寒假解答题能力提升专项卷2023-2024学年数学九年级上册苏科版

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寒假解答题能力提升专项卷2023-2024学年数学九年级上册苏科版
1．为落实“双减”政策，充分利用好课后服务时间，我校成立了陶艺、园艺、厨艺3个活动小组，分别用卡片、、表示，现有甲、乙两位同学积极报名参加，其中一名同学随机抽取1张后，放回并混在一起，另一名同学再随机抽取1张，那么出甲、乙两位同学中至少有一名参加园艺活动小组的概率是多少？（请用树状图或列表的方法求解）
2．如图，学校为美化环境，在靠墙的一侧设计了一块矩形花圃，其中，墙长，花圃三边外围用篱笆围起，共用篱笆．设CD的长为．
(1)则的长为 ，的长为 ，（用含x的代数式表示）
(2)若花圃的面积为，求花圃一边的长；
(3)花圃的面积能达到？说明理由．
3．已知关于的方程．
(1)方程有一根为，求的值；
(2)求证：不论为何值，方程总有实数根．
4．布袋中装有个红球，个白球：这些球除颜色之外无其他差别．在看不到球的前提下，随机从布袋向外摸球．
(1)求摸出一个球是白球的概率．
(2)请用列表的方法求两次摸出的小球颜色不同的概率．
5．为了了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识．某校举行了“垃圾分类，人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为及格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
七年级20名学生的测试成绩为：
7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6
七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如下表所示：
年级 平均数 众数 中位数
七年级 7.5 a 7
八年级 7.5 8 b
根据以上信息，解答下列问题：
(1)在上述表格中：______，______；
(2)该校德育处从八年级测试成绩前四名甲、乙、丙、丁学生中，随机抽取2名学生参加全市现场垃圾分类知识竞赛，请用列表法或画树状图法求出必有甲同学参加比赛的概率．
6．如图，在中，，在上，以为圆心，为半径的圆与相切于点，交于点，交于点，过作，垂足为．
(1)与有什么位置关系，请写出你的结论并证明；
(2)若的半径长为，，求的长．
7．为了增强学生体质进一步贯彻“五育并举，体育为基”的教育理念，某中学在全校范围内进行了一次体育技能比赛，A、B两个组分别有5名同学，已知A组5名同学一分钟仰卧起的个数依次为40个、38个、42个、41个、39个，B组5名同学一分钟仰卧起坐个数的方差为1.6，且两组同学一分钟仰卧起坐个数的平均数相同，请计算并说明，哪一组同学一分钟仰卧起坐个数较稳定？
8．如图，为直径，为上一点，于点，交于点与的延长线交于点平分．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
9．如图，是的直径，弦于点，，求的长．
10．如图，是的弦，半径于点，若，，求的半径的长．
11．如图，已知是等边三角形，以为直径作，交边于点D，交边于点F，作于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若的边长为4，求弧的长度
12．如下图，中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，两点同时出发，运动时间为．
(1)当运动时间为时，__________，__________；（用含的代数式表示）
(2)若的面积是面积的，求的值．
13．如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，请在网格图中进行下列操作；
(1)利用网格作出该圆弧所在圆的圆心点的位置，并写出点的坐标为______；
(2)求出弓形的面积．
14．已知一直线与，是的直径，于点．
(1)如图1，当直线与相切于点时，求证：平分；
(2)如图2，当直线与相交于点时，若，，求关于的函数解析式．
15．如图1，的半径为，平行四边形的顶点A，B，C在上，．
(1)求证：是的切线；
(2)若也与相切，求证：四边形是菱形；
(3)如图2，与相交于点E，连接于，当时，求平行四边形的对角线的长及阴影部分图形的面积．
16．问题提出
（1）如图1，的半径为，弦，是弦所对的优弧上的一个动点，求图中阴影部分的面积之和的最小值．
问题解决
（2）如图2，这是某市的一个面积为的圆形宾馆示意图．点为圆心，宾馆设计图纸中有一个四边形区域，连接，其中等边为接待区域，为休息区域，当点在的什么位置上时，四边形区域的面积最大？并求出最大值．
参考答案：
1．，（图表见解析）
【分析】本题考查利用树状图或列表法求概率．根据题意画出树状图即可得到本题答案．
【详解】解：根据题意，可以画出如下的树状图：
，
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等．
甲、乙两位同学中至少有一名参加园艺活动小组的结果有5种．
设：甲、乙两位同学中至少有一名参加园艺活动小组为事件，
∴，
综上所述：甲、乙两位同学中至少有一名参加园艺活动小组的概率为．
2．(1)，
(2)花圃一边的长为10．
(3)花圃的面积不能达到．理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，一元二次方程根的判别式，
（1）设的长为，根据矩形的性质和共用篱笆即可得到答案；
（2）先求出x的取值范围，由题意知，求出满足要求的解即可；
（3）根据花圃的面积列出方程，根据一元二次方程根的判别式判断方程根的情况，即可得到结论．
解题的关键在于根据题意列正确的方程并求解．
【详解】（1）解：设CD的长为，
∵四边形是矩形，
∴，
∵花圃三边外围用篱笆围起，共用篱笆．
∴的长为，
故答案为：，；
（2）∵，
∴，
由题意知，
解得（舍去），，
∴花圃一边的长为10．
（3）花圃的面积不能达到．理由如下：
，
∴，
∴，
∴一元二次方程没有实数根，
∴花圃的面积不能达到130．
3．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式；
（1）代入可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值；
（2）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此即可证出：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【详解】（1）解：把代入方程得：
解得，
（2）证明：在关于的一元二次方程中，
∵

∴无论取何值，该方程总有实数根；
4．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了列表法求概率，解题的关键是掌握概率的求法：“概率所求情况数与总情况数之比” ．
（1）根据概率公式即可求解；
（2）先列表得到所有等可能的情况数，再找出不同颜色的情况数，即可求解．
【详解】（1）解：（一个白球）
（2）列表：
红 红 红 红 红 白 白
红 红红 红红 红红 红红 红白 红白
红 红红 红红 红红 红红 红白 红白
红 红红 红红 红红 红红 红白 红白
红 红红 红红 红红 红红 红白 红白
红 红红 红红 红红 红红 红白 红白
白 白红 白红 白红 白红 白红 白白
白 白红 白红 白红 白红 白红 白白
共有种情况，且每种可能性相同，
颜色不同的情况有种，占总可能性的，
（颜色不同）．
5．(1)
(2)
【分析】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、中位数、众数等知识；利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概案公式计算事件或事件的概率．
（1）根据题目中的数据和条形统计图中的数据，可以得到、的值；
（2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出必有甲同学参加的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】（1）∵七年级20名学生的测试成绩为：7，8，，，
∴，
由条形统计图可得，，
即，
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中必有甲同学参加比赛的结果数为6种，
∴必有甲同学参加比赛的概率为．
6．(1)与相切，证明详见解析；
(2)．
【分析】本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点即为半径，再证垂直即可．
（1）由已知可证得，为圆的半径，所以与相切；
（2）连接，，由已知可得四边形为矩形，从而得到的长，再利用勾股定理求得的长，从而可求得的长，此时就不难求得了．
【详解】（1）解：与相切；
理由如下：
连接，
，
；
，
，
，
∴；
，
，
与相切．
（2）连接，；
，是的切线，
，，
又，
四边形为矩形，
；
在中，，
，
，，
．
答：长度为．
7．B组
【分析】本题考查了平均数、方差等知识，掌握方差的意义．先求A组的平均数和方差，然后与B组比较，即可得出答案．
【详解】解：A组的平均数为，
方差为，
又B组5名同学一分钟仰卧起坐个数的方差为1.6，且两组同学一分钟仰卧起坐个数的平均数相同，
∴B组同学一分钟仰卧起坐个数较稳定
8．(1)见解析
(2)3
【分析】（1）连接，只要证明即可，利用角平分线，等腰三角形的性质以及直角三角形两锐角互余可得结论；
（2）连接交于，先证明四边形是矩形，利用矩形的性质、垂径定理勾股定理得到的三边长，即可求出的长．
【详解】（1）证明：连接，
平分．
，
又，
，
，
又，
，
，
，
即，
是的切线；
（2）解：连接交于点，
为直径，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
【点睛】本题考查了切线的判定方法，垂径定理、勾股定理求线段的长度等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键.
9．
【分析】本题考查垂径定理．根据垂径定理求出的长，利用求出即可．
【详解】解：∵是的直径，弦于点，，
∴，，，
∴，
∴．
10．的半径的长为．
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由垂径定理可得，设，根据勾股定理得到方程，解方程即可求解，掌握垂径定理是解题的关键．
【详解】解：连接，
半径于点，，
，，
设，则，
在中，根据勾股定理，得，
即，
解得
的半径的长为．
11．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据等边三角形的性质求出，根据切线的判定定理证明即可；
（2）连接，证明出是等边三角形，得出．同理：．利用中位线的性质得，从而弧．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
是等边三角形，
．
，
．
，
．
．
．
于点．
点在上，
是的切线；
（2）解：连接，
∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴．
同理：，
∴．
∵是边长为4，
∴ ，
∴．
【点睛】本题考查的是切线的判定、等边三角形的性质以及直角三角形的性质、中位线、求弧长，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
12．(1)，；
(2)的值为2；
【分析】（1）本题考查三角形上动点问题的列代数，根据路程等于速度乘以时间结合线段长度即可得到答案；
（2）本题考查三角形上动点问题及一元二次方程应用问题，根据面积列式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
∵，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，
∴，，
∴，
故答案为：，；
（2）解：根据题意得：，
整理得：，解得：．
答：的值为2．
13．(1)见解析，
(2)
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理以及扇形面积的计算：
（1）根据网格和正方形的性质，分别作出两条弦的垂直平分线，两条中垂线的交点即为圆心，进而得到坐标；
（2）利用网格以及勾股定理和逆定理得到以及半径，根据弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积进行计算即可；
掌握扇形面积的计算方法，理解垂径定理是解题的关键．
【详解】（1）解：连接，分别作两条弦的垂直平分线，交点即为点D，如图所示：
，
则点，
故答案为：；
（2）解：连接，如图所示：
，
由图可得，
，
，
∵，
∴是直角三角形，即，
∴，
，
则弓形的面积=．
14．(1)见解析
(2)，见解析
【分析】(1)先证明，得到，再根据得到，继而得到即可．
(2)连接，由是的直径，，得到，根据圆的内接四边形的性质，得到，继而得到，根据圆周角定理，得，代换计算即可．
【详解】（1）∵是的直径，于点，直线与相切于点．
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分．
（2）关系是，理由如下：
连接，∵是的直径，，
∴，
∵四边形是内接四边形，
∴，
∴，
根据圆周角定理，得，
∴,
故．
【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，熟练掌握情形的性质，圆的性质，圆周角定理是解题的关键．
15．(1)见解析
(2)见解析
(3)，
【分析】（1）如图1，连接延长交于点M，利用线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质可得，则结论得证明；
（2）先根据切线的性质得，再证，由菱形的判定可得结论；
（3）如图3，连接，过点C作于G，过点E作于N，先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得：，由圆内接四边形的性质可得：，再由含角的直角三角形的性质分别计算，，最后由阴影部分图形的面积可得结论．
【详解】（1）如图1，连接，延长交于点M，
∵，
∴是的垂直平分线，即，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）如图2，连接，
∵与相切，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是菱形；
（3）如图3，连接，过点C作于G，过点E作于N，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
中，∵，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
中，∵，
∴，
∴阴影部分图形的面积
．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；线段垂直平分线的性质，圆内接四边形的性质，扇形的面积，平行四边形的性质等知识，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
16．（1）（2）当为的中点时，四边形区域的面积最大，最大值为
【分析】（1）连接，设为优弧的中点，连接，并延长交于点E，则，此时点到的距离最大，故点与点重合时，阴影部分的面积之和最小，由此进行计算即可得出答案；
（2）连接，设相交于点，由题意得，当为的中点时，四边形区域的面积最大，由等边三角形的性质可得，，由圆周角定理可得，结合为的中点，得出从而得到四边形是菱形，求出，，，，最后根据进行计算即可．
【详解】解：（1）如图1，连接，设为优弧的中点，连接，并延长交于点E，则，此时点到的距离最大，故点与点重合时，阴影部分的面积之和最小，
，
的半径为，，，
，
，
，
∴图中阴影部分的面积之和的最小值为；
（2）如图2，连接，设相交于点，
由题意得，当为的中点时，四边形区域的面积最大，
是等边三角形，
，，
是的直径，
，
，
为的中点，
，
，
四边形是菱形，
，
，即，
在中，，，
，
，
故当为的中点时，四边形区域的面积最大，最大值为．
【点睛】本题考查圆的综合运用，涉及扇形面积的计算、菱形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
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