参照秘密级管理★启用前
2023—2024 学年度第一学期高一质量检测
数学参考答案
一．单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1．D；2．C；3．A；4．D；5．C；6．C；7．C；8．D．
二．多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项
中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0
分．
9．BD；10．AD；11．BD；12．BC．
三．填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
12
13．0；14．a 1；15． ；16．0 m 2．
13
四．解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步
骤．
17．解：(1)由题意知，因角 的终边与 x 轴的正半轴重合，终边过点P (2,3)，
3 13
易得 sin = ， …………2 分
13
2 13
cos = ． …………4 分
13
(2)
11π 9π
cos( )sin( + ) 2sin(π + )cos( )
2 2
π
cos( + )sin( π )
2
3π π
cos( )sin( + )+ 2sin cos
= 2 2
sin sin
sin cos + 2sin cos
=
sin sin
高一数学试题 第1页（共6页）
{#{QQABAQSAggAIAAIAAQgCUwFICgEQkBCAAIoGREAAIAIASBFABAA=}#}
cos
= …………9 分
sin
…………10 分
2 13
2
= 13 =
3 13 3
13
2
18．（12 分）解：（1）设函数 f ( x) = a ( x h) + k ，
1 5
由对称轴为 x = ，函数 f (x) 在R上最大值为 ，可得：
2 4
1 5
f (x) = a(x+ )2 + ， …………2 分
2 4
将 (0,1) 代入 f (x) 可得a = 1， …………3 分
1 5
故 f (x) = (x+ )2 + = x2 x+1． …………………4 分
2 4
1
（2） f (x) 的对称轴为 x = ，
2
1
当m 时， f (x) 在区间[m 2 , m] 上单调递增，
2
则 f (x) = f (m) = m2 m+1， …………………6 分
max
1 3 1
当 m 时， f (x) 在区间[m 2, )上单调递增，
2 2 2
1 1 5
在区间 ( ,m]上单调递减，故 f (x) = f ( ) = ， ………8 分
2 max 2 4
3
当m 时， f (x) 在区间 m 2,m 上单调递减，
2
5 3
故 f (x)max = f (m 2) = (m 2)
2 (m 2) + = m2 + 3m ； …………10 分
4 4
高一数学试题 第2页（共6页）
{#{QQABAQSAggAIAAIAAQgCUwFICgEQkBCAAIoGREAAIAIASBFABAA=}#}
1
m
2 m +1,m
2
5 1 3
综上， y = , m ； ……………12 分
4 2 2
2 3 3
m + 3m ,m
4 2
19．（12 分）解：(1)易知集合 A = x | x2 8x +12 = 0 = 2,6 ， ……1 分
由 A = B 得：
a +1= 2
当 时，无解 …………3 分
a2 23 = 6
a +1= 6
当 ，解得：a = 5． …………5 分 2
a 23 = 2
(2)（ⅰ）当a = 0时C = 6 满足C A； …………6 分
（ⅱ）当a 0时，
1 1
①当Δ =1 24a 0即a 时，C = 满足C A， a ……8 分
24 24
1 1
②当Δ =1 24a = 0即a = 时，C ={x∣ x2 x+6 = 0}= 12 ，
24 24
不满足C A． …………10 分
1
③当Δ =1 24a 0即a 时，
24
1
= 8 a
若满足C A，只能C = A， 无解．
6 =12
a
1
综上所述：a 或a = 0． …………12 分
24
mx+n
20．（12 分）解：(1)依题意，把 (5,180)， (25, 45)分别代入T (x) = e ，
高一数学试题 第3页（共6页）
{#{QQABAQSAggAIAAIAAQgCUwFICgEQkBCAAIoGREAAIAIASBFABAA=}#}
e5m+n =180
得 ， …………………1 分
e
25m+n = 45
20m 45 1 2
于是e = = ，则e5m = （m 0）， …………………3 分
180 4 2
180 180
当 x = 0 T (0) = en时， = = =180 2 180 1.41= 253.8， ……5 分
e5m 2
2
此款鲜牛奶在 0℃的保鲜时间为 254 小时． …………………6 分
mx+n 1
(2)依题意，T (x) = e 90，由（1）知e10m = ， …………………7 分
2
e15m+n = e5m+n
1
显然 e
10m =180 = 90， …………………9 分
2
于是emx+n e15m+n ，则emx e15m，
因此mx 15m，而m 0，则有 x 15， …………………11 分
所以想要保证此款鲜牛奶的保鲜时间不少于90h，存储温度要不高于 15℃。
…………………12 分
π π
21．（12 分）解：(1)因为函数 f (x) cos(2x )( ) ，
2 2
π π
满足 y f (x ) cos(2x ) 是奇函数，
12 6
π π π π
所以 cos( ) 0，即 kπ， kπ，
6 6 2 3
π π π
又 ，所以 …2 分
2 2 3
y = 3 sin(2x + ) 2cos2(2x + ) π π
函数 = 3 sin(2x ) 2cos
2(2x )
3 3
= 2sin2
π π π 1 2 7(2x ) sin(2x )+1 = 2[sin(2x ) ] + …………4 分
3 3 3 4 8
高一数学试题 第4页（共6页）
{#{QQABAQSAggAIAAIAAQgCUwFICgEQkBCAAIoGREAAIAIASBFABAA=}#}
π 3π π π 7π π 1
因 x , ，所以 2x , ，所以sin(2x ) ,1
4 4 3
6 6 3 2
π 1 7
所以当sin(2x ) = 时， ymin = ．
3 4 8
π 1
当 sin(2x ) = 或 1 时， ymax = 2 ．
3 2
7
即函数的值域为 , 2 …6 分
8
π a 7π
(2)因函数 f (x) 在区间 ， 和 3a， 上均单调递增
3 2 6
π π a π π 7π π
所以 2 2 0且 π 2 3a 2 ， …10 分
3 3 2 3 3 6 3
2π π
解得 a ，
9 3
2π π
则实数 a的取值范围为 ， ． …12 分
9 3
22．（12 分）解证：（1）任取 x1, x2 (0,+ )，且 x1 x2，
x 1 1 2
x1+x2 1
则 f (x1) f (x
1 x2 x x ( )
2 ) = 2 + +1 2 + +1 = (2 1 2x ， ………2 分 2 1 x 2 2 2 ) 2x1+x2
因为 x x ，则2x1 x21 2 2 ，因为 x1, x2 (0,+ )，则2
x1+x2 1 0，
所以 f (x1) f (x2 ) 0 ，即 f (x1) f (x2 )， ………………………4 分
所以函数 f (x) 在 (0,+ )上是增函数； ………………………5 分
1
（2）由（1）知 f (x) = 2
x + +1在 (0,+ )上是增函数，
2x
x 1
又a 1，由复合函数的单调性知 g(x) = loga 2 + +1 在 (0,+ )上是增函
2
x
数， ………………………6 分
高一数学试题 第5页（共6页）
{#{QQABAQSAggAIAAIAAQgCUwFICgEQkBCAAIoGREAAIAIASBFABAA=}#}
假设存在常数m ， n (0,+ )， (m n)，使函数 g(x) 在[m,n]上的值域为
1+m loga 2,1+ n loga 2 ，
m 1 1
loga 2 + +1 =1+m log 2 2
m + +1= a 2m
m a
2 2m
所以 ，即 ， ………7 分
1 1log na 2 + +1 =1+ n log 2 n a 2
n + +1= a 2n
2 2n
m,n 2x
1
+ +1= a 2x则 是方程 的两个不同的正根，
2x
即m,n
2
是方程 (a 1)(2x ) 2x 1= 0的两个不同的正根， ……………8 分
2
设 t = 2x 1，则 (a 1) t t 1= 0有两个大于 1的不等根， ………9 分
设 h (t ) = (a 1) t 2 t 1，
因为h (0) = 1 0，a 1，
2
所以方程 (a 1) t t 1= 0有一个大于 0，一个小于 0的根，
(a 1) t2所以 t 1= 0不存在两个大于 1的不等根， ………………………11 分
则不存在常数m ， n (0,+ )，满足条件． ………………………12 分
高一数学试题 第6页（共6页）
{#{QQABAQSAggAIAAIAAQgCUwFICgEQkBCAAIoGREAAIAIASBFABAA=}#}参照秘密级管理★启用前
2023—2024 学年度第一学期高一质量检测
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写
在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一．单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1．若全集U = 1,2,3,4 ，集合 A= 1,2 ,B = 2,3 ，则 U (A B) =
A． 1,3,4 B． 3,4 C． 3 D． 4
2．函数 f (x) = log1 (2x 1)的定义域为
2
1 1 1 1
A． ( , ) B． ( , ] C． ( ,+ ) D．[ ,+ )
2 2 2 2
2 2
3．若函数 f (x) = (m m 1) x
m 2m 3
是幂函数，且在 (0,+ )上递减，则实数m =
A．2 B．―1 C．4 D．2 或―1
4．若扇形的半径为 22cm，面积为8cm ，则扇形圆心角的弧度数为
A．1 B．2 C．3 D．4
5．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设 I 为地震时所散发出来的相对能量程
度，则里氏震级 r可定义为 r = 0.6lgI ．若6.5级地震释放的相对能量为 I1，7.4 级地
I
震释放的相对能量为 I2，记n =
2 ，则 n约等于
I1
A．16 B．20 C．32 D．90
a b c
6．如果a,b,c 都是正数，且3 = 4 = 6 ，那么下列关系正确的是
1 1 1 1 1 2
A．a+ 2b = c B．ac+bc = 2ab C． + = D． + =
a 2b c a b c
1
7．若sin + cos = (0 π)，则sin cos 的值为
3
1 17 17 17 17
A． B． C． D． 或
3 3 3 3 3
1 a 3a 1
8．若sin = ，cos = ，且 为第二象限角，则下列结论正确的是
1+ a 1+ a
1 1 1
A．a ,1 B．a =1 C．a =1或a = D．a =
9 9 9
高一数学试题 第1页（共4页）
{#{QQABAQSAggAIAAIAAQgCUwFICgEQkBCAAIoGREAAIAIASBFABAA=}#}
二．多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项
中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0
分．
9．下列结论成立的是
a a b
A．若 a b ，则 1 B．若 ，则 a b
b c2 c2
1 1 1 1
C．若a b，则 D．若a3 b3 ，则
a b
a c b c
10．如图，已知矩形U 表示全集， A, B是U 的两个子集，则阴影部分可表示为
A． ( U A) B B． U (A B) C． A (A B) D． ( )AA B
11．下列说法正确的有
A．“ x R，使得 x2 x 1= 0”的否定是“ x R，都有 x2 x 1= 0”
B．若函数 y = log2(mx
2 +4x+1)的值域为R ，则实数m 的取值范围是[0,4]
C．若 , R，则“ ”的充要条件是“sin sin ”
16
D．若a 1，则a + 的最小值为9
a 1
π π
12．设函数 f (x) 的定义域为R ， f (x )为奇函数， f (x + )为偶函数．当
2 2
π π
x [ , ] 时， f (x) = cos x，则下列结论正确的是
2 2
5π
A． f ( ) = 1 B． f (x) 在 (3π, 4π)上为增函数
2
3π
C．点 ( ,0)是函数 f (x) 的一个对称中心 D．方程 f (x) lg x = 0仅有 5 个实数解
2
高一数学试题 第2页（共4页）
{#{QQABAQSAggAIAAIAAQgCUwFICgEQkBCAAIoGREAAIAIASBFABAA=}#}
三．填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13． log3 81 log9 8 log2 3 2
log2 3 + lg 2 + lg 5 = ________________．
14．若“ x R,sin x a ”为真命题，则实数 a 的取值范围为________．
π 12 13π
15．若 sin + = ，则 cos = ____________．
3 13 6
3x 1 , x 2,
16．设m 是不为0 的实数，已知函数 f (x) = 若函数
2
x 10x + 24, x 2,
2
F(x) = 2 f (x) mf (x)有7 个零点，则m 的取值范围是________．
四．解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步
骤．
17．已知角 的始边与 x 轴的正半轴重合，终边过定点P (2,3)．
(1)求 sin 、cos 的值；
11π 9π
cos( )sin( + ) 2sin(π + )cos( )
(2)求 2 2 的值．
π
cos( + )sin( π )
2
18．（12 分）已知函数 f (x) 为一元二次函数， f (x) 的图象过点 (0,1)，对称轴为
1 5
x = ，函数 f (x) 在 R上的最大值为 ．
2 4
(1)求 f (x) 的解析式；
(2)当 x m 2,m ，m R时，求函数 f (x) 的最大值（用含参数 m的分段函数表
示）．
高一数学试题 第3页（共4页）
{#{QQABAQSAggAIAAIAAQgCUwFICgEQkBCAAIoGREAAIAIASBFABAA=}#}
19．（12 分）已知集合 A = x | x2 8x +12 = 0 ， B = a +1,a2 23 ，
C = x | ax2 x + 6 = 0 ．
(1)若集合 A = B ，求实数 a的值；
(2)若集合C A，求实数 a的取值范围．
20．（12 分）我们知道存储温度 x （单位：℃）会影响着鲜牛奶的保鲜时间T （单
mx+n
位： h ），温度越高，保鲜时间越短．已知 x 与T 之间的函数关系式为T (x) = e
（ e 为自然对数的底数），某款鲜牛奶在 5℃的保鲜时间为180h，在 25℃的保鲜时间
为 45h ．（参考数据： 2 1.41）
(1)求此款鲜牛奶在 0℃的保鲜时间约为几小时（结果保留到整数）；
(2)若想要保证此款鲜牛奶的保鲜时间不少于90h，那么对存储温度有怎样的要求？
π π
21．（12 分）已知函数 f (x) cos(2x )( ) ，满足函数
2 2
π
y f (x )是奇函数．
12
2 π 3π
(1)求函数 y = 3 sin(2x + ) 2cos (2x + ) ， x , 的值域；
4 4
π a 7
(2)函数 f (x) 在区间 ， 和 3a， 上均单调递增，求实数 a 的取值范围．
3 2 6
1
22．（12 分）设函数 f (x) = 2
x + +1．
2x
(1)证明函数 f (x) 在 (0,+ )上是增函数；
1
(2)若 g(x) = log
x
a 2 + +1 (a 1)，是否存在常数m,n (0,+ ) (m n) ，使x
2
函数 g(x) 在[m,n]上的值域为 1+m loga 2,1+ n loga 2 ．若存在，求出a 的取值范
围；若不存在，请说明理由．
高一数学试题 第4页（共4页）
{#{QQABAQSAggAIAAIAAQgCUwFICgEQkBCAAIoGREAAIAIASBFABAA=}#}
