寒假解答题能力提升专项卷2023-2024学年数学八年级上册苏科版

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寒假解答题能力提升专项卷2023-2024学年数学八年级上册苏科版
1．已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架，，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），、均与地面平行．（参考数据：）
(1)猜想两支架与的位置关系并说明理由；
(2)若的长度为，求购物车把手到的距离．（结果精确到）
2．已知、两地之间的路程为，甲从地到地，乙从地到地，两人同时出发，各自到达目的地后并停止相应的运动，出发2小时后，甲第一次与乙相遇，相遇后甲再行驶4小时到达目的地，乙比甲先到达目的地，甲乙两人之间的距离为，运动时间为
(1)直接写出关于的函数关系式，并注明的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图像，直接写出时的取值范围．（结果保留1位小数，误差不超过0．2）
3．如图，已知，平分．
(1)用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线交于点，交于点，交于点．连接，．（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）
(2)若，求四边形的周长．
4．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，.
(1)向右平移5个单位，向上平移1个单位，得到，画出；
(2)画出沿着x轴翻折后得到的.
5．如图，在中，，，过点C作直线MN与线段AB相交，于点M，于点N．

(1)求证：；
(2)求证：．
6．如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点．
(1)求证：；
(2)，求证：．
7．小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间. 从山脚出发后小明所走路程s（米）和所用时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息填空.

(1)小明中途休息用了 分钟；
(2)小明休息后爬山的平均速度是 米/分钟；
(3)小明休息前所走的路程s与时间t之间的函数关系式是 （无需写出定义域）．
8．数学模型学习与应用：
学习：如图1，，，于点C，于点E．由，得；又，可以通过推理得到，进而得到，．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型．
(1)应用：如图2，在中，，点D，A，E都在直线l上，并且．若，，求的长度（用含a，b的代数式表示）；
(2)拓展：如图3，在（2）的条件下，若，且是等边三角形，试判断的形状，并说明理由．
9．如图，在与中，，与全等吗？说明理由．

10．某校师生与消防员一起进行消防演练，消防员搬来一架梯子（米）靠在教学楼顶处，底端落在地面处进行救援，然后移动梯子使顶端落在教学楼下一层的处，而底端向外移动了10米到处（米）．已知，点分别在线段上，测量得米．求这座教学楼的高度．

11．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，例如：，，这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”．
(1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由，
(2)若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12．求m的值．
12．甲、乙两个工程组同时挖掘延西高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天）之间的关系如图所示．
(1)当时，求甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天）之间的函数关系式；
(2)当时，甲组挖掘了多少天？
13．在平面直角坐标系中，点，，，满足．
(1)求点A，的坐标；
(2)如图1，平移线段至，使点A的对应点落在轴正半轴上，连接，．若，求点的坐标；
(3)如图2，平移线段至，点的对应点的坐标为，与轴的正半轴交于点，求点的坐标．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，，直线分别交轴，直线于点，．
(1)求点、点的坐标，并用含的代数式表示，，的坐标；
(2)连接，若，求的值；
(3)是轴上的一点，连结，，若，且，求的值．
15．如图所示，已知中，厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
(1)M、N同时运动几秒后，M、N两点重合
(2)M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰，如果存在，C请求出此时M、N运动的时间
16．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数交x轴于点A，交y轴于点B，点C是点A关于y轴对称的点．过点C作y轴平行的射线，交直线与点D，点P是射线上的一个动点．

(1)求点A，B的坐标．
(2)如图2，将沿着翻折，当点C的对应点落在直线上时，求点P的坐标．
(3)若直线与直线有交点，不妨设交点为Q（不与点D重合），连接，是否存在点P，使得，若存在，请求出对应的点Q坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．(1)垂直，见解析
(2)
【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，含度角的直角三角形的性质；
（1）根据题意可得，根据勾股定理的逆定理即可得出，即可求解；
（2）过点作的垂线，交的延长线分别于点，根据平行线的可得出，在中，勾股定求得，根据等面积法，即可求解．
【详解】（1）解：在中．
∵
∵，
∴
答：两支架与为垂直的位置关系
（2）过点作的垂线，交的延长线分别于点
∵
∴
在中，
∴
在中，
∴
答：购物车把手到的距离为：
2．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了函数与图像，正确分类计算是解题的关键．
(1)根据题意，甲的速度为，乙的速度为，甲走完全程用时间为，乙走完全程用时间为，
分，和三种情形计算即可．
(2)根据画图像的基本步骤，结合图像写出两条性质即可．
(3)根据函数分段解析式，分段计算后，再综合回答即可．
【详解】（1）根据题意，甲的速度为，乙的速度为，甲走完全程用时间为，乙走完全程用时间为，
当时，，，
∵ ，
∴；
当时，，，
∴；
时，此时乙到达A地，甲到达千米处，此时，
综上所述，y与t的函数关系式为．
（2）根据题意，结合，画图像如下：
当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而增大．
（3）∵且，
∴，
解得；
∴，
解得；
故t的取值范围是．
3．(1)见解析
(2)8
【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质；
（1）按要求作图，即可求解；
（2）由线段垂直平分线的性质得，，，再由可判定，由全等三角形的性质得，即可求解；
掌握作法及相关的性质，证出是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示
（2）解：∵垂直平分，
∴，，
，
又∵平分，
∴，
在和中
，
（），
∴，
∴，
∴四边形的周长为8．
4．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平面直角坐标系中图形的平移与翻折．
（1）把的三个顶点A、B、O分别向平移5个单位，向上平移1个单位，得到对应点，依次连接这三个点即可得到；
（2）把的三个顶点沿着x轴翻折后得到依次连接这三点，即可得到．
【详解】（1）如图所示；
（2）如图所示，
5．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识．
（1）利用互余关系证，
（2）利用证明，得到，，再利用即可得证．
【详解】（1）证明：于M，，
，
，
，
，
；
（2）证明：∵，
在和中，
，
，
，，
．
6．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
（1）过点E作于点H，利用角平分线的性质即得证；
（2）通过证明即可．
【详解】（1）作，垂足为点
平分，，（已知）
（在角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等）
平分，，（已知）
（在角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等）
（等量代换）
（2），（已知）
，（垂直的意义）
在和中，
（全等三角形对应角相等）
7．(1)5
(2)
(3)
【分析】本题考查了一次函数的实际应用、平均速度的计算方法：
（1）根据图像可得小明休息的时间；
（2）根据图像得到小明休息后所用的时间以及路程，即可得到平均速度；
（3）根据图像得到小明休息前所用的时间以及路程，然后求得平均速度，即可得到关系式；
数形结合，熟练掌握是解题的关键．
【详解】（1）解：由图可得在段为小明休息的时间，
此时时间为分钟，
故答案为：5；
（2）解：由图可得小明休息后爬上的阶段为段，
这段所走的路程为：米，
这段所用的时间为：分钟，
∴平均速度为：米/分钟，
故答案为：；
（3）解：由图可得小明休息前所走的路程为：米，
小明休息前所走路程所用的时间为：分钟，
∴小明休息前的平均速度为：米/分钟，
∴根据路程=速度时间可得：小明休息前所走的路程s与时间t之间的函数关系式是，
故答案为：．
8．(1)；
(2)是等边三角形，理由见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定定理是本题的关键．
（1）由“”可证，可得，即可求解；
（2）由“”可证，可得，可得结论．
【详解】（1）解：，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
的长度为；
（2）解：是等边三角形，
理由如下：由（1）知：，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴是等边三角形，
，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形．
9．与全等，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，两边及夹角对应相等的两个三角形全等．
【详解】解：与全等，理由如下：
在和中，
，
∴．
10．40米
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，在中，由勾股定理得出的长，从而得出的长，再在中，有勾股定理求出的长即可，熟练掌握勾股定理是解此题的关键．
【详解】解：由题意可知，米，
在中，米，
米，
米，
在中，米，
这座教学楼的高度为米．
11．(1)，，这三个数是“完美组合数”，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键．
（1）根据“完美组合数”的定义进行求解判断即可；
（2）分，两种情况分别求出m的值，再根据“完美组合数”的定义进行判断即可．
【详解】（1）解：，，这三个数是“完美组合数”，理由如下：
∵，，，且4，6，12都是整数，
∴，，这三个数是“完美组合数”；
（2）解：∵其中有两个数乘积的算术平方根为12，
∴这两个数的乘积为144，
当时，则，
∵，
∴，此时符合题意；
当时，则不符合题意；
综上所述，．
12．(1)
(2)40天
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，读懂题意是解决本题的关键．
（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）把代入解析式求出的值即可．
【详解】（1）解：当时，设甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天）之间的函数关系式为，
把，代入解析式得：，
解得：，
甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天）之间的函数关系式为；
（2）解：在中，当时，，
解得：，
当时，甲组挖掘了天．
13．(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查的是坐标与图形面积，坐标系内点的平移规律，算术平方根的非负性的性质：
（1）根据非负数的性质先求解，的值，从而可得答案；
（2）如图，过作轴的平行线，与过A，作轴的平行线交于点，，设，结合，再建立方程求解即可；
（3）确定平移方式为先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，可得，如图，过作轴的平行线与过作轴的平行线交于点，与轴交于点，求解，设，可得，再解方程可得答案；
熟练运用等面积法建立方程是解本题的关键．
【详解】（1）解：，，
，，
，，
，；
（2）解：如图，过作轴的平行线，与过A，作轴的平行线交于点，，
，横坐标为0，
则A到向右平移了1个单位，，
设，
，
，
，
，
由平移的性质可得：，即；
（3）解：，，
平移方式为先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，
，
，
如图，过作轴的平行线与过作轴的平行线交于点，与轴交于点，
，，
，
设，
，
解得：，
，
．
14．(1)点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为
(2)
(3)或
【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点，分别令和时即可得出与坐标轴交点，联立两直线解析式可得两直线交点坐标；
（2）利用勾股定理求出，根据，即可求得的值；
（3）过点作轴于，设，则可证明，即可得出，，分情况讨论的值，求解即可．
【详解】（1）解：直线分别交轴，轴于点，，
令，则，
故点的坐标为，
令，则，
故点的坐标为，
直线分别交轴，直线于点，，
令，则，
解得：，
点的坐标为，
直线与直线交于点，
，
解得，
故点的坐标为；
综上，点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为；
（2）连接，
点坐标为，点坐标为，点坐标为，
，，
，
，
解得：；
（3）过点作轴于，
设，
，
，，
，
，，
，
，，
当时，，
解得或，重合舍去），
故，
当时，，
解得或（舍，
故，
综上，或．
【点睛】本题考查了一次函数综合，一次函数与坐标轴交点问题，两直线交点问题，全等三角形的判定与性质，结合数形结合的思想解题，建立方程是解题的关键，注意分类讨论．
15．(1)M、N同时运动10秒后，M、N两点重合；
(2)此时、运动的时间为秒．
【分析】本题考查了等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质．
（1）设点、运动秒后，、两点重合，得到，解方程即可求解；
（2）假设是等腰三角形，根据等腰三角形性质证是等边三角形，再证，得，设当点、在边上运动时，、运动的时间秒时，是等腰三角形，故，，由，得．
【详解】（1）解：设点、运动秒后，、两点重合，
，
解得：；
答：M、N同时运动10秒后，M、N两点重合；
（2）解：当点、在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形，
由（1）知10秒时、两点重合，恰好在处，
如图，假设是等腰三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
设当点、在边上运动时，、运动的时间秒时，是等腰三角形，
∴，，，
解得：，故假设成立.
∴当点、在边上运动时，能得到以为底边的等腰，此时、运动的时间为秒．
16．(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）利用坐标轴上点的特点建立方程即可得出结论；
（2）先求出，进而求出，由折叠知，，再用勾股定理即可得出结论；
（3）利用三角形面积关系求出点P坐标，再联立直线解析式求出交点坐标即可得出结论．
【详解】（1）解：令，则，
，
令，则，
，
；
（2）解：∵点C是点A关于y轴对称的点，
，
轴，
时，，
，
，
由折叠知，，
，
设，
，
在中，，
，
；
（3）解：设，
，
，
，
，
或，
或，
∵直线的解析式为①，
当时，直线的解析式为②，
联立①②解得，
，
当时，直线解析式为③，
联立①③解得，，
，
即：满足条件的Q点的坐标为或．
【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，对称性，勾股定理，待定系数法，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
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