2022~2023学年安徽高二上学期期中数学试卷（省十联考（合肥八中等））（图片版，含解析）

2022~2023学年安徽高二上学期期中数学试卷（省十联考（合肥八中
等））
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知倾斜角为 的直线过 ， 两点，则 （　　）
A.
B.
C.
D.
2、《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实
为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马” 中，E为 的重心，若
， ， ，则 （　　）
A.
B.
C.
D.
3、“ ”是“直线 与直线 平行”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4、已知F为双曲线 ： 的左焦点，P为 的右支上一点，则直线PF的斜率的取值范围为（　　）
A.
B.
C.
D.
5、已知 为圆O： 上一点，则 的取值范围为（　　）
A.
B.
C.
D.
6、已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，P为坐标平面上一点，且满足
的点P均在椭圆C的内部，则椭圆C的离心率的取值范围为（　　）
A.
B.
C.
D.
7、如图，在正方体 中，P为线段 上一点，则直线 与BP所成的角的最大值、最小
值分别为（　　）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
8、已知椭圆C： 上存在关于直线l： 对称的点，则实数m的取值范围为（　　）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、如图，在三棱柱 中，P为空间一点，且满足 ， ，则
（　　）
A.当 时，点P在棱 上
B.当 时，点P在棱 上
C.当 时，点P在线段 上
D.当 时，点P在线段 上
10、我们知道反比例函数 的图象是双曲线，则下列有关双曲线 的结论正确的是（　　）
A.顶点坐标为 ，
B.虚轴长为
C.离心率为
D.焦点坐标为 ，
11、已知直线 ： ， ： ， ： ，其中 ， 为常数， 与
的交点为 ，则
A.对任意实数 ，
B.存在 ，使得点 到原点的距离为3
C.存在点 ，使得 为定值
D.M到 的最大距离为
12、已知曲线C： ，则（　　）
A.曲线C关于原点对称
B.曲线C有4个顶点
C.曲线C的面积小于椭圆 的面积
D.曲线C的面积大于圆 的面积
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、设双曲线 的焦点为 、 ， 为该双曲线上的一点，若 ，则 .
14、已知直线l过点 ，且在x轴和y轴上的截距分别为a，b，若 ，则l的方程为 ．
15、已知空间向量 ， 是相互垂直的单位向量，若向量 满足 ， ，则 的
最小值是 ．
16、已知 ， 是椭圆C： 的两个焦点，P为C上一点，则 的最大值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知直线l： 与圆C： 相交于A，B两点．求 及弦AB的垂直平分
线的方程．
18、（本小题12分）
如图，在直四棱柱 中，四边形ABCD为菱形， ， ．
(1)求 到平面 的距离；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
19、（本小题12分）
已知椭圆C： 的右焦点为F，上顶点的坐标为 ，离心率为 ．
(1)求C的方程；
(2)设过F的直线l与C相交于点A，B两点，若 （O为坐标原点），求直线l的方程．
20、（本小题12分）
已知A为圆C： 上一动点，点 ，若M为AB的中点，记点M的轨迹为 ．
(1)求 的方程，并说明 是什么图形；
(2)在直线 上是否存在定点D（异于原点），使得对于 上任意一点P，都有 为常数？若存在，求
出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，说明理由．
21、（本小题12分）
如图，在四棱锥 中，平面 平面ABCD， ， ， ，
，E为PC的中点．
(1)证明：平面 平面PCD；
(2)若 ， ，求平面ABE与平面ABP夹角的正弦值．
22、（本小题12分）
已知双曲线C： 的左，右焦点分别为 ， ，过 且斜率为 的直线与C的左
支交于点A，且 ．
(1)求C的渐近线方程；
(2)若 ，P为x轴上一点，是否存在直线l： 与C交于M，N两点，使得
，且 ？若存在，求出点P的坐标和直线l的方程；若不存在，说明理由．
参考答案
一、单选题
1、
【答案】
A
【分析】
通过题意知 ，即 ．
因此正确答案为A．
2、
【答案】
B
【分析】
连接AE并延长交CD于点F，
因为E为 的重心，则F为CD的中点，且
.
因此正确答案为：B．
3、
【答案】
C
【分析】
若 ，则两条直线分别为 ， ，
显然两条直线相互平行，充分性成立；
若直线 与直线 平行，
则 ，且 ，
所以 ，必要性成立．
因此正确答案为：C．
4、
【答案】
D
【分析】
由已知 ，设直线PF为 ，
联立 ，消去 得
根据已知可得方程有一正根一负根，
，
解得
因此正确答案为：D．
5、
【答案】
B
【分析】
设 ，通过题意知直线 与圆O有公共点，
所以 ，所以 ．
因此正确答案为：B．
6、
【答案】
A
【分析】
所以点P的轨迹为以 为直径的圆，且该圆在椭圆C的内部，
所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ．
因此正确答案为：A．
7、
【答案】
D
【分析】
设正方体的棱长为1， 与BP所成的角为 ，
以D为坐标原点，直线DA，DC， 分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设 ，
所以 ，
所以 ， ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
故 与BP所成角的最大值为 ，最小值为 ．
因此正确答案为：D．
8、
【答案】
C
【分析】
设C上关于直线 对称的两点分别为 ， ，其中点为 ，
则 ， ，两式相减，
得 ，
由 ，得 ，
又 ， ，
所以 ，即 ，又 ，
所以 ， ，即 ，
又点E在C的内部，
所以 ，所以 ．
因此正确答案为：C．
二、多选题
9、
【答案】
B;C;D
【分析】
当 时， ，所以 ，
则 ，即P在棱 上，故A有误；
同理当 时，则 ，故P在棱 上，故B无误；
当 时， ，所以 ，即 ，
故点P在线段 上，故C无误；
当 时， ，故点 在线段 上，故D无误．
因此正确答案为：BCD．
10、
【答案】
A;C
【分析】
将双曲线 的图象逆时针旋转 后可得等轴双曲线 ，
旋转前后实轴长、虚轴长、焦距保持不变，
因为直线 是 的长轴所在的直线，
所以联立 和 解得顶点坐标为 ， ，
所以实轴长 ，故A无误；
其是等轴双曲线，所以虚轴长为 ，故B有误；
因为 ，所以 ，离心率为 ，故C无误；
设焦点坐标为 和 ，
因为 和 在直线 上，且焦距等于 ，
所以 ，所以 ，
所以其焦点坐标为 ， ，故D有误．
因此正确答案为:AC．
11、
【答案】
A;C;D
【分析】
对于 ，因为 ： ， ： ，
所以 ，则 ，故 无误；
对于 ，易得直线 过定点 ，直线 过定点 ，
因为 与 的交点为 ，则 在以 为直径的圆上，
而 的中点为 ，且 ，
故点 在圆 ： 上，
故取点 坐标为 ，
此时 为定值，故 无误；
对于 ，因为圆心 到原点 的距离为 ，圆的半径为 ，
故 到原点的最小距离为 ，而 ，
所以不存在实数 ，使得 到原点的距离为 ，故 有误；
对于 ，因为 过原点 ，
所以当 ，且 在直线 上时，点 到 的距离最大且最大值为 ，故 无误．
因此正确答案为： ．
12、
【答案】
A;B;D
【分析】
用-x替换x，化简后式子不变，则曲线C关于y轴对称；
用-y替换y，化简后式子不变，则曲线C关于x轴对称；
用-x，-y分别替换x，y，化简后式子仍不变，则曲线C关于原点对称，
曲线C仅有两条对称轴，易求两条对称轴与曲线C的交点分别为 ， ，
故曲线C有4个顶点，故AB无误；
易知曲线C中x的范围为 ，所以 ，
故椭圆上的点在曲线C内部或在曲线C上，故椭圆的面积小于曲线C的面积，
同理曲线C的面积大于圆的面积，
故C有误，D无误．
因此正确答案为：ABD．
三、填空题
13、
【答案】
【分析】
由双曲线的定义得 ，又 ，
所以 ，或
经检验 ＜ ，舍去，
所以 .
因此正确答案为： .
14、
【答案】
或
【分析】
若 ，则l过 ，又l过点 ，
故l的方程为 ，即 ；
若 ，设l的方程为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
故l的方程为 ．
因此正确答案为： 或 ．
15、
【答案】
3
【分析】
分别以 ， 为x轴，y轴的正方向建立空间直角坐标系，
则
设 ，则 ，
，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以当 ， 时， 取得最小值3．
因此正确答案为：3.
16、
【答案】
【分析】
由 ，可知 ， ，
，所以 ，
又 ，所以当 或 时， ，又
，
所以 的最大值为 ．
因此正确答案为： .
四、解答题
17、
【答案】
， ．
【分析】
圆的方程可化为 ，故其圆心 ，半径 ，
圆心C到l的距离 ，
所以 ．
直线l的斜率为 ，
所以AB的垂直平分线的斜率为 ，
由垂径定理知弦AB的垂直平分线过圆心 ，
故弦AB的垂直平分线的方程为 ，即 ．
18、
【答案】
(1)
(2)
【分析】
（1）连接BD交AC于点O，
因为四边形ABCD为菱形， ， ，
所以 ， ， ．
以O为原点，直线OA，OB分别为x轴，y轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则 ， ，
， ， ，
则 ， ， ， ，
设平面 的一个法向量 ，则 ，
令 ，则 ， ，故 ．
所以点 到平面 的距离
（2）设直线 与平面 所成角的大小为 ，
则 ．
所以直线 与平面 所成角的正弦值为
19、
【答案】
(1)
(2)
【分析】
（1）通过题意知 ，
因为 ，
所以 ，
所以C的方程为 ．
（2）易知 ，设直线l的方程为 ， ， ，
联立方程，得 消去x并整理，得 ，
显然 ， ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，
故直线l的方程为 ，
即 ．
20、
【答案】
(1) 的方程为 ，其图形为以 为圆心， 为半径的圆
(2)存在
【分析】
（1）设 ， ，则 ， ，
所以 ， ，
又点A在圆C上，所以 ，
即 的方程为 ，其图形为以 为圆心， 为半径的圆．
（2）假设存在一点 ，满足 （其中 为常数），
设 ，则 ，
整理化简得： ，
因为P在轨迹 上，所以 ，即 ，
所以 ，
整理得 ，
由 得 ， ，
所以存在 满足题目条件．
21、
【答案】
(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）证明：取PD的中点F，连接EF，AF，因为 ，所以 ，
因为平面 平面ABCD，平面 平面 ， 平面ABCD，
所以 平面PAD，又 平面PAD，所以 ，
因为 ，F为PD的中点，所以 ．
因为E，F分别为PC，PD的中点，所以 ，且 ，
又 ，且 ，所以 ，且 ，
所以四边形ABEF为平行四边形，所以 ，
所以 ， ．
又 平面PCD，且 ，
所以 平面PCD，
又 平面PBC，所以平面 平面PCD．
（2）
取AD，BC的中点分别为O，G，连接PO，OG，则 ，
因为平面 平面ABCD，平面 平面 平面PAD，
所以 平面ABCD，又 平面ABCD，所以 ．
以O为坐标原点，直线OA，OG，OP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系 （如下图所示），则
， ， ， ，
则 ， ， ．
设平面ABE的一个法向量 ，则 即
令 ，得 ， ，故 ．
设平面ABP的一个法向量 ，则 即
令 ，得 ， ，故 ，
所以 ，
设平面ABE与平面ABP的夹角为 ，则 ．
22、
【答案】
(1)
(2)存在， ，直线l的方程为 ．
【分析】
（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，即 （c为半焦距），
又 ，
所以 ，
因为直线 的斜率为 ，
所以 ，
所以 ，
由余弦定理，得 ，
即
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以C的渐近线方程为 ．
（2）由 ，得 ，所以 ， ，
所以双曲线C的方程为 ．
联立 得 ，
通过题意知 ，且 ，即 且 ，
又 ，所以 ．
设 ， ，线段MN的中点为 ，
所以 ， ，
所以 ， ．
假设存在直线l： ，设点 ，使得 ，且 成立，
则 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
化简，得 ，所以 ，
此时 ，即 ，直线l的方程为 ．