2023-2024学年高中数学人教A版第六章平面向量及其应用练习卷（含答案）

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2023-2024学年高中数学人教A版第六章平面向量及其应用练习卷
一、选择题
1．已知 =(2，3)， =(3，t)， =1，则 =（　　）
A．-3 B．-2 C．2 D．3
2．已知单位向量的夹角为，且，则（　　）
A． B．6 C．2 D．4
3．下列命题中正确的是（　　）
A． B．
C．若，则 D．若，则
4．平面向量与的夹角为60°，，则等于 (　　)
A． B． C．4 D．12
5．已知与共线，且向量与向量垂直，则（　　）
A． B． C． D．
6．已知非零向量满足，则（　　）
A． B． C． D．
7．已知平面向量，，则在方向上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
8．折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.某折扇如图1所示，其平面图为如图2所示的扇形AOB，其半径为3，，点E，F分别在，上，且，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．已知单位向量，满足，则以下结论正确的有（　　）
A． B．
C．向量，的夹角为 D．在上的投影向量为
10．在平面直角坐标系中，已知，，则下列结论正确的是（　　）
A．的取值范围是
B．当时，在方向上的投影数量的取值范围是
C．的最大值是
D．若，且，则最大值为2
11．在三角形中，令，，若，，，，则（　　）
A．，的夹角为
B．，
C．
D．三角形的边上的中线长为
12．图形之间没有空隙，也不重复，这种铺法数学上叫做密铺，密铺的图形公共顶点处的角的度数合起来正好是360°，正三角形，正方形，正六边形都可以密铺.如图所示，是一个可密铺的正六边形，下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．在上的投影向量为
三、填空题
13．设向量，为单位正交基底，若，，且，则　 　.
14．已知外接圆的圆心为是边上一动点，若，则的最大值为　 　.
15．已知平面向量，，.若，则x＝　 　.
16．已知向量，的夹角为，，则在方向上的数量投影为　 　.
四、解答题
17．已知向量 .
（1）求 的最小值及相应的 值；
（2）若 与 共线，求实数 .
18．已知向量，设函数.
（1）求在上的单调增区间；
（2）若对任意恒成立，求的取值范围.
19．在中，点P为所在平面内一点.
（1）若点P在边BC上，且，用，表示；
（2）若点P是的重心.
①求证：；
②若，求.
20．在矩形中，，，点、分别是边、的中点，设向量，
（1）试用表示向量与；
（2）求的值.
21．已知，，.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值.
22．通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则：
①；②；
③；④.
（1）设，，求和.
（2）由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论：
①
②
③.
试判断这三个结论是否正确，并对正确的结论予以证明.
（3）若，集合，.对于任意的，求出满足条件的，并将此时的记为，证明对任意的，不等式恒成立.
根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】B
4．【答案】B
5．【答案】B
6．【答案】C
7．【答案】D
8．【答案】D
9．【答案】A,D
10．【答案】A,C,D
11．【答案】A,B,D
12．【答案】A,B,D
13．【答案】2
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】1
17．【答案】（1）解：∵
∴
∴ ，当且仅当 时取等号，
即 的最小值为 ，此时
（2）解：∵
又 与 共线，
∴ ．
解之可得 .
18．【答案】（1）解：，
当时，则.
由，可得，
故函数在上的单调增区间为.
（2）解：当时，则，
故当，即时，函数的最大值为，
当，即时，函数的最小值为0，
所以在上的最大值为1，
由于对任意恒成立，故，
故的取值范围为.
19．【答案】（1）解：如图：
过点P作交AB于点D，交AC于点E，则四边形为平行四边形，
所以，由，所以，即，
同理，即，所以；
（2）解：①如图：
延长AP交BC于点F，因为点P是的重心，所以点F为BC的中点，且，
所以，即，又，所以；
②点P是的重心时，由①知及，
所以，所以，
由正弦定理知，不妨设，，
由余弦定理得.
20．【答案】（1）解：如图，因为点是边的中点，所以，
则，
同理，.
（2）解：由（1）可知，，，
又因为为矩形，所以，
则.
21．【答案】（1）解：由已知得，，
∵，∴，
∴.
（2）解：由已知得，，，
∵，∴，
∴.
22．【答案】（1）解：因为，，
所以，
（2）解：设，，，、、、、、、，
则，，故①不成立，
，，
，
因为，，
所以
，故②正确；
，，
，，
设，，，
则，，
，
所以，故，即③错误；
（3）解：设满足条件的，，、，
则，，
因为为任意的复数，不妨设且，
由定义可得，即，则，
所以，则，
以下证明对任意的，不等式恒成立，只需计算的最小值，
不妨令，则，
则
，
当，时取得最小值，此时与之前得到的相同，结论得证；
推广结论：对于任意复向量，，若对于任意的，当且仅当时，取到最小值.
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