2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何练习卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何练习卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 743.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-30 14:56:19 | ||
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文档简介
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2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何练习卷
一、选择题
1．若平面的一个法向量为，，，，，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．平行六面体中，，则（ ）
A．1 B． C． D．
4．空间四边形中，，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在三棱锥中，，，，，，为的中点，为的中点，为的重心，与相交于点，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．
6．已知向量，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在平行六面体中，若，则有序实数组（ ）
A． B．
C． D．
8．埃及金字塔是世界古代建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，若金字塔的高为3，，点E满足，则点D到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．已知正方体的棱长为1，点P满足，，，（P，B，D，四点不重合），则下列说法正确的是（ ）．
A．当时，的最小值是1
B．当，时，∥平面
C．当，时，平面平面
D．当，时，直线与平面所成角的正切值的最大值为
10．已知正方体的棱长为，为棱包含端点上的动点，下列命题正确的（ ）
A．二面角的大小为
B．
C．若在正方形内部，且，则点的轨迹长度为
D．若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
11．已知，，，则（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则，
12．已知，，是空间中不共面的三个向量，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
三、填空题
13．已知，空间向量．若，则 ．
14．已知平面 的法向量为 ，点 在平面 内，若点 到平面 的距离 为 ，则 .
15． 已知异面直线和的方向向量分别为，则异面直线和所成角的余弦值为 ．
16．如图在长方体中，，点为的中点，点为的中点.则 .
四、解答题
17．如图，正四棱柱中，M为的中点，，.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
18．如图，在直三棱柱中，，．
（1）求点到平面的距离；
（2）若点是棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
19．如图，在四棱雉P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，且，点为棱上的点，平面与棱交于点.
（1）求证：；
（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面PCD与平面所成锐二面角的大小.
条件①：；
条件②：平面平面；
条件③：.
20．如图，矩形和梯形，，，平面平面，且，，过的平面交平面于.
（1）求证：；
（2）当为中点时，求点到平面的距离；
（3）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值.
21．已知四棱锥的底面为等腰梯形，，，，平面.
（1）求证：；
（2）若四棱锥的体积为2，求平面与平面夹角的余弦值.
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】C
3．【答案】B
4．【答案】B
5．【答案】D
6．【答案】D
7．【答案】C
8．【答案】D
9．【答案】B,C,D
10．【答案】B,D
11．【答案】A,C,D
12．【答案】B,C
13．【答案】1
14．【答案】-1或-11-11或-1
15．【答案】
16．【答案】4
17．【答案】（1）解：连接.
正四棱柱中，M为的中点，，，
，，，，.
，
.
同理可得.
，平面，平面，
平面.
（2）解：以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，
，，.
设平面的一个法向量为.
由，得
令，得.
设平面的一个法向量为.
由，得
令，得.
.
由二面角为锐角，
所求二面角的余弦值为.
18．【答案】（1）解：因为直三棱柱 底而三角形 A B C 满足： ，且 ， 则以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 .
则 ，
. 设面 的法向量为 ，则 ， 取 .又 ， 设点 到而 的距离为 ， 则 .
（2）解：由题可得 ， 设 与面 的夹角为 ，则 .
19．【答案】（1）证明：因为底面ABCD是正方形，所以，平面平面PBC，所以平面PBC，
又因为平面ADF与PB交于点平面ADFE，平面平面，所以.
（2）选条件①②，则，平面平面ABCD.
因为侧面PAD为等腰直角三角形，且，即，因为平面平面ABCD，平面平面平面PAD，所以平面ABCD，
又因为平面平面ABCD，所以，又由ABCD为正方形得.
以点为坐标原点，AB，AD，AP分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
因为，所以点为PB的中点，则，
从而，
设平面ADFE的法向量为，则，
令，可得，
设平面PCD的法向量为，则，令，可得，
所以，
则两平面所成的锐二面角为.
选条件①③，则.
侧面PAD为等腰直角三角形，且，即，因为，且两直线在平面PAB内，可得平面PAB，因为平面PAB，则.
又因为，且两直线在平面ADFE内，
则平面ADFE，
因为平面ADFE，则，
因为，所以为等腰三角形，所以点为PB的中点.
又因为，所以为等腰直角三角形，
则可建立与①②相同的空间直角坐标系，以下用与(1)(2)相同的过程求解.
选条件②③，则平面平面.
因为侧面PAD为等腰直角三角形，且，
即，
因为平面平面ABCD，平面平面平面PAD，
所以平面ABCD，
又因为平面平面ABCD，所以，
又由ABCD为正方形得.
因为，且两直线在平面ADFE内，则平面ADFE，
因为平面ADFE，则，
因为，所以为等腰三角形，所以点为PB的中点，则.
则可建立与①②相同的空间直角坐标系，以下的过程与①②相同.
20．【答案】（1）证明略
（2）
（3）解：0或2.
21．【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以，
过点作，由为等腰梯形，，故，
所以，即，即，平面，平面，平面，
故.
（2）解：，
因为，
，所以.
如图，建立空间直角坐标系，
，，，，
，
设平面法向量为，
则，，
取，得
同理，设面法向量为，则
，，
取，得，
由题意，.
设平面与平面的夹角为，则.
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2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何练习卷
一、选择题
1．若平面的一个法向量为，，，，，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．平行六面体中，，则（ ）
A．1 B． C． D．
4．空间四边形中，，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在三棱锥中，，，，，，为的中点，为的中点，为的重心，与相交于点，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．
6．已知向量，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在平行六面体中，若，则有序实数组（ ）
A． B．
C． D．
8．埃及金字塔是世界古代建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，若金字塔的高为3，，点E满足，则点D到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．已知正方体的棱长为1，点P满足，，，（P，B，D，四点不重合），则下列说法正确的是（ ）．
A．当时，的最小值是1
B．当，时，∥平面
C．当，时，平面平面
D．当，时，直线与平面所成角的正切值的最大值为
10．已知正方体的棱长为，为棱包含端点上的动点，下列命题正确的（ ）
A．二面角的大小为
B．
C．若在正方形内部，且，则点的轨迹长度为
D．若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
11．已知，，，则（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则，
12．已知，，是空间中不共面的三个向量，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
三、填空题
13．已知，空间向量．若，则 ．
14．已知平面 的法向量为 ，点 在平面 内，若点 到平面 的距离 为 ，则 .
15． 已知异面直线和的方向向量分别为，则异面直线和所成角的余弦值为 ．
16．如图在长方体中，，点为的中点，点为的中点.则 .
四、解答题
17．如图，正四棱柱中，M为的中点，，.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
18．如图，在直三棱柱中，，．
（1）求点到平面的距离；
（2）若点是棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
19．如图，在四棱雉P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，且，点为棱上的点，平面与棱交于点.
（1）求证：；
（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面PCD与平面所成锐二面角的大小.
条件①：；
条件②：平面平面；
条件③：.
20．如图，矩形和梯形，，，平面平面，且，，过的平面交平面于.
（1）求证：；
（2）当为中点时，求点到平面的距离；
（3）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值.
21．已知四棱锥的底面为等腰梯形，，，，平面.
（1）求证：；
（2）若四棱锥的体积为2，求平面与平面夹角的余弦值.
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】C
3．【答案】B
4．【答案】B
5．【答案】D
6．【答案】D
7．【答案】C
8．【答案】D
9．【答案】B,C,D
10．【答案】B,D
11．【答案】A,C,D
12．【答案】B,C
13．【答案】1
14．【答案】-1或-11-11或-1
15．【答案】
16．【答案】4
17．【答案】（1）解：连接.
正四棱柱中，M为的中点，，，
，，，，.
，
.
同理可得.
，平面，平面，
平面.
（2）解：以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，
，，.
设平面的一个法向量为.
由，得
令，得.
设平面的一个法向量为.
由，得
令，得.
.
由二面角为锐角，
所求二面角的余弦值为.
18．【答案】（1）解：因为直三棱柱 底而三角形 A B C 满足： ，且 ， 则以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 .
则 ，
. 设面 的法向量为 ，则 ， 取 .又 ， 设点 到而 的距离为 ， 则 .
（2）解：由题可得 ， 设 与面 的夹角为 ，则 .
19．【答案】（1）证明：因为底面ABCD是正方形，所以，平面平面PBC，所以平面PBC，
又因为平面ADF与PB交于点平面ADFE，平面平面，所以.
（2）选条件①②，则，平面平面ABCD.
因为侧面PAD为等腰直角三角形，且，即，因为平面平面ABCD，平面平面平面PAD，所以平面ABCD，
又因为平面平面ABCD，所以，又由ABCD为正方形得.
以点为坐标原点，AB，AD，AP分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
因为，所以点为PB的中点，则，
从而，
设平面ADFE的法向量为，则，
令，可得，
设平面PCD的法向量为，则，令，可得，
所以，
则两平面所成的锐二面角为.
选条件①③，则.
侧面PAD为等腰直角三角形，且，即，因为，且两直线在平面PAB内，可得平面PAB，因为平面PAB，则.
又因为，且两直线在平面ADFE内，
则平面ADFE，
因为平面ADFE，则，
因为，所以为等腰三角形，所以点为PB的中点.
又因为，所以为等腰直角三角形，
则可建立与①②相同的空间直角坐标系，以下用与(1)(2)相同的过程求解.
选条件②③，则平面平面.
因为侧面PAD为等腰直角三角形，且，
即，
因为平面平面ABCD，平面平面平面PAD，
所以平面ABCD，
又因为平面平面ABCD，所以，
又由ABCD为正方形得.
因为，且两直线在平面ADFE内，则平面ADFE，
因为平面ADFE，则，
因为，所以为等腰三角形，所以点为PB的中点，则.
则可建立与①②相同的空间直角坐标系，以下的过程与①②相同.
20．【答案】（1）证明略
（2）
（3）解：0或2.
21．【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以，
过点作，由为等腰梯形，，故，
所以，即，即，平面，平面，平面，
故.
（2）解：，
因为，
，所以.
如图，建立空间直角坐标系，
，，，，
，
设平面法向量为，
则，，
取，得
同理，设面法向量为，则
，，
取，得，
由题意，.
设平面与平面的夹角为，则.
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