6.1.3向量的减法、6.1.4向量的数乘 课件（共21张PPT）

(共21张PPT)
6.1.3向量的减法、6.1.4向量的数乘
（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？
问题1　阅读教材相应内容，思考下列问题：
整体概览
（1）本节主要研究向量的减法和数乘运算．
（2）通过第一节向量的概念及第二节向量加法的学习，认识了解向量，本节延续上一节的学习要求，开始向量的减法运算，数乘运算．
新知探究
问题2　已知向量　 是向量　 与向量　的和，如图所示，你能作出表示向量　的有向线段吗？
由向量加法的三角形法则可知，
A
B
D
x
向量　实际上就是向量　 ．
新知探究
差向量：以第一个向量的终点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量是两向量的差向量．
在平面内任取一点O，作　 　　　　　 ，
a
b
作出向量　 ，注意到　　　　　　，
因此向量　 就是向量　　 的差（也称　 为向量　　的差向量），即　　　　　　．
当　　不共线时，求　　的差可用上图表示，此时向量　　正好能构成一个三角形．
O
A
a
B
b
a-b
上述求两向量差的作图方法也常称为向量减法的三角形法则．
新知探究
相反向量：给定一个向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量．
向量 的相反向量记作－ ．
因此，　 的相反向量是－　 ，而且－　 ＝　 ．
因为零向量的始点与终点相同，所以－ ＝　．
注意：（1）任何一个向量与它的相反向量的和都等于零向量．即
（2）一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的相反向量．
新知探究
例1
已知平行四边形ABCD中，　　　，　　　，
用　，　分别表示向量　 ，　 ．
解：由向量加法的平行四边形可知，
由减法的定义可知
新知探究
例2
已知| |＝1，| |＝2，
求　　 的取值范围．
解：当 ， 不共线时，
正好是一个三角形的三条边，
从而
因此1＜　　 ＜3；
综上有1≤　　 ≤3．
当 ， 共线时，
如果 与 方向相同，有
如果 ， 方向相反，有
新知探究
问题3　　　　 结果是向量吗？如果是，那么结果向量的模是多少？方向如何？与向量 的模及方向有什么关系？可否类比实数乘法的定义方法（5＋5＋5可以表示为3×5），把 　　　进行简写？
我们已经知道，多个向量相加，结果是一个向量．
特别地，给定一个向量 ，3个 相加　　　 的结果，是一个模为3| |、方向与 相同的向量，通常这个向量简单记作3 ．
新知探究
问题4　你能根据上述实例，给出实数λ与任意一个向量 的乘积λ 的定义吗？
一般地，给定一个实数λ与任意一个向量 ，规定它们的乘积是一个向量，记作 ，其中
（1）当λ≠0且 ≠0时， 的模为λ| |，而且λ 的方向如下：
①当λ＞0时，与 的方向相同
②当λ＜0时，与 的方向相反
（2）当λ＝0或 ＝0时，λ ＝0
实数λ与向量 相乘的运算简称为数乘向量．
新知探究
数乘向量的几何意义是，把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小．
数乘向量的结果是一个向量，而且这个向量与原来的向量共线（平行），即λ ∥ ；
特别地，一个向量的相反向量可以看成－1与这个向量的乘积，即－ ＝（－1） ．
①（λ＋μ）a＝λa＋μa；
②λ（μa）＝（λμ）a；
③λ（a＋b）＝λa＋λb．
数乘向量的定义说明，如果存在实数λ，使得 ＝λ ，则 ∥ ．
新知探究
例3
已知　　 ，　　　，其中 为非零向量，判断 、 是否平行，
并求| |∶| |的值．
解：
由　　　 ，得　　　 ，代入　　 ，得　　　 ，
因此 ∥ ，且| |∶| |＝3∶2
新知探究
例4
已知　　　 ，　　　　，判断A，B，C是否共线，如果共线，
求出AB∶AC．
解：
由已知得　　　　　，因此A，B，C三点共线，
且AC＝5AB，即AB∶AC＝1∶5
巩固练习
练习1
下列各式中不表示向量的是（　　）
A．0·a　　　　　　　B．a＋3b
C．|3a|　　　　　　　 D．　　 e（x，y∈R，且x≠y）
C
解析：向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a|不是向量．
巩固练习
练习2
4（a－b）－3（a＋b）－b等于（　　）
A．a－2b　　　　　　　　B．a
C．a－6b　　　　　　　　D．a－8b
D
解析：4（a－b）－3（a＋b）－b＝4a－4b－3a－3b－b
＝a－8b．
归纳小结
问题5　（1）向量减法的三角形法则是什么？
O
A
B
a
b
a
b
a-b
在平面内任取一点O，作　 　　　　　，作出向量　 ，注意到　 　 ，因此向量　 就是向量　　 的差（也称　 为向量　　 的差向量），
即 　　　 ，当　　 不共线时，
求　　 的差可用右图表示，此时向量
　　 正好能构成一个三角形．
归纳小结
问题5　（2）什么是数乘向量？
一般地，给定一个实数λ与任意一个向量 ，规定它们的乘积是一个向量，记作 ，其中
（1）当λ≠0且 ≠0时， 的模为λ| |，而且λ 的方向如下：
①当λ＞0时，与 的方向相同
②当λ＜0时，与 的方向相反
（2）当λ＝0或 ＝0时，λ ＝0
实数λ与向量 相乘的运算简称为数乘向量．
作业布置
作业：教科书练习A：1，2，3题．
目标检测
测试1
若两个非零向量a与(2x－1)a方向相同，则x的取值范围为________．
x＞
解析：由定义可知，2x－1＞0，即x＞　．
目标检测
测试2
O为平行四边形ABCD的中心，　 ＝4e1，　 ＝6e2，则3e2－2e1＝____________．
（或　 ）
解析：设点E为平行四边形ABCD的边BC的中点，点F为AB边中点，
则3e2－2e1＝　 ＋　 ＝　 ＝　 ．
目标检测
测试3
若平面内不共线的四点O，A，B，C满足　 ＝　　 ＋　　 ，则　　＝________．
2
解析：
①÷②得　　 ＝2．
因为　 ＝　　 ＋　　 ，
所以　 －　 ＝　　 ＋　　 －　 ，
即　 ＝　　，
所以|　 |＝　|　 |，　　①
同理可得|　 |＝　|　 |，　　　　　　　②