2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用练习卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用练习卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 307.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-30 15:13:13 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用练习卷
一、选择题
1．已知函数，过点作的切线，若（），则直线的条数为（ ）
A． B． C． D．
2．若，恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A．e B．2 C．1 D．
3．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数（其中，）在时取最大值，两条对称轴之间的最小距离为，则直线与曲线的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．设，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知 ，关于 的方程 ( )有四个不同的实数根，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．设函数，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设函数若恰有5个不同零点，则正实数的范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9． 若函数既有极大值也有极小值，则（ ）
A． B． C． D．
10．设分别为函数的极大值点和极小值点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．为的极小值点 B．
C． D．
11．已知函数，且，则（ ）
A．有两个极值点
B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
12．已知函数和有相同的极大值，若存在使得成立，则（ ）
A．
B．
C．当时，
D．若的根记为的根记为，且，则
三、填空题
13．已知正实数x，y满足，则的最小值为 ．
14．曲线在点处的切线方程为 .
15．已知函数与函数互为反函数，它们的图象关于对称．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
16．已知函数，函数的图象与轴的交点关于轴对称，当时，函数 ；当函数有三个零点时，函数的极大值为 ．
四、解答题
17． 已知函数.
（1）若，求证：当时，；
（2）讨论函数在区间上的零点个数.
18．已知函数，.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）证明：有唯一极值点.
19．已知函数为函数的导函数．
（1）若，求的最小值；
（2）若方程有解，求实数的取值范围．
20．已知函数（其中为实数）．
（1）若，证明：；
（2）探究在上的极值点个数．
21．已知函数（，）
（1）讨论函数的单调性；
（2）若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围．
22． 已知函数.
（1）当时，讨论函数在区间上的单调性；
（2）当时，证明：对，都有.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】A
5．【答案】D
6．【答案】A
7．【答案】D
8．【答案】D
9．【答案】A,C,D
10．【答案】A,C
11．【答案】A,C
12．【答案】A,C,D
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】；
17．【答案】（1）解：当时，，所以，
因为，所以，所以，
所以在上单调递增，，得证；
（2）解：由题意，，
所以，
当时，因，
所以，所以在上单调递增；
.当时，设，
因为，
所以在上单调递增，
且
①当即时，
对恒成立，
所以在上单调递增，结合1可知，在上单调递增，
因为，所以在区间上的零点个数为1；
②当即时，
，使得，
结合可知：
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以，
所以存在和，使得，
即在区间上的零点个数为2.
综上：当时，在区间上的零点个数为1；
当时，在区间上的零点个数为2
18．【答案】（1）解：当时，，
，
，又，
所以在处的切线方程为.
（2）解：，，
设，
则，
所以在单调递增，
又；
.
所以存在唯一的，使得0，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
当时，取得极小值，所以有唯一极值点.
19．【答案】（1）解：当时，，
，
设，则，
在上单调递增，且，
所以时，单调递减，时，单调递增，
所以．
（2）解：即，
即，
设，则，
，设，则，
所以时，单调递减，时，单调递增，
所以，即在上单调递增，
所以方程有解即在上有解，
即有解，即有解，
设，则，
时，单调递增，时，单调递减，
所以，
当时，，
所以，即实数的取值范围是．
20．【答案】（1）解：若，，
则，
令，则，
因为，所以，
所以，
所以函数在上单调递减，
即函数在上单调递减，
又，
故存在，使得，
则当时，，即，
当时，，即，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，
所以；
（2）解：，
在上的极值点个数，
即为函数在上零点的个数（零点两边异号），
因为，所以不是函数的零点，
当时，
令，则，
令，
因为，
所以函数为偶函数，
，
令，
则，
所以函数在上单调递减，
所以，
即，
所以函数在上单调递减，
又，当时，，，
如图，作出函数的大致图象，
由图可知，当，即时，函数无零点，
所以函数在上没有极值点，
当，即时，
函数有个不同的零点，且零点两边异号，
所以函数在上有个极值点，
综上所述，当时，函数在上没有极值点；
当时，函数在上有个极值点.
21．【答案】（1）解：因为，其定义域为
所以．
当，即时，，所以在上单调递增；
当，即时，由得：，所以在上单调递增；
得：，所以在上单调递减；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）解：因为，，
所以，所以在上恒成立．
令，则，
令，则，
所以在上单调递增．
又，，所以在上有唯一零点，使．
即，即，即，
当时，，当时，，
所以在处取得极小值，也是最小值.
令，，当时，恒成立，
所以函数在上单调递增，所以，即，即．
所以的最小值，
所以，即，所以实数m的取值范围是．
22．【答案】（1）解：当时，，
，当时，单调递减；
当时，单调递增.
所以在区间上单调递减，在区间，上单调递增.
（2）解：当时，要证，只要证，
即证.
令，则.
当时，令，
所以在区间上单调递增，所以，即，
所以.
所以，
其中为辅助角，且满足.
所以在区间上单调递减，即.
故.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用练习卷
一、选择题
1．已知函数，过点作的切线，若（），则直线的条数为（ ）
A． B． C． D．
2．若，恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A．e B．2 C．1 D．
3．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数（其中，）在时取最大值，两条对称轴之间的最小距离为，则直线与曲线的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．设，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知 ，关于 的方程 ( )有四个不同的实数根，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．设函数，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设函数若恰有5个不同零点，则正实数的范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9． 若函数既有极大值也有极小值，则（ ）
A． B． C． D．
10．设分别为函数的极大值点和极小值点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．为的极小值点 B．
C． D．
11．已知函数，且，则（ ）
A．有两个极值点
B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
12．已知函数和有相同的极大值，若存在使得成立，则（ ）
A．
B．
C．当时，
D．若的根记为的根记为，且，则
三、填空题
13．已知正实数x，y满足，则的最小值为 ．
14．曲线在点处的切线方程为 .
15．已知函数与函数互为反函数，它们的图象关于对称．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
16．已知函数，函数的图象与轴的交点关于轴对称，当时，函数 ；当函数有三个零点时，函数的极大值为 ．
四、解答题
17． 已知函数.
（1）若，求证：当时，；
（2）讨论函数在区间上的零点个数.
18．已知函数，.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）证明：有唯一极值点.
19．已知函数为函数的导函数．
（1）若，求的最小值；
（2）若方程有解，求实数的取值范围．
20．已知函数（其中为实数）．
（1）若，证明：；
（2）探究在上的极值点个数．
21．已知函数（，）
（1）讨论函数的单调性；
（2）若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围．
22． 已知函数.
（1）当时，讨论函数在区间上的单调性；
（2）当时，证明：对，都有.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】A
5．【答案】D
6．【答案】A
7．【答案】D
8．【答案】D
9．【答案】A,C,D
10．【答案】A,C
11．【答案】A,C
12．【答案】A,C,D
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】；
17．【答案】（1）解：当时，，所以，
因为，所以，所以，
所以在上单调递增，，得证；
（2）解：由题意，，
所以，
当时，因，
所以，所以在上单调递增；
.当时，设，
因为，
所以在上单调递增，
且
①当即时，
对恒成立，
所以在上单调递增，结合1可知，在上单调递增，
因为，所以在区间上的零点个数为1；
②当即时，
，使得，
结合可知：
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以，
所以存在和，使得，
即在区间上的零点个数为2.
综上：当时，在区间上的零点个数为1；
当时，在区间上的零点个数为2
18．【答案】（1）解：当时，，
，
，又，
所以在处的切线方程为.
（2）解：，，
设，
则，
所以在单调递增，
又；
.
所以存在唯一的，使得0，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
当时，取得极小值，所以有唯一极值点.
19．【答案】（1）解：当时，，
，
设，则，
在上单调递增，且，
所以时，单调递减，时，单调递增，
所以．
（2）解：即，
即，
设，则，
，设，则，
所以时，单调递减，时，单调递增，
所以，即在上单调递增，
所以方程有解即在上有解，
即有解，即有解，
设，则，
时，单调递增，时，单调递减，
所以，
当时，，
所以，即实数的取值范围是．
20．【答案】（1）解：若，，
则，
令，则，
因为，所以，
所以，
所以函数在上单调递减，
即函数在上单调递减，
又，
故存在，使得，
则当时，，即，
当时，，即，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，
所以；
（2）解：，
在上的极值点个数，
即为函数在上零点的个数（零点两边异号），
因为，所以不是函数的零点，
当时，
令，则，
令，
因为，
所以函数为偶函数，
，
令，
则，
所以函数在上单调递减，
所以，
即，
所以函数在上单调递减，
又，当时，，，
如图，作出函数的大致图象，
由图可知，当，即时，函数无零点，
所以函数在上没有极值点，
当，即时，
函数有个不同的零点，且零点两边异号，
所以函数在上有个极值点，
综上所述，当时，函数在上没有极值点；
当时，函数在上有个极值点.
21．【答案】（1）解：因为，其定义域为
所以．
当，即时，，所以在上单调递增；
当，即时，由得：，所以在上单调递增；
得：，所以在上单调递减；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）解：因为，，
所以，所以在上恒成立．
令，则，
令，则，
所以在上单调递增．
又，，所以在上有唯一零点，使．
即，即，即，
当时，，当时，，
所以在处取得极小值，也是最小值.
令，，当时，恒成立，
所以函数在上单调递增，所以，即，即．
所以的最小值，
所以，即，所以实数m的取值范围是．
22．【答案】（1）解：当时，，
，当时，单调递减；
当时，单调递增.
所以在区间上单调递减，在区间，上单调递增.
（2）解：当时，要证，只要证，
即证.
令，则.
当时，令，
所以在区间上单调递增，所以，即，
所以.
所以，
其中为辅助角，且满足.
所以在区间上单调递减，即.
故.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)