丰城中学 2023-2024 学年上学期高一期末考试试卷
数 学
范围：必修一及必修二前四节
一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合 A 0,1,2 ，则集合 B xy x A, y A 中元素的个数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2.某林场有树苗 2000棵，其中松树苗 400棵.为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法
抽取一个容量 50的样本，则样本中松树苗的数量是（ ）
A．40 B．30 C．20 D．10
x 3
3. 函数 f x x 1 的零点所在区间是（ ）
2
A. 0,1 B. 1,2 C. 2,3 D. 3,4
f x1 f x 4. 2已知函数 f x 为定义在 R上的奇函数，当 x1,x2 0, 时，都有 0成立，x1 x2
且 f 3 0，则满足 xf (x) 0的 x的取值范围是（ ）
A． 3,0 0,3 B． 3,3 C． ( , 3] [3, ) D． 3,3
5. 已知 a 0，b 0，若 2a b ab，则a 2b的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．3 2 2 D．9
b
6. a b c 2a 1 已知实数 、 、 满足： log 2 c，则下列关系不可能成立的是（ ）
3
A．b a c B． a b c C． a c b D．b
2 1
7. f x ax bx已知函数 在其定义域内为偶函数，且 f 1 ，则
x2 1 2
f 1 1 1 f
f
f 1 f 2 f 2023 （ ）
2023 2022 2
4045 4043
A． B． C．2021 D．0
2 2
x2 x,x 0,1
8.定义域为R 的函数 f x 满足 f x 2 2 f x ， f x 1 x 2 ，若 x 2,0
, x 1,2
2
t 1
时， f ( x) 恒成立，则实数 t的取值范围是（ ）
2 t
高一期末数学试卷 第 1 页 共 4 页
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A． 2,1 B． 2,0 1, C． , 2 0,1 D． 2,0 0,1
二、多选题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
9.下列命题是真命题的是（ ）
A. 若a b a，则 1 B. 若非零实数 a，b，c满足a b c，a b c 0，则 ac bc
b
C. 若 log2 a log2 b，则 a2 b2
D. 若1 a b 2， 2 a b 4，则5 4a 2b 10
10.下列说法正确的有（ ）
A． 为第三象限角的充要条件为 sin tan 0
B．若 为第二象限角，则 为第一或第三象限角
2
C．1 sin( 2π)sin(π ) 2cos2
π 2 2
cos
D． sin 1071 sin 99 sin 171 sin 261 0
11.下列各对事件中，M，N 是相互独立事件的有( )
A.掷 1枚质地均匀的骰子一次，事件 M＝“出现的点数为奇数”，事件 N＝“出现的点数
为偶数”
B.袋中有 5个红球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件 M＝“第 1
次摸到红球”，事件 N＝“第 2次摸到红球”
C.分别抛掷 2枚相同的硬币，事件 M＝“第 1枚为正面”，事件 N＝“两枚结果相同”
D.一枚硬币掷两次，事件 M＝“第一次为正面”，事件 N＝“第二次为反面”
12.已知函数 f x ln x2 2x e2 1 ，则（ ）
A. f x 的最小值为 2 B. x R ， f e f x 4
4 9
C. f lg 2 f 8 D. f 43 1 f 2 4 1
5
三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
4π
13. 若圆心角为 的扇形的面积为6π，则该扇形的半径为 ．
3
14.某年级 120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于 13 s与 18 s之间．将测试
结果分成 5组：[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17)，[17，18]，得到如图所
示的频率分布直方图．如果从左到右的 5个小矩形的面积之比为 1∶3∶7∶6∶3，
那么成绩的 70%分位数约为________s．
2x 115. 已知函数 f x 2024x3 ，且正数 x, y满足 f x f y 1 2，若
2x 1
1 16
a2 24a恒成立，则实数 a的取值范围是__________
x y
高一期末数学试卷 第 2 页 共 4 页
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16. x x已知函数 y log2 4 a 2 a 的值域为R ，则实数 a 的取值范围是___________．
四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（10 分）已知集合 A x x 2或 x 6 ， B x m 1 x 2m .
(1)若m 3，求 A B， ；
(2)若“ x A ”是“ x B ”的必要不充分条件，求m的取值范围.
18.（12 分）某工厂生产的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 P（单位：
mg / L t h kt）与时间 （单位： ）间的关系为 P P0e ，其中 P0 ,k为正常数，已知在前5h消除
了10%的污染物．
(1)10h后还剩百分之几的污染物？
(2)要使污染物减少三分之一以上至少需要多少时间？（结果精确到1h）
（参考数据 ln 2 0.69, ln3 1.1, ln5 1.61）
2
19．（12 分）已知函数 f (x) x 4 ．
x
(1)判断 f (x)的奇偶性，并说明理由；
(2)判断 f (x)在 2, 上的单调性，并用定义证明；
(3)求 f (x)在 4, 2 上的值域．
高一期末数学试卷 第 3 页 共 4 页
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20.（12分）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm
和 195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组 155,160 ，第二组 160,165 ，L，
第八组 190,195 ，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方
图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为
4人．
(1)求第七组的频率，并估计该校的 800名男生的身高的中位数；
(2)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名
男生，记他们的身高分别为 x，y，事件 E x y 5 ，求 P E ．
21.（12 分）某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲
2 1
家庭回答正确这道题的概率是 ，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是 ，乙、丙两个家
3 15
3
庭都回答正确的概率是 ，各家庭是否回答正确互不影响。
5
（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于 2个家庭回答正确这道题的概率.
x
22．（12 分）已知函数 f x a 1 m a x a 0,a 1 3 是奇函数，且过点 1, 2 ．
(1)求实数 m 和 a 的值；
(2)设 g x log 2x 2xt 2 2 tf x t 0, t 1 ，是否存在正实数 t，使关于 x 的不等式
g x 0对 x 1, log2 3 恒成立，若存在，求出 t 的取值范围；若不存在，请说明理由．
高一期末数学试卷 第 4 页 共 4 页
{#{QQABCQyAggigAgBAAQgCUwWICgKQkBCACIoGBFAMMAAASRFABAA=}#}丰城中学 2023-2024 学年上学期高一期末考试数学答案
1—8 CDCD DDAC 9. BCD 10. BCD 11. CD 12. AC
13. 3 14. 16.5 15. 25,1 16. ( ,0] [4, )
17解.（1）m 3时， B x 4 x 6 ，故 A B x x 2或 x 4 ，
RA x 2 x 6 ， RB x x 4或 x 6 ，----------4分
故 ；-------5分
（2）由题意得 B是A的真子集，
若 B ，则m 1 2m，解得m 1，------7分
m 1 2m m 1 2m
若 B ，则
2m 2
或
m 1
，---------9分
6
解得m 5，故m的取值范围是 m m 1或m 5 --10分
18．解（1）由 P P kt0e 可知，当 t 0时， P P0，
t 5 5k当 时， P (1 10%)P0 ，则有P0e 1 10% P0，
1
解得 k ln 0.9，
5
1
ln0.9
t t
所以 P P e 5 P 0.95 ，0 0
故当 t 10时， P P00.9
2 0.81P0，
即 10h后还剩 81%的污染物.
t
（2）要使污染物减少三分之一以上，则有 P
2
≤ P ， P 5 20 00.9 ≤ P0 ，3 3
t
因为 P0 0
2
，所以 0.95 ≤ ，
3
t log 2 ln 2 ln 3 0.69 1.1≥ 0.9 4.1，5 3 2 ln 3 ln 2 ln 5 2.2 0.69 1.61
所以 t≥20.5，
故要使污染物减少三分之一以上至少需要 21小时.
19.（1）函数 f x 是奇函数． f x 的定义域为 ,0 U 0, ，关于原点对称，
x 2 4 x2因为 f x 4 f x ，所以 f x 在 ,0 U 0, 上是奇函数．
x x
高一期末数学答案 第 1 页 共 4 页
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（2） f x 在 2, 上为增函数；证明：任取 x1 x2 2，
2
f x f x x1 4 x
2 4 x22 1 4 x2 x22 4 x则 1 2 1x 1 x2 x1x2
x2x 4x x21 2 2 2 x1 4x1 x1x2 x1 x2 4 x2 x1 x x x x 4 1 2 1 2 ，
x1x2 x1x2 x1x2
因为 x1 x2 2，所以 x1x2 0， x1 x2 0， x1x2 4 0，
则 f x1 f x2 0，即 f x1 f x2 ．故 f x 在 2, 上为增函数．
（3）结合（1）（2）知 f (x)在 ( , 2]上为增函数，即 f x 在 4, 2 上为增函数，
f x 16 4当 x 4时， 取得最小值，且最小值为 f 4 5
4
f x f 2 4 4当 x 2时， 取得最大值，且最大值为 4
2
故 f x 在 4, 2 的值域为 5, 4 ．
4
20.解：(1)第六组的频率为 0.08，
50
∴第七组的频率为1 0.08 5 0.008 2 0.016 0.04 2 0.06 0.06．
由直方图得，身高在第一组 155,160 的频率为0.008 5 0.04，
身高在第二组 160,165 的频率为0.016 5 0.08，
身高在第三组 165,170 的频率为0.04 5 0.2，
身高在第四组 170,175 的频率为0.04 5 0.2，
由于0.04 0.08 0.2 0.32 0.5，0.04 0.08 0.2 0.2 0.52 0.5，
设这所学校的 800名男生的身高中位数为 m，则170 m 175，
由0.04 0.08 0.2 m 170 0.04 0.5得m 174.5，
(2)第六组 180,185 的抽取人数为 4，设所抽取的人为 a，b，c，d，
第八组 190,195 的抽取人数为 0.008 5 50 2，设所抽取的人为 A，B，
则从中随机抽取两名男生有 ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，
dB，AB 共 15种情况，
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因事件 E x y 5 发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件 E 包含的基本
7
事件为 ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB 共 7种情况．所以 P E ．
15
21．(1)记“甲家庭回答正确这道题”为事件 A，“乙家庭回答正确这道题”为事件 B，
“丙家庭回答正确这道题”为事件 C，
则 P(A) 2 ， P(A)P(C) 1 ， P(B)P(C) 3 ，
3 15 5
即[1 P(A)][1 P(C)] 1 3 ， P(B)P(C) ，
15 5
3 4
所以 P(B) ， P(C) ，
4 5
3 4
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为 ， ；
4 5
(2)有 3个家庭回答正确的概率为 P3 P(ABC) P(A)P(B)P(C)
2 3 4 2
，
3 4 5 5
有 2个家庭回答正确的概率为：
P P(ABC ABC ABC ) 1 3 4 2 1 4 2 3 1 132 ，3 4 5 3 4 5 3 4 5 30
P P P 13 2 5所以不少于 2个家庭回答正确这道题的概率 2 3 .30 5 6
22．（1）因为 f x 是定义域为 R的奇函数，
∴ f 0 0，∴m 2，检验符合.
∴ f x ax a x．
又因为 f x 3 过点 1, ，
2
∴ f 1 a 1 3 a ，
2
∴ a 2
（2 x x 2x 2x）由（1）得 f x 2 2 ， g x log t 2 2 t 2 x 2 x t 0,t 1
因为 x 1, log 3 3 8 2 ，令 k 2x 2 x，∴ k , ， 2 3
记 h k k 2 tk 2，∵函数 g x 0在 1, log2 3 上恒成立，
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3 8
∴（ⅰ）若0 t 1 2 时，函数h k k tk 2在 k , 上为增函数， 2 3
所以 g x logt h k 为减函数，
则需函数h k k 2 tk 2 1恒成立，即 k 2 tk 1 0恒成立．
k t 1 3 8由于对称轴 ，函数 h k 在区间
2 2
, 上为增函数，
2 3
h 3 0 h 3 9 3 13∴ 2
恒成立，∴ t 1 0恒成立，则 t 恒成立，
2 4 2 6
故0 t 1合题意
（ⅱ）若 t 1时，则需0 h k k 2 tk 3 8 2 1在 k , 恒成立，则： 2 3
t 3
2 2 t 3
3
① h
0
t
17
t
2 6
8 t 73 h 1
3 24
3 t 8
16
2 2 3
3 t 3
Δ t
2 8 0 2 2 t 2 2
② h 3 1 13
t
2 t 6
h
8
1 t
73
3 24
t 8
t 16 2 3 3
h 3 1 13③ t t
2 6
8 t 41 h 0
3 12
综上所述：故存在正数 t 0,1 ，使函数 g x 0在 1, log2 3 上恒成立
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