2022~2023学年山东菏泽高三上学期期末数学试卷（PDF版含解析）

2022~2023学年山东菏泽高三上学期期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、设集合 ， 且 \xinN ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
i
2、若复数 的实部与虚部相等，则实数a的值为（ ）
i
A.0
B.
C.1
D.2
3、若 ，则p成立的一个必要不充分条件是（ ）
A.
B.
C.
D.
4、等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）．
A.
B.
C.
D.
5、已知函数 在 上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
6、设圆C： 上恰好有三个点到直线 的距离等于1，则圆半径r的值为
（ ）
A.2
B.4
C.
D.3
7、我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆
口直径为36寸，盆底直径为12寸，盆深18寸．若某次下雨盆中积水恰好刚刚满盆，则平均降雨量是（注：平均
降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积）（ ）
A. 寸
B.8寸
C. 寸
D.9寸
8、已知函数 在区间 恰有3个零点，4个极值点，则 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、已知双曲线C的渐近线方程为 ，焦距为 ，则满足条件的双曲线C可以是（ ）
A.
B.
C.
D.
10、某城市100户居民月平均用电量（单位：度），以[160，180)、[180，200）、[200，220），[220，240）、
[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图所示，则（ ）
A.
B.月平均用电量的众数为210和230
C.月平均用电量的中位数为224
D.月平均用电量的75%分位数位于区间 ， 内
11、若 ，则下列不等式中成立的是（ ）
A.
B.
C.e
D. e
12、正方体 的棱长为2，O为底面ABCD的中心．P为线段 上的动点（不包括两个端
点），则（ ）
A.不存在点P，使得 平面
B.正方体 的外接球表面积为
C.存在P点，使得
D.当P为线段 中点时，过A，P，O三点的平面截此正方体 外接球所得的截面的面积
为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知向量 ， ，若 ，则t的值为 ．
14、设 ， 是椭圆 的两个焦点.若在 上存在一点 ，使 ，且
，则 的离心率为 .
15、写出一个数列 的通项公式，使得这个数列的前n项积当且仅当 时取最大值，则 ．（写
出一个即可）
16、已知函数 及其导函数 的定义域均为R，若 和 均为奇函数，则
．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知函数 在 上单调递减，设实数a的取值集合为M．
(1)求 ；
(2)若函数 在区间M上单调递增，求实数m的取值范围．
18、（本小题12分）
已知等差数列 的通项公式为 ，记数列 的前n项和为 N ，且数列
为等差数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 N ，求 的通项公式．
19、（本小题12分）
如图，在四棱维 中，底面 为正方形，侧面PAD是正三角形，平面 平面 ，
（ ）．
(1)若 ，求证： 平面ABE；
(2)若平面ABE与平面PAC的夹角为 ，且 ，求 的值．
20、（本小题12分）
在① ；② ；③ ．
三个条件中选一个，补充在下面的横线处，并解答问题．
在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为S．且满足______．
(1)求A的大小；
(2)设 的面积为6，点D为边BC的中点，求 的最小值．
21、（本小题12分）
已知点 和直线 ： ，直线 过直线 上的动点M且与直线 垂直，线段 的垂直平分线l与直线
相交于点P．
(1)求点P轨迹C的方程；
(2)过点F的直线l与C交于 两点．若C上恰好存在三个点 ，使得 的面积等于 ，求l
的方程．
22、（本小题12分）
已知函数 e ， ．
(1)证明： 存在唯一零点；
(2)设 e ，若存在 ，使得 ，证明：
．
参考答案
一、单选题
1、
【答案】
C
【分析】
写出由集合A中满足小于 的自然数元素组成的集合即可.
【详解】
集合A中满足小于 的自然数元素有0，1，2，
所以 .
故选：C.
2、
【答案】
A
【分析】
利用复数的除法，然后利用复数的实部与虚部相等即得.
【详解】
i i i i
i，
i i i
由于复数 的实部与虚部相等，
则 ，
解得 .
故选：A.
3、
【答案】
B
【分析】
解不等式 得 或 ，选出其必要不充分条件即可.
【详解】
p： ，即 且 ，解得 或 ，
所以p： 或 ，
对于A， 是p的既不充分也不必要条件；
对于B， 即 或 ，是p的必要不充分条件；
对于C， 即 或 ，是p的充分不必要条件；
对于D， 是p的充分不必要条件；
故选：B.
4、
【答案】
D
【分析】
因为 是等比数列，
所以 ， ， ， 成等比数列．
又因为 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ， ．
故选D．
5、
【答案】
D
【分析】
由复合函数单调性及定义域可求解.
【详解】
由复合函数单调性的规律和函数定义域可知：
函数 在 上单调递增且 在 上恒成立，
则有 ，解得 ，则a的取值范围为 .
故选：D
6、
【答案】
D
【分析】
首先求圆心到直线的距离，再利用数形结合可得 的值.
【详解】
圆心 到直线 的距离 ，
若圆上有3个点到直线 的距离等于1，则 .
故选：D
7、
【答案】
C
【分析】
利用圆台的体积公式求得盆中积水的体积，进而求得平地降雨量.
【详解】
由题意，可知圆台形天池盆上底面半径为18寸，下底面半径为6寸，高为18寸，
则盆中积水的体积为 ，
又盆口面积为 ，
所以平地降雨量为 (寸).
故选：C.
8、
【答案】
A
【分析】
先求出 的范围，然后结合函数图象、零点个数和极值点个数可 + ，进而求
出 + 可得答案.
【详解】
因为\xin ，所以 ，
因为 sin 在区间 内恰好有3个零点，4个极值点，
结合函数图象可得： + ，
解得 ， 的取值范围是 .
故选：A.
二、多选题
9、
【答案】
A;D
【分析】
根据双曲线焦点的位置讨论，结合条件即得.
【详解】
若双曲线C的焦点在 轴上，可设方程为 ，
则 ，解得 ，双曲线C方程为 ；
若双曲线C的焦点在 轴上，可设方程为 ，
则 ，解得 ，双曲线C方程为 .
故选：AD.
10、
【答案】
A;C;D
【分析】
利用各组的频率之和为1，列出方程求解 ，然后根据众数，中位数及百分位数的概念逐项分析即得.
【详解】
由直方图的性质可得 ，
解得 ，故A正确；
由直方图可知月平均用电量的众数 ，故B错误；
因为 ，
所以月平均用电量的中位数在 内，设中位数为a，
则 ，
解得 ，故C正确；
因为 ，
，
所以月平均用电量的75%分位数位于区间 ， 内，故D正确.
故选：ACD.
11、
【答案】
A;C
【分析】
根据指数函数以及幂函数的单调性可判断A;举反例可判断B,D；根据e 的特征，构造函数
e ，利用其单调性可得e ，可判断e ，判断C.
【详解】
由于 ，故 为R上单调增函数，
所以 ，而 是 上的增函数，故 ，
所以 ，A正确；
取 满足 ，但 ，B错误；
设 e ，则 e ，
由于 e ，故 ，即 e 是 上的增函数，
故 e ，
由于 ，则 ，故e e ，C正确；
取 e , ，满足 ，而 e e ，故D错误，
故选：AC
12、
【答案】
A;B;D
【分析】
利用反证法，由此判断A；求正方体的外接球的半径，结合球的体积公式判断B；根据勾股定理判断C；根据球
的截面性质判断D.
【详解】
假设存在点P，使得 平面 ，
在 上取点 ，使得 ，又 // ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 // = ，又 // =
所以四边形 为平行四边形，故 // ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，又 平面 ， , 平面 ，
所以平面 //平面 ，与已知矛盾，
所以不存在点P，使得 平面 ，A正确；
正方体 的外接球的球心为 的中点，外接球的半径 ，
所以正方体 的外接球表面积 ，B正确；
假设存在P点，使得 ，在线段 上取点 使得 ,
设 ，则 ， ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，与已知矛盾；C错误；
取 的中点 ，因为P为线段 中点时，连接 交 与点 ，
所以 // ，又 // ，
所以 // ，故过A，P，O三点的平面为平面 ，
取 的中点 ，过 作 ，垂足为 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 ，
， 平面 ，所以 平面 ，
过球心 作 // ，则 平面 ，
所以正方体 的外接球的球心到截面 的距离为 的长，
又 ，
所以 ，因为 为 的中点，所以 ，
故截面圆的半径为 ，
所以截面圆的面积 ，D正确；
故选：ABD.
【点睛】
本题为立体几何综合问题，考查面面平行的证明，正方体的外接球，求得截面问题，解决球的截面问题的关键
在于合理使用球的截面的性质.
三、填空题
13、
【答案】
【分析】
利用向量的线性运算的坐标运算及向量垂直的坐标表示，结合向量的数量积坐标表示即可求解.
【详解】
因为向量 ， ，
所以 ， ，
又因为 ，
所以 ，即 ，
解得 .
故答案为： .
14、
【答案】
.
【分析】
由已知可得三角形是等腰直角三角形，则根据椭圆定义可得三角形三边长度，利用勾股定理即可求解.
【详解】
由已知可得三角形 是等腰直角三角形，且 ， ，
由椭圆的定义可得 ， ，又 ，
在△ 中，由勾股定理可得： ，即 ，
，
故答案为： .
【点睛】
该题考查了椭圆定义以及直角三角形中的勾股定理问题，属于基础题目.
15、
【答案】
（答案不唯一）
【分析】
根据等差数列的前 项和公式，指数函数及二次函数的性质求解即得.
【详解】
对于 ，其前 项积为 ，
令 ， N ，由二次函数的性质可知，当且仅当 时 取到最小值，
又函数 单调递减，所以当且仅当 时 取到最大值，
所以 满足题意.
故答案为： （答案不唯一）
16、
【答案】
【分析】
由原函数的奇偶性，对称性推导函数的周期性，构造新函数求解即可.
【详解】
因为 为奇函数，则 关于点 中心对称，
所以 关于直线 对称，
所以 ，
令 ，
则 ， ，
所以 ，
所以 关于直线 对称，
又因为 为奇函数，
所以 ，
所以 ，
所以 关于点 中心对称，
令 ，则 ，
由 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以周期为 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
四、解答题
17、
【答案】
(1)
(2) ．
【分析】
(1)由导数与函数的单调性的关系列不等关系求 ；
(2)根据对数函数的单调性和复合函数的单调性结论列不等式求m的取值范围．
【详解】
（1）因为 ，所以 ．
因为函数 在 上单调递减，
所以 对 \xin 成立，
所以 对 \xin 成立，
又
所以 ，
所以实数a的取值集合为 ；
（2）函数 在区间 上单调递增，
所以函数 为 上的增函数， 且当 时， 恒成立，
由函数性质可得
所以0所以m的取值范围为 ．
18、
【答案】
(1) ；
(2) .
【分析】
（1）根据数列通项及等差中项的性质即得；
（2）由题可得 ，然后利用裂项相消法即得.
【详解】
（1）因为 ，数列 为等差数列，
所以 ， ， ，
所以 ，又 ，
解得 ，
所以 ；
（2）由（1）得 ，所以
，
所以
．
19、
【答案】
(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】
（1）根据面面垂直的性质定理可得 平面 ，然后利用线面垂直的判定定理即得；
（2）利用坐标法，根据面面角的向量求法即得.
【详解】
（1）当 时， 为 的中点，又因为 为正三角形，
所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以 ，又 ， 平面 ， 平面 ，
故PD⊥平面 ；
（2）取 的中点 ，则 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
在平面PAD内作 ，则Az⊥平面ABCD，即有射线AB，AD，Az两两垂直，
以A为坐标原点，AB，AD，Az所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
设 ，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
所以 ， ，
则 ， ， ， ，
设平面ABE的一个法向量 ，则 ，
令 ，得 ，
设平面 的一个法向量 ，则 ，
令 ，得 ，
所以 ，
设 （t<0），可解得 或 ，
由 ，可得 ，
由 ，可得 (舍去)，
所以 ．
20、
【答案】
(1)
(2) ．
【分析】
（1）分别选取三个条件，运用正余弦定理，三角形面积公式及三角恒等变换结合条件即得；
（2）由题可得 ，然后根据向量的运算及基本不等式即得.
【详解】
（1）选①，由 ，
化简得： ，
所以 ，即 ，
在 中， ， ，
因为 ，所以 ；
选②， ，
所以 ，
因为 ，所以 ；
选③， ，
由正弦定理和切化弦得 ，
在 中， ，
所以 ，
在 中， ，因为 ，
所以 ，得 ；
（2）由 ，得 ，
由 ，有 ，
所以
，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 ．
21、
【答案】
(1)
(2) 或 ．
【分析】
（1）根据抛物线的定义可判断东点轨迹为抛物线，即而求得抛物线方程；
（2）设l的方程为 ，作与l平行且与C相切的直线 ，切点为D,表示出切点D的坐标，联立方程，求出
弦长 ，利用三角形 的面积可求得k的值，说明符合题意，C上恰好存在三个点 ，使得
的面积等于 ，即得答案.
【详解】
（1）连接PF，因为MF的垂直平分线l交 于点P，所以 ，
即点P到定点 的距离等于点P到直线 ： 的距离，
由抛物线的定义，点P的轨迹为抛物线 ,
即点P轨迹C的方程为 .
（2）如图，作与l平行且与C相切的直线 ，切点为D,
由题知 的面积等于 ．
由题意知直线l的斜率一定存在，设l的方程为 ，
方程 可化为 ，则 ，
设 ，令 ，解得 ，
将 代入 ，得 ，故 ，
所以D到l的距离 ，
由 ，消去y，得 ， ，
从而 ， ，
所以 ，
故 的面积 ，从而 ，
解得 或 ，
此时 或 为使得 的面积等于 的一个点，
那么在直线l的上方必然也存在着一条直线和l平行，和l的距离为 ，
这条直线与抛物线有两个交点也使得 的面积等于 ，
即此时C上恰好存在三个点 ，使得 的面积等于 ，
所以l的方程为 或 ．
【点睛】
关键点点睛：要满足C上恰好存在三个点 ，使得 的面积等于 ，关键在于找到使得
面积等于 时，和直线l平行且和抛物线相切的那条直线，即表示出切点坐标，从而表示出三角形的
高，进而利用面积求得答案.
22、
【答案】
(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
（1）利用导函数求 单调性，结合 即可求解.
（2）由题意可得 e ，若 是方程 的根，则
是方程 的根，所以 ， ，再利用导函数求
的最小值即可.
【详解】
（1）由题意可得 e ，
记 e ，则 e ，
因为 时， 恒成立，所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 在 上恒小于0，在 上恒大于0，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 ，所以 有唯一零点0．
（2）由 可得 e ，
若 是方程 的根，则 是方程 的根，
因为 ， 都单调递增，
所以 ， ，
设 ， ，
所以 的解为 ， 的解为 ，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以 的最小值为 ，即 的最小值为 ．
故原不等式成立.
【点睛】
当函数的一阶导数符号不好判断时，常利用二阶导数判断一阶导数的单调性，进而得到一阶导数大于0和小于0
的区间.