2023-2024 学年度上学期期末
新洲区部分学校高中二年级质量检测
数学试卷（答案）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．B 2．D 3．A 4．D 5．A 6．B 7．C 8．B
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．AD 10．BCD 11．BD 12．ABD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
3
13． 14．0或2 15．7 16．
2 14
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤．
17．(本小题满分 10分)
【详解】
（1）设与直线 x y 1 0平行的直线为 x y m 0，------------------------------2 分
将P(8, 2)代入得m 6，---------------------------------------------------------------------4 分
故所求直线方程为 x y 6 0 -----------------------------------------------------------------5 分
（2）设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F＝0，（D2+E2+4F＞0），-----------------------------6 分
D E F 2
由题意可得 ，即 2D F 4 -------------------------------------7 分
3D E F 10
解得 D＝﹣4，E＝﹣2，F＝4，------------------------------------------------------------------9 分
则圆 E的方程为 x2+y2﹣4x﹣2y+4＝0，即 (x 2)2 (y 1)2 1．----------------------10 分
18．（本小题满分 12分）
【详解】
S 2 1 2S1 n
1
（ ）∵ n 1 S S ，--------------------------------------------------------------------1 分n n
高二数学试卷 第 1 页（共 5页）
{#{QQABCQQAogiIABIAAAhCQwU6CgKQkAGACIoGQFAIIAAACQNABAA=}#}
1 1 1 1 S n 1 1
∴ S n 1 1 S n 1 2S n 1 1 S n 1 S n 1 S n 1 --------------------------------------4 分
S n
1 1
又 2S 1 a 1 ，---------------------------------------------------------------------------------------5 分1 1
1
∴数列 S 1 是首项为 2，公差为1的等差数列----------------------------------------------6 分 n
1 n 2
（2）由（1）得 2 (n 1) 1 n 1S 1 ，即 Sn ，------------------------------8 分n n 1
n 1 3当 时， a1 S1 ；----------------------------------------------------------------------------9分2
a S S n 2 n 1 1当 n 2,n N 时， n n n 1 n 1 n n(n 1) --------------------------------10分
a 3又 1 不适合上式，-------------------------------------------------------------------------------11分2
3
, (n 1) 2
故数列 an 的通项公式为 an 1 ------------------------------------12分 , (n 2,n N )
n(n 1)
19．（本小题满分 12分）
【详解】
1 c 3（ ）由题可知 ，其中 c2 a2 b2
1
，所以b a ----------------------------------2分
a 2 2
A 1, 3
1 3 1 3
又点 2
在椭圆 E上，所以 2 2 1，即 2 2 1，解得a
2 4,b2 1---------4分
a 4b a a
x2
所以椭圆 E的方程为 y2 1．----------------------------------------------------------------5分
4
x2 2
2 3
7
（ ）由椭圆 E的方程 y2 1，得 B(2,0) ,所以 | AB | (1 2)2 02 ，4 2
设C x0 , y0 ,其中 x0 [ 2,2), y0 [ 1,1]，因为 | BC | 2 7 | AB | 1 ,所以7
x0 2
2 y20 1 --------------------------------------------------------------------------------------7 分
2 2
又点C x0 , y x x0 在椭圆 E : y 2 1上，所以 0 y20 1，----------------------------------8 分4 4
x0 2
2 y 20 1,
联立 2 3x2x 得 0 16x0 16 0
4
，解得 x0 或 x0 4（舍），
0 y 20 1, 3 4
高二数学试卷 第 2 页（共 5页）
{#{QQABCQQAogiIABIAAAhCQwU6CgKQkAGACIoGQFAIIAAACQNABAA=}#}
x 4 y 5
4 5 4 5
当 0 时， 0 ，即C , 或C , ．----------------------------------10 分3 3 3 3 3 3
4 , 5
所以当 C的坐标为 3 3 时，直线 l的方程为 5x 2y 2 5 0；----------------11分
4 5
当 C的坐标为 , 3 3 时，直线 l的方程为 5x 2y 2 5 0．-------------------12分
2
3 7
方法 2： | AB | (1 2)2 0 ， | BC |
2 7
| AB | 1，
2 2 7
BC x my 2 x
2
设 的方程为 代入 y2 1，得 (m2 4)y2 4my 0
4
4m
∴ y1 0， y2 2 ，∴ BC = 1 + m2
4m =1得m2 = 4
m 4 m2+4 5
∴直线 l的方程为 5x 2y 2 5 0或 5x 2y 2 5 0
20．（本小题满分 12分）
【详解】
（1 C : (x 1)2）圆 (y 1)2 2，圆心 1,1 ，半径 = 2，--------------------------------1 分
当直线 的斜率不存在时， 3 1的方程为： = ，此时圆心 1,1 到直线的距离 = ，
2 2
1
则相交弦长为 2 2 2 = 2 2 = 7，符合题意；-----------------------------------------3 分
4
3当直线 的斜率存在时，设 的方程为： = ，即 2 2 3 = 0
2
2 2 3 +2
此时圆心 1,1 到直线的距离 = = ，则相交弦长为
4 2+4 4 2+4
2
2 2 2 = 2 2 +2 = 7，解得： = 3----------------------------------------------5 分
4 2+4 4
3 9
所以此时直线 的方程为： 2 + = 0，即 6 + 8 9 = 0.
2 4
3
综上，直线 的方程为 = 或 6 + 8 9 = 0-----------------------------------------------------6 分
2
（2） 在圆外，显然直线的斜率存在，设直线的方程为： = 3 ，则圆心 1,1 到直
1 3 2 +1
线的距离 = = ，所以弦长 = 2 2 2 = 2 2 2，-------------------8 分
1+ 2 1+ 2
1
所以 △ = = 2 2 4，当 2 = 1 时 最大， (S2 CPQ )max 1，--------------10 分
高二数学试卷 第 3 页（共 5页）
{#{QQABCQQAogiIABIAAAhCQwU6CgKQkAGACIoGQFAIIAAACQNABAA=}#}
= 1 2 +1 4即 ，即 = 1，解得 = 0 或 = ，---------------------------------------------------11分
1+ 2 3
∴ △ 的最大值为 1，此时直线 l的方程为： = 0 或 4 + 3 12 = 0.----------------12分
21．（本小题满分 12分）
【详解】
1
（1）连接 BD，交 AE于点 O，∵AB∥CE，AB＝CE CD，
2
∴四边形 ABCE为平行四边形，∴AE＝BC＝AD＝DE，∴四边形 ABED为菱形，------2 分
∴BD⊥AE，即 OD⊥AE，OB⊥AE，折叠后OP AE,OB AE，又 OP∩OB＝O，
∴AE⊥平面 POB，---------------------------------------------------------------------------------------5 分
又 PB 平面 POB，∴AE⊥PB．----------------------------------------------------------------------6 分
（2）在平面 POB内作 PQ⊥平面 ABCE，垂足为 Q，则 Q在直线 OB上，
∴直线 PB与平面 ABCE夹角为∠PBO ，-----------------------------------------------------7 分
4
又 OP＝OB，∴OP⊥OB，∴O、Q两点重合，即 PO⊥平面 ABCE，-----------------------8 分
以 O为原点，OE为 x轴，OB为 y轴，OP为 z轴，建立空间直角坐标系，
3 1
则 P(0,0, ) E( ,0,0) C(1, 3， ， ,0)，∴2 PE (
1 ,0, 3 ) EC (1 , 3， ,0)，----------9 分
2 2 2 2 2 2
1 3 n x z 0 1 PE
设平面 PCE的一个法向量为 n1 （x，y，z），则
0 2 2
，即 ，
n1 EC 0 1
x
3
y 0
2 2
令 x 3得n1 （ 3，﹣1，1），又 OB⊥平面 PAE，∴n2 （0，1，0）为平面 PAE的一
n1 n2 1 5
个法向量，设二面角 A﹣EP﹣C为α，则|cosα|＝|cos＜n1,n2＞| ，---11分n1 n2 5 5
由图可知二面角 A EP 5﹣ ﹣C为钝角，所以 cosα ．--------------------------------------12分
5
高二数学试卷 第 4 页（共 5页）
{#{QQABCQQAogiIABIAAAhCQwU6CgKQkAGACIoGQFAIIAAACQNABAA=}#}
22．（本小题满分 12分）
【详解】
c
（1）由题意可得 e 2，可得 c＝2a，b2＝c2﹣a2＝3a2，所以 b 3 a，a
又因为 PF1 · PF2 0，|PF1||PF2|＝6．所以PF1 PF2 ,由|PF1|﹣|PF2|＝2a，所以可得
|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|＝4a2，而|PF1|2+|PF2|2＝4c2，所以 4c2﹣12＝4a2，可得 b2＝3，a2＝1，
y2
所以双曲线的方程为：x2 1；---------------------------------------------4 分
3
（2）由(1)可得 F2(2，0)，因为直线 l的斜率不为 0，设 l：x＝ty+2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
x ty 2 1 12t
联立 2，整理可得：(3t2﹣1)y2+12ty+9＝0，因为 t ，y +y ，
3x
2 y2 3 1 2 3 3t 2 1
9
y1y2 2 ， 144t 2 36(3t 2 1) 36(t 2 1) 0 ---------------------------6 分3t 1
因为QA·QB (x1﹣m，y1)·(x2﹣m，y2)＝(ty1+2﹣m)(ty2+2﹣m)+y1y2
2 9 12t＝(t +1)y1y2+(2﹣m)t(y1+y2)+(2﹣m)2＝(t2+1)· 2 (2﹣m)t· (2﹣m)23t 1 3t 2 1
12m 15 t 2 9
2 (2﹣m)
2，------------------------------------------------8 分
3t 1
12m 15 9
要使QA QB为定值，则 ，解得 m＝﹣1，3 1 QA QB 0，
所以在 x 轴上存在定点 Q(﹣1，0)使得QA QB为定值，且定值为 0，---------------9 分
S 1 1
2 9 t 2 1
此时 QAB QF 2 y1 y 2 3 ( y1 y )
2 4 y y 3 144 t 362 1 2 ，2 2 2 (3t 2 1) 2 3t 2 1 3t 2 1
y y 9
2
2
又 1 2 2 0,3t 1 0
9 t 1
，则 S QAB ，令
2
3t 1 t 1 u,
则u 1，所以
1 3t 2
S 9u 9 QAB 4 3u 2
y 44 3u ，又 3u在 1, 上单调递减，所以当u 1，即 t 0，
u u
l方程为 x 2时， QAB面积取到最小值，且 (S QAB )min 9．-------------------12 分
高二数学试卷 第 5 页（共 5页）
{#{QQABCQQAogiIABIAAAhCQwU6CgKQkAGACIoGQFAIIAAACQNABAA=}#}{#{QQABCQQAogiIABIAAAhCQwU6CgKQkAGACIoGQFAIIAAACQNABAA=}#}
{#{QQABCQQAogiIABIAAAhCQwU6CgKQkAGACIoGQFAIIAAACQNABAA=}#}
{#{QQABCQQAogiIABIAAAhCQwU6CgKQkAGACIoGQFAIIAAACQNABAA=}#}
{#{QQABCQQAogiIABIAAAhCQwU6CgKQkAGACIoGQFAIIAAACQNABAA=}#}
{#{QQABCQQAogiIABIAAAhCQwU6CgKQkAGACIoGQFAIIAAACQNABAA=}#}
{#{QQABCQQAogiIABIAAAhCQwU6CgKQkAGACIoGQFAIIAAACQNABAA=}#}
