人教A版（2019） 必修一 5.3 诱导公式
一、单选题
1．（2020高三上·湘潭月考）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2020高一上·合肥期末） （ ）
A． B． C． D．
3．（2020高一下·东莞月考）已知角 的终边与单位圆交于点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020高二上·玉溪期中） （ ）
A． B． C． D．
5．（2020高三上·营口月考）已知角 终边上一点 ，则 （ ）
A． B． C．3 D．-3
6．（2020高三上·福建月考）已知 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2020高二上·浙江开学考）已知角 的顶点与原点O重合，始边与 轴的非负半轴重合，将 的终边按顺时针方向旋转 后，过点 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2020高一下·江西期中）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．（2020高一下·杭州期中）函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2020高一下·绍兴月考）设角 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2020·南昌模拟）已知 ，则A的值构成的集合是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
12．（2020高三上·南漳期中）已知角 的终边上一点 ，则 .
13．（2020高一上·合肥期末）已知 ，其中 是第三象限角，且 ，则 .
14．（2020高三上·河南月考）已知 ，则 .
15．（2020高三上·天津月考）若 ，且 ，则 .
16．（2020高三上·滕州月考）已知θ是第四象限角，且sin（θ+ ）= ，则tan（θ– ）= .
17．（2020高一下·东莞月考）化简 .
三、解答题
18．（2020高一上·舒城期末）已知角 终边上的一点 ，（ ）.
（1）求 的值；
（2）求 的值.
19．（2020高一上·合肥期末）已知 .
（1）化简 ；
（2）若 是第四象限角，且 ，求 的值.
20．（2020高一下·沈阳期中）已知 ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
21．（2020高一上·蚌埠期末）已知 是角 终边上一点.
（1）求 ， ， 的值；
（2）求 的值.
22．（2020高三上·天津月考）已知 是第三象限角, .
（1）若 ,求 的值.
（2）若 ,求 的值.
23．（2020高一下·内蒙古期末）化简或求值：
（1） ；
（2）化简 .
24．（2020高一下·泸县月考）已知角 的顶点在原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边在射线 上.
（1）求 的值；
（2）求 的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；诱导公式
【解析】【解答】 ， .
所以， 且 .
因此，“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】由 求得 的值，结合充分条件、必要条件的定义可得出结论.
2．【答案】B
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】因为
则
由诱导公式可知
故答案为：B
【分析】将 先化为 的角,再结合诱导公式即可求得三角函数值.
3．【答案】B
【知识点】任意角三角函数的定义；诱导公式
【解析】【解答】因为点 是角 的终边与单位圆交点, ，
= 。
【分析】利用三角函数的定义结合已知条件角 的终边与单位圆交于点 ，从而求出r的值，再利用诱导公式，从而求出 的值。
4．【答案】D
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】 ，
故答案为：D
【分析】根据诱导公式化简即可求出答案。
5．【答案】B
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】 角 终边上一点 ，
，
则
，
故答案为：B.
【分析】由已知条件先求出，再利用诱导公式以及商的关系化简原式，代入即可得到答案。
6．【答案】D
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，所以 .
故答案为：D.
【分析】利用诱导公式将 化简为 ，再由同角三角函数的基本关系得出 的值，最后结合 的取值范围即可得解.
7．【答案】A
【知识点】任意角三角函数的定义；诱导公式
【解析】【解答】 的终边按顺时针方向旋转 后，过点 ，
所以 ，即 ，
即 .
故答案为：A
【分析】利用三角函数的定义以及诱导公式即可求解.
8．【答案】B
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】由诱导公式可知 ，
又 得 ，
所以 ， .
故答案为： .
【分析】根据诱导公式计算得到 ，故 ，解得答案.
9．【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；三角函数值的符号；诱导公式
【解析】【解答】因为 ，定义域为 ，
又 ，故 为奇函数，图像关于原点对称，故排除 ；
又当 时， ，故 ，故排除 .
故答案为：D.
【分析】利用诱导公式化简函数解析式，求得函数的奇偶性，再利用三角函数值在区间上的正负，即可判断.
10．【答案】D
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：因为 ，
所以
.
故答案为：D.
【分析】先由诱导公式变形，再求值即可.
11．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；诱导公式
【解析】【解答】 为偶数时， ；k为奇数时， ，则A的值构成的集合为 .
故答案为：C
【分析】对k分奇数、偶数进行讨论，利用诱导公式化简可得.
12．【答案】
【知识点】任意角三角函数的定义；诱导公式
【解析】【解答】因为角 的终边上一点 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：
【分析】根据角 的终边上一点 ，利用三角函数的定义得到 ，再利用诱导公式求解.
13．【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【解答】解：
，
由 化简得 ，
因为 是第三象限角，
所以 ，
故 ，
所以 .
故答案为： .
【分析】先利用诱导公式对函数 进行化简，再求解出 ，进而求解出 的值.
14．【答案】
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】设 ，则 ，
故 .
故答案为： .
【分析】根据与的关系，结合诱导公式求解出的值。
15．【答案】
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；诱导公式
【解析】【解答】∵ ，且 ，
∴ ，
∴ .
故答案为： .
【分析】利用诱导公式可得 ， ，从而根据诱导公式及同角三角函数的基本关系求解即可.
16．【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【解答】解：∵θ是第四象限角，
∴ ，则 ，
又sin（θ ） ，
∴cos（θ ） ．
∴cos（ ）＝sin（θ ） ，sin（ ）＝cos（θ ） ．
则tan（θ ）＝﹣tan（ ） ．
故答案为 ．
【分析】由题求得θ 的范围，结合已知求得cos（θ ），再由诱导公式求得sin（ ）及cos（ ），进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan（θ ）的值．
17．【答案】-1
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【解答】 .
故答案为：-1.
【分析】根据诱导公式和同角三角函数的基本关系式化简即得.
18．【答案】（1）解：依题意有 ，原式
（2）解：原式
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【分析】（1）先求 ，把所求式子化简，转化为含有 的式子求解；（2）构造齐次分式，同除 ，转化为含有 的式子求解.
19．【答案】（1）解：
（2）解： ，所以 ，又 是第四象限角，
故 .即 .
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简求得 .（2）利用诱导公式求得 的值，根据同角三角函数的基本关系式求得 的值，进而求得 的值.
20．【答案】（1）解：由于 ，所以 ．
（2）解：原式 ．
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系把 化简成为关于 的式子即可得到答案；（2）利用诱导公式化简原式，约分即可求解．
21．【答案】（1）解：∵ 是角 终边上一点，
∴ ， ，
（2）解：由（1）知 ，
原式
【知识点】任意角三角函数的定义；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义求解即可（2）利用诱导公式化简求值.
22．【答案】（1）解：
为第三象限角
（2）解：
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【分析】利用诱导公式将原式化为 ；（1）利用诱导公式和同角三角函数关系即可求得结果；（2）利用诱导公式将所求余弦值化为 ，从而得到结果.
23．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
=-1
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简计算即可；（2）利用同角三角函数的平方关系以及诱导公式化简计算可得出答案.
24．【答案】（1）解：由于角 终边在射线 上，可设终边上一点 ，则 ， ，
， ，此时 .
（2）解： ，
∵ ，∴原式 .
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）设终边上一点 ，可得 ，利用三角函数的定义，得到 ， ，即可求出 的值；
（2）由已知利用同角三角函数基本关系式和诱导公式化简，得到 ，把 代入即可求值.
1 / 1人教A版（2019） 必修一 5.3 诱导公式
一、单选题
1．（2020高三上·湘潭月考）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；诱导公式
【解析】【解答】 ， .
所以， 且 .
因此，“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】由 求得 的值，结合充分条件、必要条件的定义可得出结论.
2．（2020高一上·合肥期末） （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】因为
则
由诱导公式可知
故答案为：B
【分析】将 先化为 的角,再结合诱导公式即可求得三角函数值.
3．（2020高一下·东莞月考）已知角 的终边与单位圆交于点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】任意角三角函数的定义；诱导公式
【解析】【解答】因为点 是角 的终边与单位圆交点, ，
= 。
【分析】利用三角函数的定义结合已知条件角 的终边与单位圆交于点 ，从而求出r的值，再利用诱导公式，从而求出 的值。
4．（2020高二上·玉溪期中） （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】 ，
故答案为：D
【分析】根据诱导公式化简即可求出答案。
5．（2020高三上·营口月考）已知角 终边上一点 ，则 （ ）
A． B． C．3 D．-3
【答案】B
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】 角 终边上一点 ，
，
则
，
故答案为：B.
【分析】由已知条件先求出，再利用诱导公式以及商的关系化简原式，代入即可得到答案。
6．（2020高三上·福建月考）已知 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，所以 .
故答案为：D.
【分析】利用诱导公式将 化简为 ，再由同角三角函数的基本关系得出 的值，最后结合 的取值范围即可得解.
7．（2020高二上·浙江开学考）已知角 的顶点与原点O重合，始边与 轴的非负半轴重合，将 的终边按顺时针方向旋转 后，过点 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】任意角三角函数的定义；诱导公式
【解析】【解答】 的终边按顺时针方向旋转 后，过点 ，
所以 ，即 ，
即 .
故答案为：A
【分析】利用三角函数的定义以及诱导公式即可求解.
8．（2020高一下·江西期中）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】由诱导公式可知 ，
又 得 ，
所以 ， .
故答案为： .
【分析】根据诱导公式计算得到 ，故 ，解得答案.
9．（2020高一下·杭州期中）函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；三角函数值的符号；诱导公式
【解析】【解答】因为 ，定义域为 ，
又 ，故 为奇函数，图像关于原点对称，故排除 ；
又当 时， ，故 ，故排除 .
故答案为：D.
【分析】利用诱导公式化简函数解析式，求得函数的奇偶性，再利用三角函数值在区间上的正负，即可判断.
10．（2020高一下·绍兴月考）设角 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：因为 ，
所以
.
故答案为：D.
【分析】先由诱导公式变形，再求值即可.
11．（2020·南昌模拟）已知 ，则A的值构成的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；诱导公式
【解析】【解答】 为偶数时， ；k为奇数时， ，则A的值构成的集合为 .
故答案为：C
【分析】对k分奇数、偶数进行讨论，利用诱导公式化简可得.
二、填空题
12．（2020高三上·南漳期中）已知角 的终边上一点 ，则 .
【答案】
【知识点】任意角三角函数的定义；诱导公式
【解析】【解答】因为角 的终边上一点 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：
【分析】根据角 的终边上一点 ，利用三角函数的定义得到 ，再利用诱导公式求解.
13．（2020高一上·合肥期末）已知 ，其中 是第三象限角，且 ，则 .
【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【解答】解：
，
由 化简得 ，
因为 是第三象限角，
所以 ，
故 ，
所以 .
故答案为： .
【分析】先利用诱导公式对函数 进行化简，再求解出 ，进而求解出 的值.
14．（2020高三上·河南月考）已知 ，则 .
【答案】
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】设 ，则 ，
故 .
故答案为： .
【分析】根据与的关系，结合诱导公式求解出的值。
15．（2020高三上·天津月考）若 ，且 ，则 .
【答案】
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；诱导公式
【解析】【解答】∵ ，且 ，
∴ ，
∴ .
故答案为： .
【分析】利用诱导公式可得 ， ，从而根据诱导公式及同角三角函数的基本关系求解即可.
16．（2020高三上·滕州月考）已知θ是第四象限角，且sin（θ+ ）= ，则tan（θ– ）= .
【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【解答】解：∵θ是第四象限角，
∴ ，则 ，
又sin（θ ） ，
∴cos（θ ） ．
∴cos（ ）＝sin（θ ） ，sin（ ）＝cos（θ ） ．
则tan（θ ）＝﹣tan（ ） ．
故答案为 ．
【分析】由题求得θ 的范围，结合已知求得cos（θ ），再由诱导公式求得sin（ ）及cos（ ），进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan（θ ）的值．
17．（2020高一下·东莞月考）化简 .
【答案】-1
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【解答】 .
故答案为：-1.
【分析】根据诱导公式和同角三角函数的基本关系式化简即得.
三、解答题
18．（2020高一上·舒城期末）已知角 终边上的一点 ，（ ）.
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1）解：依题意有 ，原式
（2）解：原式
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【分析】（1）先求 ，把所求式子化简，转化为含有 的式子求解；（2）构造齐次分式，同除 ，转化为含有 的式子求解.
19．（2020高一上·合肥期末）已知 .
（1）化简 ；
（2）若 是第四象限角，且 ，求 的值.
【答案】（1）解：
（2）解： ，所以 ，又 是第四象限角，
故 .即 .
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简求得 .（2）利用诱导公式求得 的值，根据同角三角函数的基本关系式求得 的值，进而求得 的值.
20．（2020高一下·沈阳期中）已知 ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1）解：由于 ，所以 ．
（2）解：原式 ．
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系把 化简成为关于 的式子即可得到答案；（2）利用诱导公式化简原式，约分即可求解．
21．（2020高一上·蚌埠期末）已知 是角 终边上一点.
（1）求 ， ， 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1）解：∵ 是角 终边上一点，
∴ ， ，
（2）解：由（1）知 ，
原式
【知识点】任意角三角函数的定义；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义求解即可（2）利用诱导公式化简求值.
22．（2020高三上·天津月考）已知 是第三象限角, .
（1）若 ,求 的值.
（2）若 ,求 的值.
【答案】（1）解：
为第三象限角
（2）解：
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【分析】利用诱导公式将原式化为 ；（1）利用诱导公式和同角三角函数关系即可求得结果；（2）利用诱导公式将所求余弦值化为 ，从而得到结果.
23．（2020高一下·内蒙古期末）化简或求值：
（1） ；
（2）化简 .
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
=-1
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简计算即可；（2）利用同角三角函数的平方关系以及诱导公式化简计算可得出答案.
24．（2020高一下·泸县月考）已知角 的顶点在原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边在射线 上.
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1）解：由于角 终边在射线 上，可设终边上一点 ，则 ， ，
， ，此时 .
（2）解： ，
∵ ，∴原式 .
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）设终边上一点 ，可得 ，利用三角函数的定义，得到 ， ，即可求出 的值；
（2）由已知利用同角三角函数基本关系式和诱导公式化简，得到 ，把 代入即可求值.
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