2022~2023学年黑龙江齐齐哈尔龙沙区恒昌中学高二上学期期中数学试卷（PDF版含解析）

2022~2023学年黑龙江齐齐哈尔龙沙区恒昌中学高二上学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、椭圆 上点 到上焦点的距离为4，则点 到下焦点的距离为（ ）
A.6
B.3
C.4
D.2
2、直线l的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，若 ，则实数 （ ）
A.
B.1
C.
D.
3、直线 恒过定点（ ）
A.
B.
C.
D.
4、唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的
数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样
走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为 ，若将军从山脚下的点 处出
发，河岸线所在直线l的方程为 ，则“将军饮马”的最短总路程是（ ）
A.
B.
C.
D.
5、已知圆 ，则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（ ）
A.
B.
C.
D.
6、如图所示,在四面体 中, , , ,点 在 上,且 , 为 的中点,则
（ ）
A.
B.
C.
D.
7、如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐 金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代
金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线 1(a>0，b>0)的右支与y轴及平行
于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为
，下底座外直径为 ，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周
长为（ ）
A.2 π
B.3π
C.2 π
D.4π
8、已知双曲线 的左焦点为 ，以 为直径的圆与双曲线 的渐近线交于不
同原点 的 ， 两点，若四边形 的面积为 ，则双曲线 的渐近线方程为
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、下列说法中，正确的有（ ）
A.直线 必过定点
B.直线 在 轴上的截距为1
C.直线 的倾斜角为
D.点 到直线 的距离为1
10、圆 和圆 的交点为A，B，则（ ）
A.公共弦AB所在直线的方程为
B.线段AB中垂线方程为
C.公共弦AB的长为
D.P为圆 上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
11、已知 ， 为两个不相等非零实数，则方程 ，与 所表示的曲线不可能是
（ ）
A.
B.
C.
D.
12、若 是椭圆 上一点， ， 为其左右焦点，且 不可能为钝角，则实数 的值可以
是（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图1所示，清朝的一个青花山水楼阁纹椭圆盘如图2所示，北宋的一个汝窑椭圆
盘如图3所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆，已知图（1）、图（2）、图（3）中椭圆的长轴长、短轴长的
比值分别为 、 、 ，则对应的椭圆盘最圆的是图 （填序号）
14、与椭圆 有公共焦点，且离心率为 的双曲线方程为 ．
15、已知椭圆 ，过 ， 点作直线 交椭圆 于 ， 两点，且点 是 的中点，则直线 的方程
是 .
16、已知斜率为 的直线 经过双曲线 的上焦点 ，且与双曲线的上、下两支都相交，则双曲线的
离心率 的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知 的三个顶点的坐标分别为 ， ， .
（1）求 边上中线 所在直线的方程；
（2）求 边上高 所在直线的方程.
18、（本小题12分）
如图，在棱长为2的正方体 中，E为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求点C到平面 的距离．
19、（本小题12分）
已知圆
(1)若直线 过点 ，且与圆 相切，求直线 的方程；
(2)若圆 的半径为3，圆心在直线 上，且与圆 外切，求圆 的方程．
20、（本小题12分）
已知椭圆 ： 的下焦点为 、上焦点为 ，其离心率 ．过焦点 且与x轴不垂直的直线l交
椭圆于A、B两点．
(1)求实数m的值；
(2)求△ABO(O为原点)面积的最大值．
21、（本小题12分）
如图所示，在四棱锥 中，平面 平面 ， 为等边三角形， ，
， ，点 是 的中点，
(1)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(2)在线段 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
22、（本小题12分）
如图，已知椭圆 ＞ ＞ 的离心率为 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 为顶点的
三角形的周长为 .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线
和 与椭圆的交点分别为 、B和C、D.
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线 、 的斜率分别为 、 ，证明 ；
（Ⅲ）是否存在常数 ，使得 恒成立？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、单选题
1、
【答案】
A
【分析】
根据椭圆方程求出 ，再根据椭圆的定义计算可得；
【详解】
解：椭圆 ，所以 ，即 ，设上焦点为 ，下焦点为 ，则
，因为 ，所以 ，即点 到下焦点的距离为 ；
故选：A
2、
【答案】
A
【分析】
由题意可知，直线 的方向向量与平面 的法向量平行，由此即可求出结果.
【详解】
直线l的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，且 ，
所以 ，
所以 .
故选：A.
3、
【答案】
A
【分析】
将直线变形为 ，由 且 ，即可求出定点．
【详解】
将 变形为： ，令 且 ，解得
， ，
所以直线恒过定点 .
故选：A
4、
【答案】
D
【分析】
先求点 关于直线 对称的点 ，再根据两点之间线段最短，即可得解.
【详解】
如图，设 关于直线 对称的点为 ，
则有 ，可得 ，可得 ，
依题意可得“将军饮马”的最短总路程为 ，
此时 ，
故选：D.
5、
【答案】
D
【分析】
由圆的方程可确定圆心和半径，根据圆上点到定点距离最大值为 可求得结果.
【详解】
由 得： ， 圆心 ，半径 ，
圆心到坐标原点的距离 ，
圆上的点到坐标原点的距离的最大值为 .
故选：D.
【点睛】
结论点睛：若圆心到圆外定点的距离为 ，半径为 ，则圆上的点到圆外定点距离的最大值为 ，最小值为
.
6、
【答案】
B
【分析】
解:通过题意分析可以得,连接 ,画图如下:
是 的中点,
,
,
,
.
因此正确答案为:B
7、
【答案】
C
【分析】
该金杯主体部分的上口外直径为 ，下底座外直径为 ，
且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，
可设 代入双曲线方程可得
，
即 ，
作差可得 ，解得 ，
所以杯身最细处的周长为 .
因此正确答案为：C
8、
【答案】
C
【分析】
通过题意， ，双曲线 的焦点 到 的一条渐近线 的距离为 ，则 ，所
以 ，所以 ，所以 ，所以双曲线 的渐近线方程为 .
二、多选题
9、
【答案】
A;C
【分析】
对A,化简方程令 的系数为0求解即可.
对B,根据截距的定义辨析即可.
对C,求出直线的斜率再根据斜率与倾斜角的关系辨析即可.
对D,利用横纵坐标的差求解即可.
【详解】
对A,化简得直线 ,故定点为 .故A正确.
对B, 在 轴上的截距为 .故B错误.
对C,直线 的斜率为 ,故倾斜角 满足 ， ， ,
即 .故C正确.
对D, 因为直线 垂直于 轴,故 到 的距离为 .故D错误.
故选：AC.
10、
【答案】
A;B;D
【分析】
两圆方程作差后可得公共弦方程，从而可判断A的正误，求出圆 的圆心坐标后求出垂直平分线的方程后可判
断B的正误，利用垂径定理计算弦长后可判断C的正误，求出 到直线的距离后可求动点到直线距离的最大值，
从而可判断D的正误．
【详解】
对于选项A，因为圆 ： ， ： ，
两式作差可得公共弦AB所在直线的方程为 ，即 ，故A正确；
对于选项B，圆 ： 的圆心为 ，
则线段AB中垂线的斜率为 ，即线段AB中垂线方程为 ，
整理可得 ，故B正确；
对于选项C，圆心 到 的距离为 ，
又圆 的半径 ，所以 ，故C不正确；
对于选项D，P为圆 上一动点，圆心 到 的距离为 ，
又圆 的半径 ，所以P到直线AB距离的最大值为 ，故D正确．
故选：ABD．
11、
【答案】
A;B;D
【分析】
先变形得到 ，对四个选项一一分析，得到答案.
【详解】
变形得到 ，
A选项，双曲线交点在 轴上，故 ，
此时 应该经过第一，二，四象限，A不可能；
B选项，椭圆焦点在 轴上，故 ，
此时 经过第一，二，三象限，B不可能；
C选项，双曲线交点在 轴上，故 ，
此时 应该经过第一，三，四象限，C可能；
D选项，椭圆焦点在 轴上，故 ，
此时 经过第一，二，三象限，D不可能；
故选：ABD
12、
【答案】
C;D
【分析】
根据椭圆的几何性质可判断 为椭圆的短轴端点时，此时 最大，即可列不等式求解.
【详解】
由椭圆的性质可得当点 为椭圆的短轴端点时，此时 最大，
若 不可能为钝角，当点 为椭圆的短轴断点时，则 ，
则 ，即 ，
又焦点在 轴上 ，解得 ，
所以实数 的值可以是4，5，
故选：CD
三、填空题
13、
【答案】
（2）
【分析】
由椭圆的离心率大小即可求解椭圆的扁平程度.
【详解】
设椭圆方程的长半轴长与短半轴长分别为 ， ，
则椭圆的离心率 ，
显然 越大， 越小，
由于三个椭圆的 分别为 ，且
又 则 ，
故椭圆盘（2）的离心率最小，故椭圆盘（2）最圆.
故答案为：（2）
14、
【答案】
【分析】
由椭圆方程求出焦点坐标，得出 的值，再由双曲线的离心率得出 ，进而可得双曲线的标准方程．
【详解】
由椭圆方程 ，可得焦点为
设双曲线的半焦距为 ，则 ，因双曲线的离心率为 ，则
故 ，所以 ，
所以双曲线的标准方程为：
故答案为：
15、
【答案】
【分析】
设 ，结合中点公式和“点差法”求得直线 的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解.
【详解】
设 ，
因为点 ， 是 的中点，可得 ，
由 ，两式相减得 ，
即 ，所以直线 的方程为 ，即 .
故答案为： .
16、
【答案】
【分析】
根据已知直线的斜率，求出渐近线的斜率范围，推出 ， 的关系，然后求出离心率的范围．
【详解】
由题意可得双曲线的渐近线方程为 ，
过双曲线上焦点 且平行于渐近线 的方程为 ，此直线与只与双曲线的上支有一个交点，要使
斜率为 的直线 经过双曲线的上焦点 的直线 与与双曲线的上、下两支相交，则 ，所以
，因此 ，
故答案为：
四、解答题
17、
【答案】
（1） ；（2） .
【分析】
（1） 中点为 ， ，
直线 方程为： ，即 ；
（2） ， ，
直线 方程为： ，即 .
18、
【答案】
(1)证明见解析；
(2) ；
(3)2.
【分析】
（1）在正方体 中， ，则四边形 为平行
四边形，
因此 ，而 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）在棱长为2的正方体 中，射线 两两垂直，以点A为原点建立如下图所
示的空间直角坐标系，
，棱 的中点 ，
，
设平面 的法向量 ，则 ，令 ，得
，
直线 与平面 所成的角为 ，则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
（3）由（2）知， ，
所以点C到平面 的距离 .
19、
【答案】
(1) ，
(2) 或
【分析】
（1）根据题意，可分直线 的斜率不存在和存在两种情况讨论，结合直线与圆相切，利用点到直线的距离公
式，列出方程，即可求解；
（2）设 ，由两圆相外切，得到 ，列出方程求得 的值，即可求解.
【详解】
（1）解：由圆 ，可得原心 ，半径为 ，
当直线 的斜率不存在时，直线方程为 ，此时直线与圆相切，符合题意；
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，即 ，
由圆心 到直线 的距离等于半径，可得 ，解得 ，
此时直线 的方程为 ，
综上可得，所求直线的方程为 或 .
（2）解：由圆 的半径为3，圆心在直线 上，
设 ，且圆 的圆心 ，半径为 ，
由两圆相外切，可得 ，即 ，
解得 或 ，所以 或 ，
所以所求圆的方程为 或 .
20、
【答案】
(1)2；
(2) ﹒
【分析】
(1)根据已知条件得 ， ，结合离心率 ，即可解得答案．
(2)设直线的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式以及三角形的面积公式，基本不等式即可得出答案．
【详解】
（1）由题意可得， ， ，
∵离心率 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得 ．
（2）由(1)知，椭圆 ，上焦点 ，
设 ， ， ， ，直线 的方程为： ，
联立 ，得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
∴ 为原点)面积的最大值为 ．
21、
【答案】
(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角求解即可，
（2）利用线面垂直的向量关系即可求解.
【详解】
（1）证明：取 中点 ，连接 ．因为 ，所以 ．
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．取 中点 ，连接 ，则 ．
以 为原点，如图建立空间直角坐标系，设 ，
则 ， ， ， ， ， ， ．
平面 的法向量 ，设平面 的法向量 ，
由 ，得
令 ，则 ．
所以 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值 ；
（2）在线段 上是不存在点 ，使得 平面 ．
设点 ，且 ， ，则 ，
所以 ．
则 所以 ， ．
若 平面 ，则 ，即 ，此方程无解，
所以在线段 上不存在点 ，使得 平面 ．
22、
【答案】
（Ⅰ）椭圆的标准方程为 ；双曲线的标准方程为
（Ⅱ） =1．（Ⅲ）存在常数 使得 恒成立，
【分析】
试题分析：(1)设椭圆的半焦距为c，通过题意知： ，
2a＋2c＝4( ＋1)，所以a＝2 ，c＝2.
又a2＝b2＋c2，因此b＝2.故椭圆的标准方程为 ＝1.
通过题意设等轴双曲线的标准方程为 ＝1(m＞0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m＝2，
因此双曲线的标准方程为 ＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则k1＝ ，k2＝ .
因为点P在双曲线x2－y2＝4上，所以x－y＝4.
因此k1·k2＝ · ＝ ＝1，即k1·k2＝1.
(3)由于PF1的方程为y＝k1(x＋2)，将其代入椭圆方程得(2k ＋1)x
2－8k x＋8k －8＝0，
显然2k ＋1≠0，显然Δ＞0.由韦达定理得x1＋x2＝ ，x1x2＝ .
所以|AB|＝
＝ .
同理可知|CD|＝ .
则 ，
又k1·k2＝1，
所以 .
故|AB|＋|CD|＝ |AB|·|CD|.
因此存在λ＝ ，使|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立．
考点：本题考查了圆锥曲线方程的求法及直线与圆锥曲线的位置关系
点评：对于直线与圆锥曲线的综合问题，往往要联立方程，同时结合一元二次方程根与系数的关系进行求解；
而对于最值问题，则可将该表达式用直线斜率k表示，然后通过题意将其进行化简结合表达式的形式选取最值的
计算方式