等差数列前n项和(第一课时)
图片预览
文档简介
本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
等差数列的前n项和(1)
教学目标
1．掌握等差数列前n项和公式及其获取思路．
2．会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.
教学重点
等差数列n项和公式的理解、推导及应用
教学难点
灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题.
教学方法
引导式教学
教具准备
投影片
课时数
1课时
教学过程
1、创设问题情景
德国伟大的数学家高斯"神速求和"的故事：小高斯上小学四年级时，一次教师布置了一道数学习题："把从1到100的自然数加起来，和是多少？"年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050，这使教师非常吃惊，那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？如果大家也懂得那样巧妙计算，那你们就是二十世纪末的新高斯。
方法:（1+100）+（2+99）+……+（50+51）=101×50=5050
高斯的算法实际上解决了求等差数列1，2，3，…，n，…前100项的和的问题。
今天我们就来学习如何去求等差数列的前n项的和。
2、讲授新课
一般地，称 为数列的前n项的和，用表示，即
设等差数列的前n项和为，即
∴①+②可得：2
∴
或利用定义可得：
两式相加可得：
即
将代入可得：
综上所述：等差数列求和公式为：
注意:公式中涉及,求解时”知三求二”
3、例题讲解
例1. 等差数列{an}的首项为a1，公差为d，项数为n，第n项为an，前n项和为Sn，请填写下表：
例2 一个等差数列的前10项之和100，前100项之和为10，求前110项之和.
【解法一】 设等差数列｛an｝的公差为d，前n项和Sn，则Sn＝na1＋.
由已知得
①×10－②整理得d=－， 代入①，得a1＝
∴S110＝110a1＋d＝110×+×＝110()＝－110
故此数列的前110项之和为－110.
例3. 已知等差数列{an}中，S3=21，S6=64，求数列｛|an|｝的前n项和Tn．
d，已知S3和S6的值，解方程组可得a1与d，再对数列的前若干项的正负性进行判断，则可求出Tn来．
解方程组得：d＝－2，a1＝9
∴an＝9＋(n－1)(n－2)＝－2n＋11
其余各项为负．数列{an}的前n项和为：
∴当n≤5时，Tn＝－n2＋10n
当n＞6时，Tn＝S5＋|Sn－S5|＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn
∴Tn＝2(－25＋50)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50
说明 根据数列{an}中项的符号，运用分类讨论思想可求｛|an|｝的前n项和．
练习: 已知数列｛an｝的前n项和是Sn=32n－n2,求数列｛｜an｜｝的前n项和Sn′.
【解】 ∵a1=S1=32×1－12=31,当n≥2时，an=Sn－Sn－1=33－2n,
又由an＞0，得n＜16.5,即｛an｝前16项为正，以后皆负.
∴当n≤16时，Sn′=｜a1｜+｜a2｜+…+｜an｜=a1+a2+…+an=33n－n2.
当n＞16时，Sn′=a1+a2+…+a16－a17－a18－…－an=S16－(Sn－S16)＝2S16－Sn＝512－32n＋n2.
∴
4、课时小结:
1。等差数列前n项和公式：
2．等差数列前n项和公式获取思路
（V）课后作业
一、作业本 等差数列前n项和(1)
二、预习提纲：如何灵活应用等差数列求和公式解决相关问题？
板书设计
课题
公式： 推导过程 例 例
604.5
500
32
26
14.5
-360
-10
-38
2550
50
-2
10
10
5
sn
an
n
d
a1
①
②
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网
等差数列的前n项和(1)
教学目标
1．掌握等差数列前n项和公式及其获取思路．
2．会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.
教学重点
等差数列n项和公式的理解、推导及应用
教学难点
灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题.
教学方法
引导式教学
教具准备
投影片
课时数
1课时
教学过程
1、创设问题情景
德国伟大的数学家高斯"神速求和"的故事：小高斯上小学四年级时，一次教师布置了一道数学习题："把从1到100的自然数加起来，和是多少？"年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050，这使教师非常吃惊，那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？如果大家也懂得那样巧妙计算，那你们就是二十世纪末的新高斯。
方法:（1+100）+（2+99）+……+（50+51）=101×50=5050
高斯的算法实际上解决了求等差数列1，2，3，…，n，…前100项的和的问题。
今天我们就来学习如何去求等差数列的前n项的和。
2、讲授新课
一般地，称 为数列的前n项的和，用表示，即
设等差数列的前n项和为，即
∴①+②可得：2
∴
或利用定义可得：
两式相加可得：
即
将代入可得：
综上所述：等差数列求和公式为：
注意:公式中涉及,求解时”知三求二”
3、例题讲解
例1. 等差数列{an}的首项为a1，公差为d，项数为n，第n项为an，前n项和为Sn，请填写下表：
例2 一个等差数列的前10项之和100，前100项之和为10，求前110项之和.
【解法一】 设等差数列｛an｝的公差为d，前n项和Sn，则Sn＝na1＋.
由已知得
①×10－②整理得d=－， 代入①，得a1＝
∴S110＝110a1＋d＝110×+×＝110()＝－110
故此数列的前110项之和为－110.
例3. 已知等差数列{an}中，S3=21，S6=64，求数列｛|an|｝的前n项和Tn．
d，已知S3和S6的值，解方程组可得a1与d，再对数列的前若干项的正负性进行判断，则可求出Tn来．
解方程组得：d＝－2，a1＝9
∴an＝9＋(n－1)(n－2)＝－2n＋11
其余各项为负．数列{an}的前n项和为：
∴当n≤5时，Tn＝－n2＋10n
当n＞6时，Tn＝S5＋|Sn－S5|＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn
∴Tn＝2(－25＋50)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50
说明 根据数列{an}中项的符号，运用分类讨论思想可求｛|an|｝的前n项和．
练习: 已知数列｛an｝的前n项和是Sn=32n－n2,求数列｛｜an｜｝的前n项和Sn′.
【解】 ∵a1=S1=32×1－12=31,当n≥2时，an=Sn－Sn－1=33－2n,
又由an＞0，得n＜16.5,即｛an｝前16项为正，以后皆负.
∴当n≤16时，Sn′=｜a1｜+｜a2｜+…+｜an｜=a1+a2+…+an=33n－n2.
当n＞16时，Sn′=a1+a2+…+a16－a17－a18－…－an=S16－(Sn－S16)＝2S16－Sn＝512－32n＋n2.
∴
4、课时小结:
1。等差数列前n项和公式：
2．等差数列前n项和公式获取思路
（V）课后作业
一、作业本 等差数列前n项和(1)
二、预习提纲：如何灵活应用等差数列求和公式解决相关问题？
板书设计
课题
公式： 推导过程 例 例
604.5
500
32
26
14.5
-360
-10
-38
2550
50
-2
10
10
5
sn
an
n
d
a1
①
②
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网