2022~2023学年四川成都青羊区四川省成都市石室中学高一下学期期中数学试卷（图片版，含解析）

2022~2023学年四川成都青羊区四川省成都市石室中学高一下学期期中数
学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知向量 ，且 ，则x＝（　　）.
A.8
B.2
C.4
D.
2、已知复数 ， 在复平面内对应的点关于虚轴对称，若 ，则
A.
B.
C.
D.
3、已知圆锥的表面积等于 cm ，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面的半径为（ ）
A. cm
B. cm
C. cm
D. cm
4、已知函数 向左平移 个单位后，得到函数 ，下列关于 的说法正确的是.
A.图象关于点 - 中心对称
3
B.图象关于 轴对称
C.在 单调递减
D.在区间 单调递增
5、在 中，三个内角 所对的边为 ， ， ，若 ， ，
，则 （ ）
A.
B.
C.4
D.
6、如图，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上一个动点，以DC为边作等边三
角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧，则四边形OPDC面积的最大值为（ ）
A.2
B.
C.
D.
7、如图，函数 （ ， ， ）的部分图象与坐标轴的三个交点分别为
，Q，R，且线段RQ的中点M的坐标为 ，则 等于（ ）
A.1
B.－1
C.
D.
8、在 中， ， 为线段 上的点，且 .若 ，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、下列有关复数 的叙述正确的是（ ）
A.若 i ，则 i
B.若 ，则 的虚部为 i
i
C.若 i ，则 不可能为纯虚数 ．
D.若 i ，则 ．
10、下列说法正确的是（ ）
A.圆柱的所有母线长都相等
B.棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
C.底面是正多边形的棱锥是正棱锥
D.棱台的侧棱延长后必交于一点
11、在 中，角 所对的边分别为 ，则下列结论正确的是（ ）
A.若 ，则 为锐角三角形
B.若 为锐角三角形，则
C.若 ，则 为等腰三角形
D.若 ，则 是等腰三角形
12、著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离
是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC的外心为O，
重心为G，垂心为H，M为BC中点，且AB=4，AC=2，则下列各式正确的有（ ）
A.
B.
C.
D.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、 的值为 ．
14、在 中，AB＝5，AC＝6，D是BC的中点，H是 的垂心，则 .
15、如图，在 中，已知 ， 为 上一点，且满足
\or \ing ，若 的面积为 ， ，则 的最小值为 .
16、在 中，角 的对边分别为 ， ， ，若 有最大值，则实数 的取值范
围是 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
在 中， ， .
(1)求角 的大小；
(2)若 的最长边的边长为 ，求 最短边的边长.
18、（本小题12分）
已知复数 .
(1)求 的值；
(2)设 ， ， ，求 .
19、（本小题12分）
在 中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且 .
(1)求A的大小；
(2)若a＝7，且顶点A到边BC的距离等于 ，求b和c的长.
20、（本小题12分）
某学校的一个数学兴趣小组在学习了正弦定理、余弦定理的应用后，准备测量学校附近一座建筑物的高度.建筑
物最高点 在地面上的投影 位于建筑物内部，不可到达且不可从外部看到，该小组在学校操场上任意选择了
相距30 m的 ， 两点进行测量.有三位同学各自提出了一种方案，并测出了相应的数据.
方案一：从 ， 两点分别测得点 的仰角 和 ，再从 点测得 .其中 ， ，
.
方案二：从点 处测得 ，从点 处测得 和点 的仰角 .其中 ，
， .
方案三：从点 处分别测得点 和 的俯角 和 ，以及 .其中 ， ，
.
从上述三种方案中选择一种你认为能够测出建筑物的高度 的方案，并根据该方案中的数据计算出 的长.
（注意：只能使用你所选择的方案中的数据，不能使用未选择的方案中的数据.如果选择多个方案，则按照所选
的第一个方案的解答计分.）
21、（本小题12分）
如图，已知 中， ， ， ，点 是 的内切圆圆心（即 三条内角平分
线的交点），直线 与 交于点 .
(1)设 ，求 和 的值；
(2)求线段 的长.
22、（本小题12分）
凸四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝4，DA＝6.记 ， .
(1)求 的值；
(2)设凸四边形ABCD的面积为S，求S的最大值，以及当S取得最大值时 的值.
参考答案
一、单选题
1、
【答案】
A
【分析】
通过题意得： ，解得： .
因此正确答案为：A
2、
【答案】
D
【分析】
通过题意可得： ，
则 .
因此正确答案为D.
3、
【答案】
C
【分析】
设圆锥的底面圆的半径为 ，母线长为 ，利用侧面展开图是一个半圆，求得 与 之间的关系，代入表面积公式即
可得解.
【详解】
设圆锥的底面圆的半径为 ，母线长为 ，
圆锥的侧面展开图是一个半圆， ，
圆锥的表面积为 ， ， ，
故圆锥的底面半径为 cm，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查圆锥的表面积公式及圆锥的侧面展开图，解题的关键是利用侧面展开图时一个半圆，求
得母线长与半径的关系，考查学生的计算能力，属于一般题.
4、
【答案】
D
【分析】
函数 sin 的图象向左平移 个单位，得到的图象对应的函数为 ．
对于A，当 时， ．图象不关于点 - 中心对称，∴A有误；对于B，当
3
时， ，图象不关于 轴对称，∴B有误；对于C， 的周期是 ．当
时，函数取得最大值，∴在 单调递减不正确，∴C有误； 的周期是 ．当 时，
函数取得最大值， 时，函数取得最小值，∵ ，∴在区间
单调递增，∴D无误
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟
练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 而言. 函数 是奇函数
；函数 是偶函数 + ；函数
是奇函数 + ；函数 是偶函数
.
5、
【答案】
B
【分析】
解：因为 ，所以 ，又
，所以 ．
因为 ＝ ，所以 ．
因为 ，
所以 ＝ ，
所以 ，
因此正确答案为：B．
6、
【答案】
D
【分析】
设 ，
在 中，由余弦定理得： ，
所以四边形OPDC面积
因为 ，所以 ，
所以当 ，即 时，四边形OPDC面积的最大值为 .
因此正确答案为：D
7、
【答案】
A
【分析】
设 ，
线段 的中点 的坐标为 ,
，解得 ，
，解得 ，
当 时，
根据五点法画图，令 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
.
.
因此正确答案为：A
8、
【答案】
B
【分析】
不妨设
由余弦定理：
联立得到：
因此正确答案为：B
二、多选题
9、
【答案】
A;C;D
【分析】
i i，所以 i，A无误；
i，虚部是 ，B有误；
i
i ，若 ，则 是实数，若 ，则 i是虚数，不是纯虚数，C无误；
i ，则复数 对应的点 在以 为圆心，1为半径的圆上，这个圆上的点到原点的距离最小值为0，最
大值为2，所以 ，D无误．
因此正确答案为：ACD．
10、
【答案】
A;B;D
【分析】
选项A：圆柱的所有母线长都相等.判断正确；
选项B：棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形.判断正确；
选项C：底面是正多边形且顶点在底面的射影为底面正多边形的中心的棱锥是正棱锥.判断错误；
选项D：棱台的侧棱延长后必交于一点.判断正确.
因此正确答案为：ABD
11、
【答案】
B;D
【分析】
对于A，由余弦定理可得 ，即 ，但无法判定A、C的范围，故A有误；
对于B，若 为锐角三角形，则有 ，由正弦函数的单调性可得
，故B无误；
对于C，若 ，由正弦函数的性质可得 或 ，又 、
，故 或 ，所以C有误；
对于D，若 ，由正弦定理可得 ，结合两角和的正弦公式得
又 、 ，所以 、 ，故 ，所以D无误.
因此正确答案为：BD
12、
【答案】
B;C;D
【分析】
由G是三角形ABC的重心可得 ，所以
\minus \minus = ，故A项错误；
过三角形ABC的外心O分别作AB、AC的垂线，垂足为D、E，如图（1），易知D、E分别是AB、AC的中点，则
\angleOAE\minus \angleOAD
\minus
\minus \minus ，故B项正确；
因为G是三角形ABC的重心，所以有 ，故
，
由欧拉线定理可得 ，故C项正确；
如图（2），由 可得 ，即 ，则有
，D项正确，
因此正确答案为：BCD.
三、填空题
13、
【答案】
【分析】
．
故答案为： ．
14、
【答案】
【分析】
因为H是 的垂心，可得 ，所以 .
又因为D是BC的中点，可得AD是中线，所以 .
从而
.
因此正确答案为：
15、
【答案】
【分析】
设 ，则 .
由平面向量基本定理可得： ，解得： ，
，令 ， ，
则 ，
，且 ， .
，
当且仅当 ，即 ，即 时等号成立.
即 .
因此正确答案为：
16、
【答案】
【分析】
由于 ，所以 ，
由正弦定理得 ，
所以 ， ，
所以
.
当 ，即 时， ，没有最大值，所以 ，
则 ，其中 ，
要使 有最大值，则 要能取 ，由于 ，
所以 ，所以 ，即 ，解得 .
所以 的取值范围是 .
因此正确答案为：
四、解答题
17、
【答案】
(1)
(2)1
【分析】
（1）因为 ， ，
所以 .
因为 ，所以 ，因此 .
（2）因为 ，且 、 均为锐角，所以 ，
又由于 是钝角，所以最长边为 ，最短边为 ，
由 ，解得 或 （舍去），
又 ，由正弦定理 ，所以 .
18、
【答案】
(1)
(2)
【分析】
（1）因为 ，
所以 ，
所以 .
（2）由（1）得 ，
所以
，
因此 .
19、
【答案】
(1)
(2)b＝3，c＝5或b＝5，c＝3
【分析】
（1）由正弦定理， ，
即 .
因为 ， ，
所以 .
（2）由（1）可知 ①.
又因为 ，所以 ②，
联立①②解得b＝3，c＝5或b＝5，c＝3.
20、
【答案】
答案见解析.
【分析】
选择方案二，则 ，
.
由于 ，
所以
.
在 中，由正弦定理可得 ，
因此 ，
从而 .
选择方案三：设 ，则 ， .
在 中，由余弦定理可得 ，
即 ，解得 （舍去负根）.
所以 .
如果选择方案一，因为 ，所以 ，
设 ，则 ， .
由正弦定理计算可得 ，
则 有两种可能取值，
所以 ，
故不能唯一确定 的值.
21、
【答案】
(1) ，
(2)
【分析】
（1）由于 是 的平分线，所以 ，
因此 ，从而 ，
由平面向量基本定理可得 ， .
（2）由（1）可知 .
通过题意， ， .
由 得 ，
即 ，所以 .
因此 ，即 ，
又 ， ，所以 ，
连结 ，则 是 的平分线，因此 ，从而 .
22、
【答案】
(1) ；
(2) ， .
【分析】
（1）在 内，由余弦定理得 ；
在 内，由余弦定理得 ，
因此 ，整理得 ，
所以 .
（2）通过题意，
，
因此 .
由（1）知 ，得 ，
两式相加得 ，
因此当 时， 取得最大值9，此时 ，
所以当 时，S的最大值是 .