2022~2023学年江苏苏州姑苏区苏州中学高一上学期期中数学试卷（图片版，含解析）

2022~2023学年江苏苏州姑苏区苏州中学高一上学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知集合 ， ，则 （ ）
A.
B.
C.
D. 或
2、已知命题 ： ， 是假命题，则实数 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
3、已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域
A.
B.
C.
D.
4、已知函数 （a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于 ， 的方程
， ，则 的最小值为（ ）
A.9
B.24
C.4
D.6
1
5、已知关于 的不等式 >0的解集为 , ，则 + 的值为（ ）
+3
A. 5
10
B.
3
C. 4
10
D. 5或
3
1
6、若不等式 2 +1 0对一切 0, 都成立，则a的最大值为（　　）
2
A.0
B.2
C.3
5
D.
2
7、已知函数 ．若 ，则实数 的取值范围是（ ）．
A.
B.
C.
D.
8、已知函数 ， .若存在 ， ，使得 ，
则实数a的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、下列命题为真命题的是（ ）
A.若 ，则
B.若 ，则
C.若 且 ，则
D.若 ，则
10、下列关于函数 的结论正确的是（ ）
A.单调递增区间是
B.单调递减区间是
C.最大值为
D.没有最小值
11、若 ，则下列关系正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
12、已知定义在R上的奇函数 满足 ，且当 时， ，则（ ）
A.关于x的方程 在区间 上的所有实数根的和为
B.关于x的方程 在区间 上的所有实数根的和为
C.若函数 与 的图象恰有5个不同的交点，则 或
D.若函数 与 的图象恰有5个不同的交点，则 或
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、化简 （ ， ） .
14、已知 ，且 ，那么
15、已知 ， ，若 ，则 的最小值为 .
16、已知函数 ，若存在实数 同时满足 和
，则实数 的取值范围为 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知集合 ， ．
(1)若 ，求 ；
(2)若存在正实数 ，使得“ ”是“ ”成立的 ，求正实数 的取值范围．
从“①充分不必要条件，②必要不充分条件”中任选一个，填在上面空格处，补充完整该问题，并进行作答．
18、（本小题12分）
定义在 上的函数 满足： 对任意 恒成立，当 时， ．
（1）证明： 在 上是增函数；
（2）已知 ，解关于 的不等式 ．
19、（本小题12分）
已知函数 ，其中a为实数.
(1)当 时，求函数 的最小值；
(2)若 在 上单调递增，求实数a的取值范围.
20、（本小题12分）
为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产
量）x万件与年促销费用 万元满足 （k为常数）.如果不搞促销活动，则该产品的年销量
只能是1万件.已知2021年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件
产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）.
（1）将该厂家2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；
（2）该厂家2021年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？
21、（本小题12分）
已知定义在 上的函数 是奇函数.
（1）求 的值：
（2）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
22、（本小题12分）
已知函数 .
(1)求函数 的值域；
(2)设 （ ），求 的最大值 ；
(3)对于（2）中的 ，若 在 上恒成立，求实数m的取值范围.
参考答案
一、单选题
1、
【答案】
C
【分析】
， ， ．
故选：C．
2、
【答案】
D
【分析】
根据一元二次不等式恒成立求解实数 的取值范围.
【详解】
由题意得 是真命题，即 ， ，
当 时， 符合题意；
当 时，有 ，且 ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故选:D.
3、
【答案】
A
【分析】
因为函数 的定义域为 ，
对于函数 ，则有 ，
解得 或 .
因此，函数 的定义域为 .
故选：A.
4、
【答案】
C
【分析】
由题意可得 ，利用基本不等式求最值即可.
【详解】
因为函数 图象恒过定点
又点A的坐标满足关于 ， 的方程 ， ，
所以 ，即
所以
，当且仅当 即 时取等号；
所以 的最小值为4．
故选：C．
5、
【答案】
B
【分析】
分析可知 {\text\less}0，且 、 为方程 1 +3 =0的两根，分类讨论，求出 、 的值，即可得解.
【详解】
1
因为关于 的不等式 >0的解集为 , ，则 {\text\less}0，
+3
1
而方程 1 +3 =0的两根分别为 = ， = 3.
= 1 = 3 = 3
若 = 3 ，无解；若 =
1 ，解得
= 1
.
{\text\less} {\text\less} 3
10
因此， + = .
3
故选：B.
6、
【答案】
D
【分析】
采用参变分离法对不等式变形，然后求解变形后的函数的值域，根据参数与新函数的关系求解参数最值.
【详解】
2 1因为不等式 +1 0对一切 0, 恒成立，
2
1 2+1
所以对一切 0, ， 2 +1，即 恒成立．
2
2+1 1 1
令 = = + 0, ．
2
1 1 1 5
易知 = + 在 0, 内为减函数．所以 > ( )= ，
2 2 2
5 5
故 ，所以 的最大值是 ．
2 2
故选：D
7、
【答案】
D
【分析】
解不等式 得 ，将问题转化为 ，进而作出函数 的图
像，数形结合求解即可.
【详解】
解：当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
所以，当 时， ，
令 时， 或 ；令 时， ；令 时， 或 ，
所以，作出函数 的图像如图，
当 时，实数 的取值范围是 .
故选：D
8、
【答案】
A
【分析】
时单调递增函数，
的值域是 ，
的对称轴是 ，在 上，函数单调递减，
的值域是 ，
因为存在 ， ，使得 ，
所以 ,
若 ，则 或 ，
解得 或 ，
所以当 时， ，
因此正确答案为：A
二、多选题
9、
【答案】
B;C;D
【分析】
根据已知条件，结合特殊值法和作差法，即可依次求解．
【详解】
对于A，当 时， ，故A为假命题，
对于B， ，
，
， ，
，故B为真命题，
对于C， ，
，即 ，
，
，故C为真命题，
对于D， ，
当 ， 时，取得最小值为 ，且
故D为真命题．
故选：BCD．
10、
【答案】
A;C
【分析】
要使函数有意义，则 ，得 ，故B有误；
函数 由 与 复合而成，
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
又 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ,又 ，所以 ，故A，C无误，D有误．
因此正确答案为：AC.
11、
【答案】
A;D
【分析】
由 ，得 ，令 ，则 ．
因为 ， 在 上都是增函数，所以 在 上是增函数，
所以 ，故A无误；
因为 在 和 上都单调递减，
所以当 时， ，故B有误；
当 ， 时， ， 无意义，故C有误；
因为 在 上是减函数，且 ，所以 ，即 ，故D无误．
因此正确答案为：AD．
12、
【答案】
A;C
【分析】
定义在R上的奇函数 满足 ，
所以 ，所以 ，即函数的周期 ，
又函数为定义在R上的奇函数，所以 ，
又 ，所以函数关于 对称，
当 时， ，解得 ，作函数的大致图象，如下图所示，
由图象可以知方程 在区间 上的所有实数根的和为 ，故A无误，B有误；
若函数 与 的图象恰有5个不同的交点，
当 时，由图像分析可得，直线 过点 时，即 时，满足题意，
当 时，找出两个临界情况，当直线 过 时， ，有3个交点
当直线 过 时， 有3个交点，
由图象知，当 时，直线 与 的图象有5个交点.
综上所述当 或 时，函数 与 的图象恰有5个不同的交点，故C无误D有误.
因此正确答案为：AC
三、填空题
13、
【答案】
【分析】
，
故答案为： ．
14、
【答案】
【分析】
设 ，则 ，
易得定义域为R，又 ，
所以函数 为奇函数，
又因为 ，即 ，可得 ，所以 ，
则 .
因此正确答案为： .
15、
【答案】
4
【分析】
因为 ， ，且 ，所以 ，即
，化简得， ，
解得： 或 ，因为 ， ，所以 ，当且仅当 时，取“=”，所以
的最小值为4.
因此正确答案为：4
16、
【答案】
【分析】
的定义域是R，且 ，
为R上的奇函数，
又
有解，
即 有解，
即
令 ，则 在 有解，
令 ，则 ，
在 上单调递增，
，
所以 ，
所以实数 的取值范围为 ，
因此正确答案为：
四、解答题
17、
【答案】
(1)
(2)答案见解析
【分析】
（1）
因 ，则 ．
当 时， ，所以 ．
（2）选① 因“ ”是“ ”成立的充分不必要条件，则 是 的真子集．
所以 ．经检验“=”满足．
所以实数 的取值范围是 ．
选② 因为“ ”是“ ”成立的必要不充分条件
所以 是 的真子集．
所以 ，经检验“=”满足．
所以实数 的取值范围是 ．
18、
【答案】
（1）见解析；（2）
【分析】
(1) 根据定义判断函数单调性的步骤判断即可．
(2) 根据f(1)＝5，利用表达式求得f(2)＝8，将不等式化为f(t－1)≤f(2).，进而根据函数的单调性即可求得t的范
围．
【详解】
(1)任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2－x1＞0.
∴f(x2－x1)＞2，
f(x1)－f(x2)
＝f(x1)－f(x2－x1＋x1)
＝f(x1)－f(x2－x1)－f(x1)＋2
＝2－f(x2－x1)＜0.
∴f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在R上是增函数．
(2)∵f(1)＝5，
∴f(2)＝f(1)＋f(1)－2＝8.
由f(t－1)≤8得f(t－1)≤f(2)．
∵f(x)在R上为增函数，
∴t－1≤2，即t≤3.
∴不等式的解集为{t|t≤3}．
【点睛】
本题考查了利用定义判断函数的单调性，根据函数的单调性解相关的不等式问题，属于基础题．
19、
【答案】
(1)
(2) 或 .
【分析】
（1）当 时， ，
， ，此时当 时函数取得最小值 ；
当 时，函数 的值域是 ，
所以函数的最小值是 ；
（2） ，
当 时， ，不满足函数在 单调递增；
当 时， 在 单调递增， 也是单调递增函数，且在 处连续，所以函数
在 上单调递增，与题意相符；
当 时，函数在 ，在 单调递增，若 在 上单调递增，所以 ，得
，
综上所述， 的取值范围是 或 .
20、
【答案】
（1） ；（2）该厂家2021年的年促销费用投入2.5万元时，厂家利润最大.
【分析】
（1）通过题意，当 时，x=1，则 ，于是 ，所以
.
（2）由（1），
，
当且仅当 时“=”成立.
所以，该厂家2021年的年促销费用投入2.5万元时，厂家利润最大.
21、
【答案】
（1） ， ；（2） .
【分析】
（1）因为函数 是定义在 上的奇函数，
可得 ，解得 ，所以 ，
又由 ，可得 ，解得 ，
所以函数的解析式为 .
（2）不等式 恒成立，即 恒成立，
因为 ，可得 ，所以 ，
令 ，则 ，
且 .
所以 恒成立，
令 ，则函数 在区间 上是减函数，
因为 ，所以 .
即实数 的取值范围 .
22、
【答案】
(1) ；
(2) ；
(3) .
【分析】
（1）由 且 ，得 ．
，且 ，
得 ，则函数 的值域为 ．
（2） ，
令 ，
则 ， ，
所以 ，
令 ， ，则 为函数 ， 的最大值．
易得函数 的图象是开口向下的抛物线，且其对称轴为直线 ．
①若 ，即 ，则 ；
②若 ，即 ，则 ；
③若 ，即 ，则 ．
综上可得 ．
（3）由（2）易得 ．
要使 在 上恒成立，即使 在
恒成立，
所以 在 上恒成立．
令 ， ，
若 ，则 对任意 恒成立；
若 ，则有 ，即 ，
解得 或 ．
综上所述实数m的取值范围是 ．