2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程练习卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程练习卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 430.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-30 14:58:15 | ||
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文档简介
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2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程练习卷
一、选择题
1． 已知椭圆和双曲线的公共焦点为，在第一象限内的交点为，则（ ）
A．-4 B．-6 C．-8 D．-9
2．已知为双曲线上一点，为的右焦点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
3． 若点在焦点为的抛物线上，且，点为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
4．双曲线的焦点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知拋物线的焦点为，点在抛物线上，且为坐标原点，则（ ）
A． B． C．4 D．5
6．已知直线恒过抛物线C：的焦点F，且与C交于点A，B，过线段AB的中点D作直线的垂线，垂足为E，记直线EA，EB，EF的斜率分别为，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A．4 B．3 C．5 D．
8．与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，过点的直线与交于两点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．直线和的斜率之和为0
C．内切圆圆心不可能在轴上
D．当直线的斜率为1时，
10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，且的最大值为3，最小值为1，则（ ）
A．椭圆C的离心率为
B．的周长为4
C．若，则的面积为
D．若，则
11．已知椭圆M：的左、右焦点分别为，，过斜率不为0的直线l交该椭圆于A，B两点，则（ ）
A．M的长轴长为6 B．的周长为8
C．的周长为12 D．面积的最大值为
12．已知双曲线：的离心率为2，下列双曲线中与双曲线C的渐近线相同的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．设抛物线上一点M到焦点的距离为1，则点M的坐标为 .
14．已知点为抛物线上的动点，抛物线的焦点为，点，则的最小值为 ；点，则的最小值为 .
15． 已知平面向量、、满足，且，则的取值范围是 ．
16．圆锥曲线的光学性质应用非常广泛，如图所示，从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的离心率，则当入射光线和反射光线PE互相垂直时（其中为入射点） ．
四、解答题
17． 设双曲线的离心率为，且顶点到渐近线的距离为.已知直线过点，直线与双曲线的左，右两支的交点分别为，直线与双曲线的渐近线的交点为，其中点在轴的右侧.设的面积分别是.
（1）求双曲线的方程；
（2）求的取值范围.
18．已知椭圆的上 下顶点分别为，短轴长为在上（不与重合），且.
（1）求的标准方程；
（2）直线分别交直线于两点，连接交于另一点，证明：直线过定点.
19．设椭圆的上顶点为，左焦点为．且在直线上．
（1）求的标准方程；
（2）若直线与交于两点，且点为中点，求直线的方程．
20．设A，B为抛物线C：（）上两点，直线的斜率为4，且A与B的纵坐标之和为2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，直线l交抛物线C于M，N两点（异于点O），以为直径的圆经过点O，求面积的最小值．
21．已知抛物线的焦点为F.
（1）已知过点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，求证：以为直径的圆与直线相切；
（2）若直线交抛物线C于P，Q两点，当的面积为2时，求直线的方程.
22．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，与轴相交于，，为坐标原点．
（1）求椭圆的方程
（2）设椭圆的左、右顶点分别为，，过，分别作轴的垂线，，椭圆的一条切线分别与，交于点，，求证：
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】D
3．【答案】A
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】B
8．【答案】D
9．【答案】B,D
10．【答案】A,C,D
11．【答案】A,C,D
12．【答案】B,C,D
13．【答案】或
14．【答案】4；
15．【答案】.
16．【答案】
17．【答案】（1）解：由题意可得双曲线的一条渐近线方程为，
离心率为，则，
顶点到渐近线的距离为，不妨取顶点，则，
即得，故，结合，
解得
故双曲线的方程为；
（2）解：由题意得，
直线l的斜率存在，设直线的方程为，设，
由，得，
则，即得，
则，
且
，
由，得，
则，
得，
故，
而，.
18．【答案】（1）解：依题意可得，，所以.
设，
则，
所以，
所以，
所以的标准方程为.
（2）解：由题可知直线的斜率存在且不为0，
不妨设直线的斜率为，则直线的斜率为，
直线，令，解得，
所以，
直线，令，解得，所以.
直线，
由消去，
可得，
则，且，
解得，
所以，
所以直线的方程为
，
整理得，
即，
即，
所以直线过定点.
19．【答案】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点，
所以，
因此的标准方程为
（2）解：当直线的斜率不存在时，，联立解得或，
故，不满足，即不是的中点，不符合题意．
当直线的斜率存在时，设直线．
联立可得，
即．
所以．
由于为的中点，所以，即，解得．
综上，直线的方程为，即．
20．【答案】（1）解：设，则，，．
直线的斜率，
解得，所以抛物线C的方程为．
（2）解：
设直线l的方程为，，，
联立，消去x得，且，
由韦达定理得，．
以MN为直径的圆经过点O，即，
因为M，N两点异于点O，所以解得，
即，则，直线l恒过定点．
易知，，当且仅当，即直线l的方程为时取等号；
故面积的最小值为48.
21．【答案】（1）解：如图，取的中点M，分别过A，B，M作准线的垂线，依次交准线于，，.
，，，
.
以为直径的圆和直线相切.
（2）解：设，
由消去x，得.
由，得.
，.
由的面积，
.
，即.
，
或.
直线的方程为或或.
22．【答案】（1）解：如图，连接，由题意得，
所以为的中位线，
又，所以，且，
又，，所以，，故所求椭圆的方程为．
（2）解：由可得，，，的方程为，的方程为，
由得，由得，
所以，，
所以，，
所以．
联立，得．
因为直线与椭圆相切，所以，
化简得．所以，所以，故．
同理可得，．故．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程练习卷
一、选择题
1． 已知椭圆和双曲线的公共焦点为，在第一象限内的交点为，则（ ）
A．-4 B．-6 C．-8 D．-9
2．已知为双曲线上一点，为的右焦点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
3． 若点在焦点为的抛物线上，且，点为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
4．双曲线的焦点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知拋物线的焦点为，点在抛物线上，且为坐标原点，则（ ）
A． B． C．4 D．5
6．已知直线恒过抛物线C：的焦点F，且与C交于点A，B，过线段AB的中点D作直线的垂线，垂足为E，记直线EA，EB，EF的斜率分别为，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A．4 B．3 C．5 D．
8．与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，过点的直线与交于两点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．直线和的斜率之和为0
C．内切圆圆心不可能在轴上
D．当直线的斜率为1时，
10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，且的最大值为3，最小值为1，则（ ）
A．椭圆C的离心率为
B．的周长为4
C．若，则的面积为
D．若，则
11．已知椭圆M：的左、右焦点分别为，，过斜率不为0的直线l交该椭圆于A，B两点，则（ ）
A．M的长轴长为6 B．的周长为8
C．的周长为12 D．面积的最大值为
12．已知双曲线：的离心率为2，下列双曲线中与双曲线C的渐近线相同的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．设抛物线上一点M到焦点的距离为1，则点M的坐标为 .
14．已知点为抛物线上的动点，抛物线的焦点为，点，则的最小值为 ；点，则的最小值为 .
15． 已知平面向量、、满足，且，则的取值范围是 ．
16．圆锥曲线的光学性质应用非常广泛，如图所示，从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的离心率，则当入射光线和反射光线PE互相垂直时（其中为入射点） ．
四、解答题
17． 设双曲线的离心率为，且顶点到渐近线的距离为.已知直线过点，直线与双曲线的左，右两支的交点分别为，直线与双曲线的渐近线的交点为，其中点在轴的右侧.设的面积分别是.
（1）求双曲线的方程；
（2）求的取值范围.
18．已知椭圆的上 下顶点分别为，短轴长为在上（不与重合），且.
（1）求的标准方程；
（2）直线分别交直线于两点，连接交于另一点，证明：直线过定点.
19．设椭圆的上顶点为，左焦点为．且在直线上．
（1）求的标准方程；
（2）若直线与交于两点，且点为中点，求直线的方程．
20．设A，B为抛物线C：（）上两点，直线的斜率为4，且A与B的纵坐标之和为2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，直线l交抛物线C于M，N两点（异于点O），以为直径的圆经过点O，求面积的最小值．
21．已知抛物线的焦点为F.
（1）已知过点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，求证：以为直径的圆与直线相切；
（2）若直线交抛物线C于P，Q两点，当的面积为2时，求直线的方程.
22．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，与轴相交于，，为坐标原点．
（1）求椭圆的方程
（2）设椭圆的左、右顶点分别为，，过，分别作轴的垂线，，椭圆的一条切线分别与，交于点，，求证：
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】D
3．【答案】A
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】B
8．【答案】D
9．【答案】B,D
10．【答案】A,C,D
11．【答案】A,C,D
12．【答案】B,C,D
13．【答案】或
14．【答案】4；
15．【答案】.
16．【答案】
17．【答案】（1）解：由题意可得双曲线的一条渐近线方程为，
离心率为，则，
顶点到渐近线的距离为，不妨取顶点，则，
即得，故，结合，
解得
故双曲线的方程为；
（2）解：由题意得，
直线l的斜率存在，设直线的方程为，设，
由，得，
则，即得，
则，
且
，
由，得，
则，
得，
故，
而，.
18．【答案】（1）解：依题意可得，，所以.
设，
则，
所以，
所以，
所以的标准方程为.
（2）解：由题可知直线的斜率存在且不为0，
不妨设直线的斜率为，则直线的斜率为，
直线，令，解得，
所以，
直线，令，解得，所以.
直线，
由消去，
可得，
则，且，
解得，
所以，
所以直线的方程为
，
整理得，
即，
即，
所以直线过定点.
19．【答案】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点，
所以，
因此的标准方程为
（2）解：当直线的斜率不存在时，，联立解得或，
故，不满足，即不是的中点，不符合题意．
当直线的斜率存在时，设直线．
联立可得，
即．
所以．
由于为的中点，所以，即，解得．
综上，直线的方程为，即．
20．【答案】（1）解：设，则，，．
直线的斜率，
解得，所以抛物线C的方程为．
（2）解：
设直线l的方程为，，，
联立，消去x得，且，
由韦达定理得，．
以MN为直径的圆经过点O，即，
因为M，N两点异于点O，所以解得，
即，则，直线l恒过定点．
易知，，当且仅当，即直线l的方程为时取等号；
故面积的最小值为48.
21．【答案】（1）解：如图，取的中点M，分别过A，B，M作准线的垂线，依次交准线于，，.
，，，
.
以为直径的圆和直线相切.
（2）解：设，
由消去x，得.
由，得.
，.
由的面积，
.
，即.
，
或.
直线的方程为或或.
22．【答案】（1）解：如图，连接，由题意得，
所以为的中位线，
又，所以，且，
又，，所以，，故所求椭圆的方程为．
（2）解：由可得，，，的方程为，的方程为，
由得，由得，
所以，，
所以，，
所以．
联立，得．
因为直线与椭圆相切，所以，
化简得．所以，所以，故．
同理可得，．故．
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