湖北荆州沙市区沙市中学2023~2024学年高三上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

2023~2024学年湖北荆州沙市区湖北省沙市中学高三上学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、设 ，则 的大小关系为（ ）
A.
B.
C.
D.
2、已知函数 ，则函数 在 上的单调性为（ ）
A.单调递增
B.单调递减
C.先增后减
D.先减后增
3、已知数列 为递增数列，前 项和 ，则实数 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
4、 的展开式中 的系数为（ ）
A.9
B.10
C.24
D.25
5、已知随机变量 ，则概率 最大时， 的取值为（ ）
A.
B.
C. 或
D. 或
6、已知 为 的边 所在直线上一点，且 ，点 在直线 上，且 ，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
7、已知正方体 的棱长为 ， 分别为 和 的中点, 为线段 上的动点， 为
上底面 内的动点，下列判断正确的是（ ）
①三棱锥 的体积是定值；②若 恒成立，则线段 的最大值为 ；③当 与 所成的
角为 时，点 的轨迹为双曲线的一部分；
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
8、已知椭圆 的右焦点为 ，过 作倾斜角为 的直线l交该椭圆上半部分于点 ，
以 ， （ 为坐标原点）为邻边作平行四边形 ，点 恰好也在该椭圆上，则该椭圆的离心率为
（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、设 ， 分别为随机事件 ， 的对立事件，已知 ， ，则下列说法正确的是（
）．
A.
B.
C.若 ， 是相互独立事件，则
D.若 ， 是互斥事件，则
10、已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A.函数图像关于直线 对称
B.函数有最小值
C.函数在 上单调递减
D.函数的零点为
11、如果一个人爬楼梯的方式只有两种，一次上一级台阶或一次上两级台阶，设爬上 级台阶的方法数为 ，
则下列结论正确的有（ ）
A.
B.
C.
D.
12、若 对任给 恒成立，则实数 的取值集合的子集可以是（ ）
A.
B.
C.
D.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、函数 的最小正周期为 .
14、若圆锥的底面直径为6，母线长为5，则其内切球的表面积为 ．
15、若正方形 边长为 ，点 为其内切圆上的动点， ，则 的取值范围是 .
16、已知实数 满足 ，则 的最大值为 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知 的三边 满足： ．
(1)求角 ；
(2)若 ， ，当 面积最大时，求 的长．
18、（本小题12分）
已知正项数列 ，其前 项和 满足 ，
(1)求 的通项公式.
(2)证明： .
19、（本小题12分）
在梯形 中， , ， ,且
.
(1)若点 在线段 上滑动，设 与面 所成的角为 ，试求 的最大值
(2)求点 到面 的距离.
20、（本小题12分）
在正三棱柱 中，点 处有一只小蚂蚁，每次随机等可能地沿各条棱或侧面对角线向另一顶点移
动，设小蚂蚁移动 次后仍在底面 的顶点处的概率为 .
(1)求 ， 的值.
(2)求 .
21、（本小题12分）
已知双曲线 的实轴长为 ，左右两个顶点分别为 ，经过点 的直线
交双曲线的右支于 两点，且 在 轴上方，当 轴时， .
(1)求双曲线方程.
(2)求证：直线 的斜率之比为定值.
22、（本小题12分）
设函数 ，当 时， ，求实数 的取值范围.
参考答案
一、单选题
1、
【答案】
D
【分析】
由 ，结合幂函数 的单调性可得 ，又根据 ，
而 ，从而可判断.
【详解】
因为 ，
而 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
又 ，而 ，则 ，
所以 .
故选：D.
2、
【答案】
B
【分析】
先根据 求出 在 上的解析式，进而可根据指数函数的单调性进行判断.
【详解】
当 时， ，
此时 ，
由指数函数的性质知， 函数 在 上单调递减，
故选：B
3、
【答案】
B
【分析】
当 时， = ，
故可知当 时， 单调递增，故 为递增数列只需满足 ，即
因此正确答案为：B
4、
【答案】
B
【分析】
的通项 ，
令 ， ，令 ， ，令 ， ，
展开式中 的系数为 .
所以 的展开式中 的系数为10.
因此正确答案为：B
5、
【答案】
C
【分析】
根据二项分布的随机变量取值的概率公式建立不等关系，可得最大值时的 ．
【详解】
依题意 C C ，
由 ，
即 ，解得 或 .
故选：C.
6、
【答案】
A
【分析】
由平面向量基本定理的推论求解．
【详解】
，
而 三点共线，故 ，即 ，
故选：A
7、
【答案】
A
【分析】
根据题意，得到 ，得出点 到直线 的距离等于点 到直线 的距离的一半，锥体的体积公式
求得三棱锥 的体积为 ，可判定①正确；以 为原点，建立空间直角坐标系，设
，得到 ，再设 ，得到
，结合 ，化简得到 ，进而求得线段 取得最大值为 ，可判定②正确；由 与 的
所成的角为 ，结合向量的夹角公式，求得轨迹方程为 可判定③错误.
【详解】
如图（1）所示，因为点 为 的中点，又由 是 的中点，可得 ，
又因为点 为 上的动点，所以点 到直线 的距离等于点 到 的距离，
所以点 到直线 的距离等于点 到直线 的距离的一半，
因为正方体的棱长为4，可得 ，
因为 面 ，且 面 ，所以 ，
可得点 到直线 的距离为 ，所以点 到直线 的距离 ，
所以 的面积为 ，
由 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ，且 ，
所以三棱锥 的体积为 （定值），所以①正确；
如图（2）所示，以 为原点，以 所在的直线分别为 轴、 轴和 轴，建立空间直角坐标系，可得
，
设 ，
由
设 ，则 ，
因为 ，所以 ，可得 ，
所以 ，
又因为 且 ，可得 ，
所以当 时，线段 取得最大值，最大值为 ，所以②正确；
因为 ，
又因为 与 的所成的角为 ，
所以 ，
整理得 且 ，所以点 的轨迹为抛物线的一部分，所以③错误.
故选：A.
【点睛】
8、
【答案】
B
【分析】
设点 ， ， 中， ，而点 均在椭圆上，由椭圆对称性得 ，
令椭圆半焦距为c， ，由 得：
，
解得 ，
而 ，
因此 ，
即 ，
又 ，则 ，
整理得 ，
而 ，则有 ，解得 ，
所以该椭圆的离心率为 .
因此正确答案为：B
二、多选题
9、
【答案】
A;C
【分析】
略
10、
【答案】
A;B;C
【分析】
对于A，利用对称性结论进行证明；对于B，根据正弦函数值域以及二次函数值域的求解方法进行求解；对于
C，利用复合函数单调性的讨论方法进行求解；对于D，直接求函数的零点进行验证.
【详解】
因为 ，
所以函数 的周期为 .
对于A， ，
所以函数图像关于直线 对称；
对于B，因为函数 的周期为 ，所以只考虑 ， ，
，
，
当 时， 取最小值，最小值为0，故B正确；
对于C，函数 在 上单调递增，设 ，
在 单调递减，所以函数 在 上单调递减；
对于D，令 ，即 ，则 ，
即 或 ，又 ，所以 ，故D错误.
故选：ABC.
11、
【答案】
A;B;D
【分析】
到第 级阶梯有两种方法：方法一：从第 级阶梯上一级台阶即可；或者方法二：从第 级阶梯上两级台
阶；所以由题意有 ，再结合数列的性质分别判断各个选项即可.
【详解】
对于B选项：由于到第 级阶梯有两种方法：从第 级阶梯上一级台阶或者从第 级阶梯上两级台阶，
因此由题意有 ，故B选项正确；
对于A选项：显然 ，又结合B选项分析可知 ，
所以 ， ， ， ，故A选项正确；
对于C选项：由A、B选项分析可知 ， ， ，
， ， ，
所以 ，故C选项错误，
对于D选项：由B选项分析可知 ，
再裂项求和
，故D选项正确.
故选：ABD.
12、
【答案】
A;B
【分析】
根据题意，把不等式转化为 ，令 ，转化为 在 上恒
成立，求得 ，利用导数求得 在 上单调递增，且 ，再由
，得到 ，求得 ，得出实数 的取值范围，结合选项，即可求
解.
【详解】
由 ，可得 ，
则不等式 等价于不等式 ，
因为不等式 在 上恒成立，
令 ，即 在 上恒成立，
又由 ，令 ，
可得 ，所以 在 上单调递增，
又因为 ，所以 ，
所以 ，可得 在 上单调递增，且 ，
再令 ，可得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以 ，所以 ，
因为 且 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
又由 ，所以 ，即实数 的取值范围为 ，
结合选项，AB符合题意.
故选：AB.
【点睛】
方法总结：利用导数求解函数或不等式的恒成立（有解）问题的求解策略:
形如 的恒成立的求解策略：
1、构造函数法：令 ，利用导数求得函数 的单调性与最小值，只需 恒成
立即可；
2、参数分离法：转化为 或 恒成立，即 或 恒成立，只需利用导数求
得函数 的单调性与最值即可；
形如 的有解的求解策略：
1、构造函数法：令 ，利用导数求得函数 的单调性与最小值，只需 恒成
立即可；
2、参数分离法：转化为 或 恒成立，即 或 恒成立，只需利用导数求
得函数 的单调性与最值即可.
三、填空题
13、
【答案】
/
【分析】
由函数周期性与诱导公式求解，
【详解】
由诱导公式可知， ，
当 时， 与 不恒相等，故 的最小正周期为 ，
故答案为：
14、
【答案】
【分析】
画出剖面图后进行分析，注意利用三角形面积公式与内切圆半径的关系，即 .
【详解】
圆锥的轴截面如图所示，
则圆锥的高 ，设内切球的半径为r，
根据面积相等，可得圆锥轴截面的面积为 ，
得到 ，
所以内切球的表面积为 ．
故答案为：
15、
【答案】
【分析】
以正方体的中心为原点，建立平面直角坐标系，设点 的坐标为 ，根据题意得到
，求得 ，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】
以正方体的中心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
因为正方体的棱长为 ，可得 ，
又由正方形的内切圆的方程为 ，设点 的坐标为 ，
则 ， ，
因为 ，可得 ，
所以 ，可得 ，
因为 ，所以 .
故答案为：
16、
【答案】
【分析】
由换元法构造函数，再由导数判断单调性后求解最值．
【详解】
由条件知 令 ，
则 ，
令 ，
则 ，
当 时， ，当 时， 时， ，
故当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
当 时， 取得最大值 ，
故答案为：
四、解答题
17、
【答案】
(1)
(2)
【分析】
（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式可得 ，即可求出角C；
（2）由余弦定理结合均值不等式可得 ，可求出当 的面积最大值时 ，再由余弦定理即可
求出CD的长．
【详解】
（1）由 ，
则根据正弦定理可得 ，
所以 ，
即 ，
得 ，
由 ，则 ，所以 ，
又 ，所以 ．
（2）由余弦定理得 ，
则 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，
此时 ，
若 的面积取到最大，则 ， 为等边三角形，
又 ，则 ，所以 ，
则由余弦定理得 ，
所以 ．
18、
【答案】
(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）由 与 的关系化简与累加法求解，
（2）由裂项相消法求和后证明．
【详解】
（1）当 时， ，解得 ，
当 时， ，则 ，
由累加法得 ，
，故 ， 也满足该式
综上，
（2）
19、
【答案】
(1)
(2)
【分析】
（1）作出辅助线，求出各边长，证明线线垂直，进而得到线线垂直，得到 两两垂直，建立空间直
角坐标系，设 ，表达出 ，求出最大值；
（2）在（1）的基础上，利用点到平面距离公式进行求解.
【详解】
（1）过点 作 ⊥ 于点 ，连接 ，
因为梯形 中， , ，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ，由勾股定理得 ，
因为 ，所以 ， ，
由勾股定理得 ，
在 中， ，
由余弦定理可得 ，
又 ，故 ，所以 ⊥ ，
因为 ⊥ ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ，所以 ⊥ ，
在 中， ，
由勾股定理得 ，
故 ，
在 中，由勾股定理得 ，
因为 ，由勾股定理逆定理可得 ⊥ ，
因为 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
设 ， ，平面 的法向量为 ，
则 ，
解得 ，令 ，则 ，
故 ，
，
故
当 时， ，
当 时， ，故当 时， 取得最大值，
最大值为 ，
故 的最大值为 ；
（2）设平面 的法向量为 ，
，
解得 ，令 得 ，
故 ，
所以点 到面 的距离为 .
20、
【答案】
(1)
(2)
【分析】
（1）根据题意，结合相互独立事件乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解；
（2）设 表示第 次在平面 的顶点上的概率， 表示第 次在平面 的顶点上的
概率，根据底面走到底面的概率为 和上底面走到底面的概率为 ，得到 ，结合等
比数列的通项公式，即可求解.
【详解】
（1）解：由题意，蚂蚁从点 出发，共有5种不同的移动方式，
其中仍在底面 的顶点处，包含2种移动方式，所以 ；
若第1次移动到 ，第2次移动仍在底面 的顶点处，概率为 ；
若第1次移动到 ，第2次移动仍在底面 的顶点处，概率为 ；
若第1次移动到 ，第2次移动仍在底面 的顶点处，概率为 ；
若第1次移动到 ，第2次移动仍在底面 的顶点处，概率为 ；
若第1次移动到 ，第2次移动仍在底面 的顶点处，概率为 ；
根据互斥事件的概率加法公司，可得 ，
（2）解：当 时， 表示第 次在平面 的顶点上的概率，
表示第 次在平面 的顶点上的概率，
由底面走到底面的概率为 ，由上底面走到底面的概率为 ，
所以 ，可得 ，
因为 ，所以数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
所以 ，可得 .
21、
【答案】
(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）根据双曲线的通径及实轴计算即可；
（2）联立直线与双曲线方程利用韦达定理及斜率公式作比计算即可.
【详解】
（1）由题意可得 ，
当 轴时，直线 ，
则 ，
又 ，所以 ；
（2）
由题意可知 、 ，
不妨设 ： , 、 ，易知 ，
联立双曲线方程得 ，
则 ，且 ，不难发现
由斜率公式可知 ，
则 ，
故 是定值.
【点睛】
关键点睛：本题关键在于比值式是不对称的，不能直接利用韦达定理，这里需要用 去整
体代换化简求值.
22、
【答案】
【分析】
构造函数 ，分类讨论 的单调性后求解．
【详解】
令 ，则 ，显然 ，
若 时， ，则 ，解得 ，
下面证明充分性，当 时， ，
由 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
，故 ，
故 在 上单调递增，当 时， 恒成立，
当 时， ，必存在 ，使得当 时 ，此时 在 上单调递减，
，不满足题意．
综上， 的取值范围是