2022~2023学年湖南怀化鹤城区怀化市第五中学高一下学期期中数学试卷（PDF版含解析）

2022~2023学年湖南怀化鹤城区怀化市第五中学高一下学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知集合 ， ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
2、设 是虚数单位，则复数
A.
B.
C.
D.
3、命题：“ ， ”的否定是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
4、下列几何体中为台体的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5、已知 是第一象限角，且 ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
6、已知向量 ，则 =（ ）
A.
B.
C.
D.
7、如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（ ）
A.一个六棱柱中挖去一个棱柱
B.一个六棱柱中挖去一个棱锥
C.一个六棱柱中挖去一个圆柱
D.一个六棱柱中挖去一个圆台
8、如图，无人机在离地面高200m的 处，观测到山顶 处的仰角为15°、山脚 处的俯角为45°，已知
，则山的高度 为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、下列运算错误的是（ ）
A.
B. =
C.
D.
10、下列各式中结果一定为零向量的是（ ）
A.
B.
C.
D.
11、已知 为等腰直角三角形，直角边长为1，将 绕其一边旋转一周，则所得到的几何体的体积
可能为（ ）
A.
B.
C.
D.
12、下列说法中正确的是（ ）．
A.若 ， ， ．则 有两组解
B.在 中，已知 ，则 是等腰直角三角形
C.若 ，则直线AP一定经过这个三角形的外心
D.在 中，若
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知 ，且 ，则 ．
14、设向量 ，若 ，则 .
15、函数 的最小正周期是 ．
16、一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比
为 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知向量 ； 是单位向量，且 的夹角为 ，求：
(1) ；
(2) .
18、（本小题12分）
在 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ， ， ， .
(1)求 ；
(2)求 .
19、（本小题12分）
如图，其中 分别是上 下底面圆的圆心，且 ，底面圆的半径为2，求该组合体的表面积和体
积.
20、（本小题12分）
设 R，复数 i是纯虚数.
(1)求m的值；
(2)若 i是方程 的一个根，求实数p，q的值.
21、（本小题12分）
如图所示，在正方形 中，E，F分别是AB，BC的中点.
(1)求证： ；
(2)若点E位置不变，点F为线段BC边上靠近点C处的四等分点，求 与 夹角的余弦值.
22、（本小题12分）
已知 ， ， 为 的内角 ， ， 所对的边，向量 , ,且
.
(1)求角 ;
(2)若 ， 的面积为 ， 为 中点，求线段 的长.
参考答案
一、单选题
1、
【答案】
C
【分析】
通过题意 .
因此正确答案为：C
2、
【答案】
A
【分析】
.
因此正确答案为:A
3、
【答案】
C
【分析】
因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题：“ ， ”的否定是“ ， ”.
因此正确答案为：C.
4、
【答案】
C
【分析】
A：圆锥，B：圆柱，C：棱台，D：球，
所以属于台体的只有棱台，
因此正确答案为：C.
5、
【答案】
B
【分析】
因为 是第一象限角，则 .
因此正确答案为：B.
6、
【答案】
B
【分析】
通过题意 ，
因此正确答案为：B．
7、
【答案】
C
【分析】
螺母这个组合体的外部轮廓图是六棱柱，由于螺母是旋拧在螺杆上的，则挖去的部分是圆柱，选项C表述准确.
因此正确答案为：C
8、
【答案】
D
【分析】
∵ // ，∴ ，∴ ，
又 ， ，∴ ，
sin
在 中， ，∴ ，
sin sin sin
∴ sin sin .
因此正确答案为：D．
二、多选题
9、
【答案】
A;D
【分析】
对于A， 不能求出得 ，A有误；
对于B， ，B无误；
对于C， ，C无误；
对于D， ，D有误.
因此正确答案为：AD
10、
【答案】
A;C;D
【分析】
对于A， ，A是；
对于B， ， 不一定是零向量，B不是；
对于C， ，C是；
对于D， ，D是.
因此正确答案为：ACD
11、
【答案】
C;D
【分析】
当旋转轴为直角边时，所得几何体为圆锥，体积为 ，
当旋转轴为斜边时，所得几何体为两个圆锥的组合体， ，
因此正确答案为：CD
12、
【答案】
A;D
【分析】
sin
对于A，由正弦定理得 ，因为 ，所以 或 ，有
两解，故A无误；对于B， ，
可得sin sin 或 ，故B有误；对于C，
cos
，所以直线AP一定经过这个三角形的垂心，故C有
误；对于D， ，故D无误.
因此正确答案为：AD.
三、填空题
13、
【答案】
【分析】
由已知得： ，解得： .
因此正确答案为： .
14、
【答案】
【分析】
因为向量 ，
由 ，可得 ，解得 .
因此正确答案为： .
15、
【答案】
【分析】
解： ，
，
，即函数 的最小正周期是 ．
因此正确答案为： ．
16、
【答案】
【分析】
设球的半径为r,
则 圆柱 ,
圆锥 ，
球 ，
所以 圆柱 圆锥 球 ，
因此正确答案为 .
考点：圆柱，圆锥，球的体积公式.
点评：圆柱，圆锥，球的体积公式分别为 圆柱 圆锥 球 .
四、解答题
17、
【答案】
(1)1；
(2) .
【分析】
（1）向量 ， 是单位向量，且 的夹角为 ，
所以 .
（2）由（1）知， ，
所以 .
18、
【答案】
(1)
(2)
【分析】
（1）解：由正弦定理可得 ，所以， ，
因为 ，则 ，故 .
（2）解：由（1）可知 ，所以， .
19、
【答案】
表面积为 ；体积为 .
【分析】
通过题意，圆锥的高 ，圆柱的高 ，圆锥、圆柱的底面圆半径 ，
于是圆锥的母线 ，
圆锥的侧面积 ，圆柱的侧面积 ，
所以该组合体的表面积 ；
圆锥的体积 ，圆柱的体积 ，
所以该组合体的体积 .
20、
【答案】
(1) ；
(2) .
【分析】
（1）由题设有 ，可得 .
（2）由（1）及题设知： i、 i是方程的两个根，
i i
所以 .
i)( i)
故 .
21、
【答案】
(1)证明见解析；
(2) .
【分析】
（1）在正方形 中，以点A为坐标原点，建立如下图所示的平面直角坐标系，
令 ，则 ， 的中点 ， 的中点 ，
即有 ，因此 ，即 ，
所以 .
（2）如下图所示，由（1）知， ，
而点F为线段BC边上靠近点C处的四等分点，则 ， ，
于是 ，
所以 与 夹角的余弦值是 .
22、
【答案】
(1)
(2) .
【分析】
（1）由正弦定理及余弦定理可求解；
（2）由面积公式及余弦定理可求解
（1）
因为 ，所以 ，由正弦定理得
，即 ，
由余弦定理得 cos . 因为 ，所以 .
（2）
sin ， 解得 .
因为 为 中点，所以 .
在 中， cos ，即 ，
所以 .