2022~2023学年9月河北沧州献县高二上学期月考数学试卷（是求学校）（PDF版含解析）

2022~2023学年9月河北沧州献县高二上学期月考数学试卷（是求学校）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、过点 且倾斜角为 的直线方程为
A.
B.
C.
D.
2、直线 关于点 对称的直线方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
3、已知点 ， ，直线 ： 与线段 相交，则实数 的取值范围是
（ ）
A. 或
B. 或
C.
D.
4、设 ，则“ ”是“直线 与直线 ”平行的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.即不充分也不必要条件
5、设直线 ， 为直线 上动点，则 的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
6、已知圆 内一点P(2，1)，则过P点的最短弦所在的直线方程是（ ）
A.
B.
C.
D.
7、已知半径为1的圆经过点 ，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A.4
B.5
C.6
D.7
8、在平面直角坐标系中，点 ， 分别是 轴、 轴上的两个动点，有一定点 ，则
的最小值是（ ）．
A.9
B.10
C.11
D.12
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、已知直线 过点P（2,4），在x轴和y轴上的截距相等，则直线 的方程可能为（ ）
A.
B.
C.
D.
10、已知直线 ： ，则下列说法正确的是（ ）．
A.直线 的斜率可以等于0
B.直线 恒过点
C.若直线 与 轴的夹角为 ，则 或
D.若直线 在两坐标轴上的截距相等，则
11、下列说法中，正确的有（ ）．
A.过点 且在 ， 轴截距相等的直线方程为
B.直线 在 轴上的截距为－2
C.若点 在圆 外，则 或
D.已知点 是直线 上一动点， 、 是圆 ： 的两条切线， 、 是切
点，则四边形 面积的最小值为
12、已知圆 ，点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线
AB与MP交于点C，则下列结论正确的是（ ）
A.四边形PAMB周长的最小值为
B. 的最大值为2
C.直线AB过定点
D.存在点N使 为定值
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、过点 ，且与直线 垂直的直线方程为 .
14、直线 经过点 ， ， ，则直线 倾斜角的取值范围是 .
15、已知函数 有两个不同的零点，则常数 的取值范围是 .
16、已知 为正方体 表面上的一动点，且满足 ，则动点 运动
轨迹的周长为 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知点 ，直线 ，直线 .
(1)求点A关于直线 的对称点B的坐标；
(2)求直线 关于直线 的对称直线方程.
18、（本小题12分）
求下列圆的方程
(1)若圆 的半径为 ，其圆心与点 关于直线 对称，求圆 的标准方程；
(2)过点 的圆 与直线 相切于点 ，求圆 的标准方程．
19、（本小题12分）
已知直线 与直线 ．
（1）若 ，求m的值；
（2）若点 在直线 上，直线 过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线 的方程．
20、（本小题12分）
已知圆C与y轴相切，圆心C在射线 上，且截直线 所得弦长为 ．
（1）求圆C的方程；
（2）已知点 ，直线 与圆C交于A、B两点，是否存在m使得
，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
21、（本小题12分）
已知圆 ，直线 ．
（1）求证：对 ，直线 与圆 总有两个不同交点；
（2）设 与圆 交与不同两点 ，求弦 的中点 的轨迹方程；
（3）若直线过点 ，且 点分弦 为 ，求此时直线 的方程．
22、（本小题12分）
如图，已知圆O∶ ，过点E(1，0)的直线l与圆相交于A，B两点.
（1）当|AB|= 时，求直线l的方程；
（2）已知D在圆O上，C(2，0)，且AB⊥CD，求四边形ACBD面积的最大值.
参考答案
一、单选题
1、
【答案】
D
【分析】
解：因为直线的倾斜角为 ，所以直线的斜率为 ，所以直线方程为
，即 ，故选：D
2、
【答案】
D
【分析】
设对称的直线方程上的一点的坐标为 ， ,则其关于点 对称的点的坐标为 ,代入已知直线即
可求得结果.
【详解】
设对称的直线方程上的一点的坐标为 ， ,则其关于点 对称的点的坐标为 ，以
代换原直线方程中的 得 ，即 .
故选：D.
3、
【答案】
A
【分析】
由 可得： ，
由 可得 ，所以直线 ： 过定点 ，
由 可得 ，
作出图象如下图所示：
， ，
若直线 与线段 相交，则 或 ，解得 或 ，
所以实数 的取值范围是 或 ，
因此正确答案为：A.
4、
【答案】
D
【分析】
时，两直线方程分别为 ， ，它们重合，不平行，因此不是充分条件；
反之，两直线平行时， ，解得 或 ，
由上知 时，两直线不平行，
时，两直线方程分别为 ， ，平行，
因此 ，本题中也不是必要条件．
因此正确答案为：D．
5、
【答案】
A
【分析】
利用 的几何意义，通过数形结合即可得解.
【详解】
表示点 到点 距离的平方，
该距离的最小值为点 到直线 的距离，即 ，
则 的最小值为 .
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题考查点到线的距离公式，利用两点之间距离的几何意义，通过数形结合是解题的关键，属于
基础题.
6、
【答案】
B
【分析】
设圆心 ，由圆的对称性可知过点 与 垂直的直线被圆所截的弦长最短
【详解】
由题意可知，当过圆心且过点 时所得弦为直径，
当与这条直径垂直时所得弦长最短，
圆心为 ， ，
则由两点间斜率公式可得 ，
所以与 垂直的直线斜率为 ，
则由点斜式可得过点 的直线方程为 ，
化简可得 ，
故选：B
7、
【答案】
A
【分析】
设圆心 ，则 ，
化简得 ，
所以圆心 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，
所以 ，所以 ，
当且仅当 在线段 上时取得等号，
因此正确答案为：A.
8、
【答案】
B
【分析】
依题意，作图，分两类讨论：①当 与 重合于坐标原点 时；②当 与 不重合时，从而可求得答案．
【详解】
依题意，作图如下：
设点 关于 轴的对称点为 ，关于 轴的对称点为 ，
则 ， ，
当 与 重合于坐标原点 时，
；
当 与 不重合时，如图， ；
当 与 重合于坐标原点 时， 取得最小值10．
故选：B．
二、多选题
9、
【答案】
B;D
【分析】
当直线过原点时，求出斜率，斜截式写出直线方程，并化为一般式.当直线不过原点时，设直线的方程为 x＋y＋
m＝0，把P（2,4）代入直线的方程，求出m值，可得直线方程.
【详解】
解：当直线过原点时，斜率等于 ，
故直线的方程为 ，即 .
当直线不过原点时，设直线的方程为 ，把P（2,4）代入直线的方程得 ，
故求得的直线方程为 ，
综上，满足条件的直线方程为 或 .
故选：BD.
【点睛】
本题考查求直线方程的方法，待定系数法求直线的方程是一种常用的方法，体现了分类讨论的数学思想.
10、
【答案】
B;C
【分析】
根据题意由直线的相关知识，逐个分析即可．
【详解】
当 时，直线 的斜率不存在，
当 时，直线 的斜率为 ，不可能等于0，故A选项错误；
直线 与 轴的夹角为 ， 直线 的倾斜角为 或 ，又直线 的斜率为 ，
或 或 ，故C选项正确；
直线 的方程可化为 ，
所以直线 过定点 ，故B选项正确；
当 时，直线 在 轴上的截距不存在，
当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
令 ，得 ，故D选项错误，
故选：BC．
11、
【答案】
B;D
【分析】
根据截距的概念可判AB的正误，利用点在圆外可得参数范围，利用切线的性质及面积公式可得最小值.
【详解】
对于A选项，过点 且在 、 轴截距相等的直线方程为 ，或者 ，故A错误；
对B选项，直线 在 轴上的截距为 ，故B正确；
对于C选项， ， ， ，
，点 在圆外， ，解得 ，或 ，综上 或
，故C错误；
对于D选项，圆心 ，半径 ，圆心 到直线 的距离 ，即
的最小值 ，由 ，所 ，四边形 的面积最小值
Rt ，故D正确．
故选：BD
12、
【答案】
A;C;D
【分析】
如图示：
设 ，则 ，
所以四边形PAMB周长为 ，
当P点位于原点时，t 取值最小2，
故当t取最小值2时，四边形PAMB周长取最小值为 ，故A无误；
由 可得： ，
则 ，而 ，则 ,故B有误；
设 ，
则 方程为： ，
的方程为 ，
而 在切线 ， 上，故 ， ，
故AB的直线方程为 ，
当 时， ，即AB过定点（ ） ，故C无误；
由圆的切线性质可知 ,设AB过定点为D（ ， ）,
则D点位于以MD为直径的圆上，设MD的中点为N，则 ， ,
则 为定值，即D无误，
因此正确答案为：ACD.
三、填空题
13、
【答案】
【分析】
先由垂直关系求出所求直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程
【详解】
解：因为所求直线与直线 垂直，
所以所求直线的斜率为 ，
因为所求直线过点 ，
所以所求直线方程为 ，即 ，
故答案为：
【点睛】
此题考查两直线的位置关系，考查直线方程的求法，属于基础题
14、
【答案】
【分析】
根据两点间斜率公式可得斜率，再结合参数范围可得斜率取值范围，进而可得倾斜角范围.
【详解】
直线 经过点 ， ，
，
，
，
设直线 的倾斜角为 ，则 ，
得 ，
故答案为： .
15、
【答案】
【分析】
由函数 有两个不同的零点，可知 与 的图象有两个不同
的交点，故作出如下图象， 当 与 的图象相切
时， ，即 ，由图可知 ，故相切时 ，因此结合图象可知，当
时， 与 的图象有两个不同的交点，即当 时，函数
有两个不同的零点．故答案为： .
16、
【答案】
【分析】
由 可知，正方体表面上到点A距离最远的点为 ，
所以P点只可能在面 ，面 ，面 上运动，
当P在面 上运动时，如图示，建立平面直角坐标系，
则 ,
设 ，由 得： ，
即 ，即P点在平面ABCD内的轨迹是以E（4,0）为圆心，以 为半径的一段圆弧，
因为 ,故 ,
所以P点在面ABCD内的轨迹的长即为
同理，P点在面 内情况亦为 ；
P点在面 上时，因为 ， ,
所以 ，
所以此时P点轨迹为以B为圆心，2为半径的圆弧，
其长为 ，
综上述，P点运动轨迹的周长为 ，
因此正确答案为： .
四、解答题
17、
【答案】
(1)
(2)
【分析】
（1）设点 ，则由题意可得 ，解方程组求出 ，从而可得点B的坐标，
（2）先求出两直线的交点坐标，再在直线 上任取一点，求出其关于直线 的对称点，从而可求出直线 关于
直线 的对称直线方程
（1）
设点 ，则由题意可得 ，
解得 ，
所以点B的坐标为 ，
（2）
由 ，得 ，所以两直线交于点 ，
在直线 上取一点 ，设其关于直线 的对称点为 ，则
，解得 ，即 ，
所以 ，
所以直线 为 ，即 ，
所以直线 关于直线 的对称直线方程为
18、
【答案】
(1)
(2)
【分析】
（1）由对称性确定圆心为 ，由此可得圆 的标准方程；
（2）由圆心 在直线 垂直平分线上，直线 与直线 垂直，可求得圆心 的坐标，并利用两点
间距离公式求得半径，由此可得圆 的标准方程.
（1）
点 关于直线 对称的点为 ，
圆 是以 为圆心， 为半径的圆， 圆 的标准方程为 .
（2）
两点在圆 上， 圆 的圆心在 垂直平分线上；
， 中点为 ， 的垂直平分线方程为 ；
直线 与圆 相切于点 ， 直线 与直线 垂直，
， 直线 方程为： ，即 ；
由 得： ， 圆心 ，半径 ，
圆 的标准方程为 .
19、
【答案】
（1） ，（2） 或
【分析】
解：（1）因为 ，所以 ，且 ，
由 ，得 ，解得 或 （舍去）
所以 ，
（2）因为点 在直线 上，
所以 ，得 ，所以点 的坐标为 ，
所以设直线 的方程为 （ ），
令 ，则 ，令 ，则 ，
因为直线 在两坐标轴上的截距之和为0，
所以 ，解得 或 ，
所以直线 的方程为 或
20、
【答案】
（1） ；（2） ．
【分析】
（1）设圆C的方程为 ，圆C与y轴相切，则 ，圆心C在射线
上，所以 ，根据弦长公式得 ，解方程组即
可得结果；
（2）依题意得 在线段 的中垂线上，则 ，根据斜率关系即可求出参数值．
【详解】
（1）设圆C的方程为
圆心C在射线 上，所以
圆C与y轴相切，则
点 到直线 的距离 ，
由于截直线 所得弦长为 ，所以
则得 ，又 所以 (舍去)，
故圆C的方程为 ；
（2）由（1）得 ，因为 ，
所以 在线段 的中垂线上，则 ，
因为 ，所以 解得
【点睛】
圆的弦长的常用求法：
(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则 ；
(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： ．
21、
【答案】
（1）证明见解析；（2） ；（3） 或 .
【分析】
（1）求出圆心到直线得距离与半径比较即可得出结论；
（2）结合几何性质得到等量关系，即可求出轨迹方程；
（3）联立直线与圆的方程，结合韦达定理以及已知条件即可求出结果.
【详解】
（1）圆 的圆心 ，半径为 ，所以圆心 到直线 的距离为
，所以直线 与圆 相交，故对 ，直线 与圆 总有两个不同交点；
（2）
因为直线斜率存在，所以点 与 不重合，连接 ，则 ，所以
，
设 ，则 ，
整理得 ；
（3）设 ，由 ，得 ，所以 ，即 ，
又 ，消去 得 ，所以 ，
，
由 得 ，
将 带入 得 ，
所以此时直线 的方程为 或 .
22、
【答案】
（1） ；（2）
【分析】
解：（1） 当直线 的斜率不存在时，直线方程为 ，此时 ，与题意不相符；
当直线 的斜率存在时，设斜率为 ，则直线 的方程为 ，
所以圆心 到直线 的距离 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ．
（2）当直线 与 轴垂直时， ， ，
四边形 的面积 ，
当直线 与 轴不垂直时，设直线 方程为 ，
即 ，
则直线 方程为 ，即 ，
点 到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离
， ，
则四边形 面积 ，
令 （当 时，四边形 不存在），
，
四边形 面积 的最大值为 ．