析： 坐几路两角和与差的三角函数化简求解即可．
解答： 解：sin45°cos15°+cos45°sin 15°=sin60°=．
故选：D．
点评： 本题考查两角和与差的三角函数，特殊角的三角函数值的求法，考查计算能力．
8．（4分）已知等差数列{an}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则a5+a7=（）
A． 16 B． 18 C． 22 D． 28
考点： 等差数列的性质．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 由条件利用差数列的定义和性质求得a3=2，a4=5，公差d=3，从而求得a5+a7=2a6=2（a4+2d）的值．21cnjy.com
解答： 解：∵等差数列{an}满足a2+a4=2a3=4，a3+a5=2a4=10，
∴a3=2，a4=5，公差d=3，
则 a5+a7=2a6=2（a4+2d）=22，
故选：C．
点评： 本题主要考查等差数列的定义和性质，属于基础题．
9．（4分）如图，正方形中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点．那么=（）
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A． B． C． D．
考点： 向量数乘的运算及其几何意义．
专题： 计算题．
分析： 利用向量的数乘运算和向量加减法的几何意义，结合正方体进行求解．
解答： 解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴==，
∵=，
∵，
∴=．
故选D．
点评： 本题考查向量的数乘运算和向量加减法的几何意义，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
10．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1 ( http: / / www.21cnjy.com )B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（）21世纪教育网版权所有
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A． B． C． D．
考点： 异面直线及其所成的角．
专题： 计算题．
分析： 由正方体的结构特征，我们取BC的中 ( http: / / www.21cnjy.com )点F，连接EF，OF，BC1，可证得∠OEF即为异面直线OE与AD1所成角，解△OEF即可得到答案．2·1·c·n·j·y
解答： 解：取BC的中点F，连接EF，OF，BC1，如图所示：
∵E为CC1的中点，EF∥BC1∥AD1，
故∠OEF即为异面直线OE与AD1所成角
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，
则在△OEF中，EF=，OE=
故cos∠OEF==
故选D
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点评： 本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据正方体的几何特征，构造出异面直线OE与AD1所成角∠OEF是解答本题的关键．www-2-1-cnjy-com
二、填空题：（本题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答卷卡的相应位置上）
11．（4分）某校2014-2015学年高二年级8个班参加合唱比赛的得分如面茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数为91.5和91.5．【出处：21教育名师】
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考点： 众数、中位数、平均数；茎叶图．
专题： 概率与统计．
分析： 根据茎叶图写出这组 ( http: / / www.21cnjy.com )数据，把数据按照从大到小排列，最中间的一个或最中间两个数字的平均数就是中位数，平均数只要代入平均数的公式得到结果．
解答： 解：由茎叶图可知：这组数据为87，89，90，91，92，93，94，96，
所以其中位数为=91.5，
平均数为（87+89+90+91+92+93+94+96）=91.5，
故答案为：91，5； 91.5
点评： 本题考查茎叶图的基础知识，考查 ( http: / / www.21cnjy.com )同学们的识图能力，考查中位数与平均数的求法．在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求21*cnjy*com
12．（4分）sin（﹣）的值是．
考点： 运用诱导公式化简求值．
专题： 三角函数的求值．
分析： 直接利用诱导公式化简求值即可．
解答： 解：sin（﹣）=﹣sin=﹣sin=；
故答案为：．
点评： 本题考查诱导公式的应用，考查计算能力．
13．（4分）已知向量=（3，4），向量=（2，k），若⊥，则实数k的值是．
考点： 数量积判断两个平面向量的垂直关系．
专题： 平面向量及应用．
分析： 由向量垂直可得=3×2+4k=0，解关于k的方程可得．
解答： 解：∵=（3，4），=（2，k），且⊥，
∴=3×2+4k=0，解得k=，
故答案为：．
点评： 本题考查数量积与向量垂直的关系，属基础题．
14．（4分）已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a2=b2+c2+bc，则角A的值是．21·世纪*教育网
考点： 余弦定理．
专题： 解三角形．
分析： 利用余弦定理即可得出．
解答： 解：∵a2=b2+c2+bc，
∴cosA===﹣．
∵A∈（0，π）．
∴A=．
故答案为：．
点评： 本题考查了余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．（4分）设m＞1，在约束条件 下，目标函数z=x+5y的最大值为4，则m的值为3．
考点： 简单线性规划的应用．
专题： 计算题；压轴题；数形结合．
分析： 根据m＞1，我们可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（，）上，由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状，再根据目标函数z=x+5y在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此构造出关于m的方程，解方程即可求出m 的取值范围．【版权所有：21教育】
解答： 解：满足约束条件 的平面区域如下图所示：
目标函数z=x+5y可看做斜率为﹣的动直线，其纵截距越大z越大，
由可得A点（，）
当x=，y=时，
目标函数z=x+5y取最大值为4，即；
解得m=3．
故答案为：3．
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点评： 本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中判断出目标函数z=x+my在点取得最大值，并由此构造出关于m的方程是解答本题的关键．
三、解答题：（本大题共5小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（6分）已知sinα=，0＜α＜，求cosα和sin（α+）的值．
考点： 两角和与差的正弦函数．
专题： 三角函数的求值．
分析： 由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosα，再利用两角和的正弦公式求得sin（α+）的值．
解答： 解：∵，
∴，
∴．
点评： 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式的应用，属于中档题．
17．（8分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，对角线AC与BD相交于点E，平面PAC垂直于底面ABCD，线段PD的中点为F．
（1）求证：EF∥平面PBC；
（2）求证：BD⊥PC．
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考点： 直线与平面平行的判定．
专题： 空间位置关系与距离．
分析： （1）根据E，F为PD，D ( http: / / www.21cnjy.com )B的中点判断出EF为△PBD的中位线可知EF∥PB，进而根据EF 平面PBC，推断出EF平行于PB所在的平面PBC．
（2）先判断出BD⊥平面PAC，进而根据线面垂直的性质判断出BD⊥PC．
解答： （1）证明：∵菱形对角线AC与BD相交于点E，
∴AC与BD互相平分，即AE=CE，BE=DE
又∵线段PD的中点为F，
∴EF为△PBD的中位线，
∴EF∥PB
又EF 平面PBC，PB 平面PBC，
∴EF∥平面PBC
（2）证明：∵平面PAC⊥底面ABCD，平面PAC∩底面ABCD=AC，
菱形ABCD中，AC⊥BD，BD 平面ABCD，
∴BD⊥平面PAC，
∴BD⊥PC．
点评： 本题主要考查了线面平行的判定，线面垂直的性质等知识．对线面平行的性质和判定定理即线面垂直性质和判定定理熟记于心，并能灵活运用．
18．（8分）等差数列{an}中，a7=4，a19=2a9，
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．
考点： 数列的求和；等差数列的通项公式．
专题： 计算题；等差数列与等比数列．
分析： （I）由a7=4，a19=2a9，结合等差数列的通项公式可求a1，d，进而可求an
（II）由==，利用裂项求和即可求解
解答： 解：（I）设等差数列{an}的公差为d
∵a7=4，a19=2a9，
∴
解得，a1=1，d=
∴=
（II）∵==
∴sn=
==
点评： 本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用，试题比较容易
19．（8分）已知抛物线y2=﹣x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点．
（1）求证：OA⊥OB；
（2）当△OAB的面积等于时，求k的值．
考点： 直线与圆锥曲线的关系；抛物线的应用．
专题： 计算题．
分析： （1）证明OA⊥OB可有两种思路：①证kOA kOB=﹣1；②取AB中点M，证|OM|=|AB|．
（2）求k的值，关键是利用面积建立关于k的方程，求△AOB的面积也有两种思路：①利用S△OAB=|AB| h（h为O到AB的距离）；②设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线和x轴交点为N，利用S△OAB=|ON| |y1﹣y2|．
解答： 解：（1）由方程y2=﹣x，y=k（x+1）
消去x后，整理得
ky2+y﹣k=0．
设A（x1，y1）、B（x2，y2），由韦达定理y1 y2=﹣1．
∵A、B在抛物线y2=﹣x上，
∴y12=﹣x1，y22=﹣x2，y12 y22=x1x2．
∵kOA kOB= ===﹣1，
∴OA⊥OB．
（2）设直线与x轴交于N，又显然k≠0，
∴令y=0，则x=﹣1，即N（﹣1，0）．
∵S△OAB=S△OAN+S△OBN
=|ON||y1|+|ON||y2|
=|ON| |y1﹣y2|，
∴S△OAB= 1
=．
∵S△OAB=，
∴=．解得k=±．
点评： 本题考查的知识点是直线与圆 ( http: / / www.21cnjy.com )锥曲线的关系，抛物线的应用，其中联立方程、设而不求、韦达定理三者综合应用是解答此类问题最常用的方法，但在解方程组时，是消去x还是消去y，这要根据解题的思路去确定．当然，这里消去x是最简捷的．
20．（10分）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f（x）=1+a （）x+（）x，【来源：21cnj*y.co*m】
（1）当a=1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
考点： 二次函数在闭区间上的最值；函数的值域．
专题： 新定义；函数的性质及应用．
分析： （1）当a=1时，，则．再根据g（t）的值域为（3， +∞），故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，从而得出结论． 　　21*cnjy*com
（2）由题意知，|f（x）|≤3在[1，+∞）上恒成立，即﹣4 2x﹣≤a≤2 2x﹣在[0，+∞）上恒成立．再利用单调性求出﹣4 2x﹣ 的最大值和2 2x﹣的最小值，从而得到a的范围．
解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=1++，，
则f（x）=g（t）=t2+t+1=+．
∵g（t）在（1，+∞）上单调递增，∴g（t）＞g（1），
即f（x）在（﹣∞，0）上的值域为（3，+∞），
故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，
所以函数f（x）在（﹣∞，1）上不是有界函数．
（2）由题意知，|f（x）|≤3在[1，+∞）上恒成立．
∴﹣3≤f（x）≤3，﹣4﹣≤a ≤2﹣，
∴﹣4 2x﹣≤a≤2 2x﹣在[0，+∞）上恒成立，
∴﹣4 2x﹣ 的最大值小于或等于a，且a小于或等于2 2x﹣的最小值．
设 2x=t，h（t）=﹣4t﹣，p（t）=2t﹣，由x∈[0，+∞） 得 t≥1．
设1≤t1＜t2，∵h（t1）﹣h（t2）=＞0，
p（t1）﹣p（t2）=＜0，
所以，h（t）在[1，+∞）上递减，p（t）在[1，+∞）上递增，
h（t）在[1，+∞）上的最大值为h（1）=﹣5，p（t）在[1，+∞）上的最小值为p（1）=1，
∴﹣5≤a≤1，
所以，实数a的取值范围为[﹣5，1]．
点评： 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，利用函数的单调性求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题
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