数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.1等比数列的概念 课件（共30张ppt）

(共30张PPT)
第四章 数列
4.3.1 等比数列的概念
从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数的数列
课题 4.3.1 等比数列的概念（1）
温故引新
什么是等差数列？你能说出等差数列的定义吗？
类比等差数列的定义，从运算的角度，你能提出
一个新的概念吗？
从第2项起，每一项与它的前一项的和、积、商都等于同一个常数的数列
请看以下几个数列，思考它们有何共同特征？
课题 4.3.1 等比数列的概念（1）
1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥板上记录了下面的数列：
你发现上述数列有什么规律？
请看以下几个数列，思考它们有何共同特征？
课题 4.3.1 等比数列的概念（1）
2.《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是：
木棰长度
第一天取半
第二天取半
第三天取半
第四天取半
...
...
...
第 天取半
n
设木棰长度为
1
你发现上述数列有什么规律？
请看以下几个数列，思考它们有何共同特征？
课题 4.3.1 等比数列的概念（1）
细菌个数
第一次
第二次
第三次
2
4
第 n 次
……
分裂次数
8
2n
3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是：
你发现上述数列有什么规律？
请看以下几个数列，思考它们有何共同特征？
4. 某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是
a(1+r), a(1+r)2, a(1+r)3, a(1+r)4, a(1+r)5. ⑥
课题 4.3.1 等比数列的概念（1）
本利和： 本金+利息
第一年利息转到第二年作本金
请看以下几个数列，思考它们有何共同特征？
课题 4.3.1 等比数列的概念（1）
共同特点: 从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数.
如果用{an}表示数列①，那么有
取值规律: 从第 2 项起, 每一项与它的前一项的比都等于 9．
a(1+r), a(1+r)2, a(1+r)3, a(1+r)4, a(1+r)5. ⑥
课题 4.3.1 等比数列的概念（1）
如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的____都等于___一个常数，那么这个数列就叫做__________.
常数叫做等____数列的_____
等比数列
二
比
同
等比数列
公比
等差数列
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.
常数叫做等差数列的公差.
公差通常用字母d表示
公比通常用字母q表示(q≠0)
比
探究1：类比等差数列的概念，你能抽象出等比数列的概念吗？
定义
符号
1. 判断下列数列是否是等比数列. 如果是，写出它的公比.
课本P31
课题 4.3.1 等比数列的概念（1）
课题 4.3.1 等比数列的概念（1）
(3) 5, 5, 5, 5, 5, 5,…
2.观察并判断下列数列是否是等比数列，是的话，指出公比，不是的话请说明理由:
(4) 0, 1, 2, 4, 8, …
(5) 2, 0, 2, 0, 2, …
是,公比是 2
是,公比是 -2
是,公比是 1
不一定,分类讨论
不是,分母不能为 0
不是,公比不能是 0
课题 4.3.1 等比数列的概念（1）
思考1：等差数列的项、公差均可以是0吗？等比数列呢？
思考2：常数列是等差数列吗？是等比数列吗？
思考3：是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？
常数列一定是等差数列，公差为0；
非零常数列是等比数列，公比为1.
非零常数列既是等差数列又是等比数列, 公差为0, 公比为1.
等差数列的项、公差均可以是0,
但等比数列的项和公比均不可以是0
课题 4.3.1 等比数列的概念（1）
等差中项
等比中项
如果三个数a, A, b组成等差数列，那么A叫做a和b的等差中项.
如果三个数a, G, b组成等比数列，那么G叫做a和b的等比中项.
定义
a, A, b成等差数列
a, G, b成等比数列
关系
注意：若a, b同号,则有两个等比中项;若a, b异号,则无等比中项.
探究2：类比等差中项的概念，你能抽象出等比中项的概念吗？
课题 4.3.1 等比数列的概念（1）
探究3：类比等差数列的通项公式，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
等差数列
等比数列
不完全归纳法
课题 4.3.1 等比数列的概念（1）
累乘法
累加法
等差数列
等比数列
探究3：类比等差数列的通项公式，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
课题 4.3.1 等比数列的概念（1）
等比数列的通项公式：
思考：已知等比数列的第m项am，公比为q， 求通项公式an.
等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示.
课题 4.3.1 等比数列的概念（1）
指数型函数
思考1：类比指数函数的性质，判断公比q>0的等比数列的单调性？
探究4：类比等差数列与一次函数的关系，等比数列可以与哪类函数建立关系？
q
q>1
0a1>0
a1<0
q=1
a1
课题 4.3.1 等比数列的概念（1）
从图象上看，表示等比数列{an} 中的各项的点是指数型函数 图象上一群孤立的点.
思考2：公比q＞0且q≠1的等比数列的图象有什么特点？
思考3：公比q<0时等比数列的项有什么特点？
偶数项的符号与
奇数项符号相反
课题 4.3.1 等比数列的概念（1）
例1 若等比数列的第4项和第6项分别为48和12, 求的第5项.
解法1：
②的两边分别除以①的两边，得
解得
把代入①，得
把代入②，得
由，得
①
②
基本量思想
课题 4.3.1 等比数列的概念（1）
解法2：
==
所以
例1 若等比数列的第4项和第6项分别为48和12, 求的第5项.
课题 4.3.1 等比数列的概念（1）
变式练习：若48和12分别是第4项和第8项，求第6项.
注意：等比中项还要关注项的关系，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同.
解法2：
==
所以
变式 在等比数列{an}中，
(1) a1＝1，a4＝8，求an；
(2) an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
(3) a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
课题 4.3.1 等比数列的概念（1）
例2 数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80, 第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132. 求这个数列.
课题 4.3.1 等比数列的概念（1）
课题 4.3.1 等比数列的概念（1）
(1)如果是三个数成等比数列，可设为 ，a，aq
【归纳总结】
对称设元法
(2)如果是四个数成等比数列，可设为 ， ，aq，aq3
1.与等差数列有关的数的设元技巧：
2.与等比数列有关的数的设元技巧：
(1)如果是三个数成等差数列，可设为a - d，a， a+d
(2)如果是四个数成等差数列，可设为a+2d ， a - d ， a+d ， a+2d
课题 4.3.1 等比数列的概念（1）
1.已知四个数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,中间两个之积为16，前后两个数之积为-128.求这四个数.
解：设所求四个数为
由题意知
解得
因此所求的四个数为-4,2,8,32或4,-2,-8,-32.
2 有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8；后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数．
课题 4.3.1 等比数列的概念（2）
课题 4.3.1 等比数列的概念（1）
形
等差数列
等比数列
类比
抽象概念
代数运算
归纳法
累乘法
累加法
通项公式
函数角度
数
一次函数
指数函数
数
形
课堂小结
a1 a3 a5 a7 q
2 8
2 0.2
2. 已知{an}是一个公比为q等比数列，请在下表中的空格处填入适当的数.
4
16
50
0.08
0.0032
课本P31
课题 4.3.1 等比数列的概念（1）
3. 在等比数列{an}中，a1a3＝36，a2+a4＝ 60. 求a1和公比q.
课本P31
课题 4.3.1 等比数列的概念（1）
4.对于数列{an}, 若点(n, an) (n∈N*)都在函数y=cqx的图象上，其中c, q为常数，且c≠0, q≠0, q≠1，试判断数列{an}是否是等比数列，并证明你的结论.
课本P31
课题 4.3.1 等比数列的概念（1）
课题 4.3.1 等比数列的概念（1）
作业：