6.2.1向量基本定理 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
6.2.1 向量基本定理
（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？
问题1　阅读教材相应内容，思考下列问题：
整体概览
（1）本节主要研究共线向量基本定理和平面向量基本定理．
（2）共线向量基本定理和共面向量基本定理．这实际上是将一维的情况和二维的情况进行了展示，呈现渗透了以低维研究高维的思想．三维的情况（即空间向量基本定理）将在选择性必修的内容中出现向量基本定理是引入向量坐标的基础，因此这一内容非常重要，这一小节的关键在于怎样理解“基本”这两个字．
新知探究
问题2　前面我们已经看到，当存在实数λ，使得　　 时，　　，那么，这个结论反过来是否成立呢？
结论是成立的．
新知探究
例1
如图所示，判断向量　　　　 是否可以写成数与向量 相乘．
如果可以，写出表达式；
如果不可以，说明理由．
a
b
c
d
e
解：对于因为 与 的方向相同，而且| |＝2 | | ，所以 ＝2 ；
因为 与 的方向相同，而且| | ＝ | |，所以 ＝　 ，
因为 与 的方向相反，而且| | ＝ | |，所以 ＝　　 ．
因为 与 不平行，所以 不能写成数与向量 相乘．
新知探究
共线向量基本定理：
如果　　 且　　 ，则存在唯一的实数λ，使得　　 ．
（1）　　 时，通常称为 能用 表示．
（2）其中的“唯一”指的是，如果还有　　　，则有λ＝μ．
假设　　　 可知　　　　　，如果λ－μ≠0，则　　 ，与已知矛盾，所以λ－μ＝0即λ＝μ．
新知探究
由共线向量基本定理以及前面介绍过的结论可知，如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得　　　　 ．
新知探究
对于共线向量基本定理的理解，要注意以下三点：
（1）定理的前提：给定一个非零向量 ；
（2）定理的结论：所有与非零向量 平行的向量 均可以表示成 　　 的形式，且表示方法唯一；
（3）定理的本质：构建了向量 与实数λ之间的一一对应关系．
新知探究
问题3　如果　　 且　　 ，求实数λ，使得　　 ？
解：（1）当　　 时才存在实数λ，使得　　 ，而且这样的λ可以是任意实数．
（2）当　　 时不存在这样的实数．
新知探究
问题4　共线向量基本定理的实质是，所有共线的向量中，只要指定一个非零向量，则其他向量都可以用这个向量表示出来、那么，这个结论是否可以推广到所有共面的向量呢？
给定了向量 ， 向量 　 可以表示成 　　，
可以表示成　　，但它们都不能单独用 ， 表示出来，
也就是说，要表示平面内任意一个向量，只选定一个向量是不能实现的．
b
a
A
B
C
D
新知探究
问题5　已知　　　　　　 的始点相同，你能分别将 　　　　写成向量　　的线性运算吗？
a
b
c
d
e
f
新知探究
平面向量基本定理：
对于平面内两个向量 ， 不共线，和非零向量 ，
将向量 ， 的始点平移到一起，假设　　　，　　　，
将向量 的始点也平移到O点，以OA，
OB所在的直线为相邻的边，以OC为
对角线作平行四边形ODCE．
a
b
c
a
b
c
O
A
B
C
D
E
新知探究
因为 ， 不共线，所以　　 且　　．又因为　　　，因此由共线向量基本定理可得，存在唯一的x，使得　　　 ；同理，存在唯一的y，使得　　　 ．又由向量加法的平行四边形法则可知　　　　　　 ，从而
　　　　 ．
新知探究
例2
用　　 表示　　　　　 ．
e1
e2
a
b
c
d
f
解：由图不难看出
，
，
，
．
新知探究
平面向量基本定理中，当 与 不共线时，“唯一的实数对”指的是 用 与 表示时，表达式唯一，即如果　　　　　　　　 ，那么x＝u且y＝v．
新知探究
问题5　对于上述表达，为什么x＝u且y＝v？
这是因为由　　　　　　　　 可知　　　　　　　 ，
如果x－u≠0，则　 　　　 ．
从而可知 与 共线，与已知矛盾，因此x－u＝0即x＝u同理可得y＝v ．
新知探究
特别地，当 与 不共线时，因为　　　　 ，所以对于　　　 来说，当x≠0或y≠0时，必定有　　　 ≠0．也就是说，当 与 不共线时，
　　　 ≠0的充要条件是x与y中至少有一个不为0．
新知探究
例3
已知 与 不共线，而且　　 与
　　　 共线，求x的值．
因此由已知可得存在实数t，
解：因为 与 不共线，所以　　　≠0，
使得　　　　　　　 ，即
从而
解得　　　．
新知探究
例4
如图所示，已知平面上点O是直线l外一点，A，B是直线上给定的两点，
求证：平面内任意一点P在直线l上的充要条件是，存在实数t，
使得 　　　　　　　　 ．
O
l
A
B
P
证明：先证必要性．
设点P在直线l上，则由共线向量基本定理知，
实数t，使
因此
所以
再证充分性
则
因此P、A、B三点共线，即P在直线l上．
从而
如果　　　　　　　　 ，
即
新知探究
例5
在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若　　　，　　　试用基底{ ， }分别表示下列向量：
（1） 　； （2） ．
从而 　　　　 ，于是
O
A
B
C
D
E
F
a
b
解：（1）由已知有　　　　 ，从而
（2）因为△DEF∽△BEA，而且
巩固练习
练习1
如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a用基底e1，e2表示为（　　）
解析：a＝－2e1＋e2．
A．e1＋e2
B．－2e1＋e2
C．2e1－e2
D．2e1＋e2
e2
e1
a
B
巩固练习
练习2
若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，那么下面对a，b的判断正确的是（　　）
解析：由平面向量基本定理，可知当a，b不共线时，k1＝k2＝0，故选B．
B
A．a与b一定共线
B．a与b一定不共线
C．a与b一定垂直
D．a与b中至少有一个为0
归纳小结
（2）共面向量基本定理的内容是什么？
问题5　（1）共线向量基本定理的内容是什么？
（1）如果　　 且　　 ，则存在唯一的实数λ，使得　　 ．
（2）如果平面内两个向量 ， 不共线，则对该平面内任意一个向量 ，存在唯一的实数对（x，y），使得　　　　 ．
作业布置
作业：教科书练习A：1，2，3题．练习B：1，2，3题
目标检测
解析：因为6e1－8e2＝2（3e1－4e2），所以（6e1－8e2）∥（3e1－4e2），
测试1
设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（　　）
A．e1＋e2和e1－e2
B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2
D．e1和e1＋e2
所以3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底．
B
目标检测
解析：由条件得2e1＋3e2＝λ（e1＋e2）＋μ（e1－e2），
测试2
向量a在基底{e1，e2}下可以表示为a＝2e1＋3e2，若a在基底{e1＋e2，e1－e2}下可表
示为a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，则λ＝____，μ＝____．
所以　　　　　　解得
目标检测
解：
测试3
如图所示，在△OAB中，　 ＝a，　 ＝b，点M是AB上靠近B的一个三等分点，点N是OA上靠近A的一个四等分点．
若OM与BN相交于点P，求　 ．
O
B
A
M
P
N
a　 b．
因为　 与　 共线，
故可设　 ＝t　 ＝ a　 b．
又　 与　 共线，可设　 ＝s　 ，
a sb，
目标检测
测试3
如图所示，在△OAB中，　 ＝a，　 ＝b，点M是AB上靠近B的一个三等分点，点N是OA上靠近A的一个四等分点．
若OM与BN相交于点P，求　 ．
O
B
A
M
P
N
所以
解得
所以　 ＝　 a b．