浙江省杭州市杭二中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 浙江省杭州市杭二中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 679.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-29 11:41:41 | ||
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文档简介
杭二中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.
1.函数的零点所在的大致区间是（ ）
A. B. C. D.
2.设函数，则“”是“为偶函数”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象如图所示，则该函数是（ ）
A. B. C. D.
4.《九章算术》是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录有38个问题，主要要各种形状的田亩的面积计算方法，点中将圆环或不足一生的圆环形天地称为“环田”。书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则点所在扇形的圆心角大小为（ ）（单位：弧度）（注：生，意为周，环绕一周叫一生.）
A.4 B.5 C.6 D.7
5.已知，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知函数（，）的部分图象如图所示，，是的两个零点，若，则下列不为定值的量是（ ）
A. B. C. D.
7.已知，，且，则的最小值为（ ）
A.9 B.10 C.12 D.13
8.若关于的方程恰有三个不同的实数解，，，且，其中，则的值为（ ）
A. B. C.1 D.2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列命题正确的是（ ）
A.设是第一象限角，则为第一或第三象限角
B.
C.在中，若点满足，则是的重心
D.
10.符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数，那么下列命题中正确的是（ ）
A.函数的值域为 B.函数的值域为
C.函数是周期函数 D.函数是减函数
11.已知函数（，），满足，且对任意，都有，当取最小值时，则下列正确的是（ ）
A.图像的对称中心为
B.在上的值域为
C.将的图象向左平移个单位长度得到的图象
D.在上单调递减
12.如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则（ ）
A. B.的最大值为
C.最大值为9 D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数的定义域是_______________.
14.若，，，则，，三数中最小数为_________.
15.在解析几何中，设，为直线上的两个不同的点，则我们把及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量，把与直线垂直的向量称为直线的法向量，常用表示，此时.若点，则可以把在法向量上的投影向量的模叫做点到直线的距离.现已知平面直角坐标系中，，，，则点到直线的距离为__________.
16.对于非空集合，定义，若，，且存在，，则实数的取值范围是_____________.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点的坐标为，且.
（1）求，的值；
（2）求的值.
18.如图所示，设，是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.
（1）设，，求的值；
（2）若，求的大小.
20.在中，内角，，的对边分别为，，，且向量，，.
（1）求角的大小；
（2）若，的周长为，面积为，求的最大值.
21.如图所示，有一条“”形河道，其中上方河道宽，右侧河道宽，河道均足够长.现过点修建一条栈道，开辟出直角三角形区域（图中）养殖观赏鱼，且.点在线段上，且.线段将养殖区域分为两部分，其中上方养殖金鱼，下方养殖锦鲤.
（1）养殖区域面积最小时，求值，并求出最小面积；
（2）若游客可以在栈道上投喂金鱼，在河岸与栈道上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路长度不小于投喂金鱼的道路长度，求的取值范围.
22.设，函数，.
（1）讨论函数的零点个数；
（2）若函数有两个零点，，试证明：.
参考答案
1.A 2.C 3.B 4.C 5.C 6.B 7.D 8.A 9.ACD 10.BC 11.ACD 12.AC
13. 14. 15. 16.
17.（1）∵角的终边与单位圆的交点为，∴，
∵∴，∴.
（2）原式.
18.（1）∵，，∴.
（2）∵，∴
19.（1）为奇函数和上的增函数；
（2）不等式恒成立，
转化为，即
对恒成立，所以对恒成立，即，
令，则，
∵，函数单调递减；，函数单调递增，
当时，，当时，，∴，所以.
20.（1），故，
即，故，
整理得到，即，，故.
（2）由余弦定理，得，即，
所以，即，
因为，，所以，
又（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），
所以（当且仅当时取等号），
即的最大值为（当且仅当时取等号）.
21.（1）过作，垂直于，，垂足分别为，，则，，，，养殖观赏鱼的面积，
由可得，则，当且仅当即时取等号，故时，最小.
（2）由，可得，
则，，，由题意，
则，
则，则.
22.（1），令，即，时，，，即，或即或时，无解；
即时，仅有一解；
即时，有两解，
综上，或时，无零点；时，有一个零点；时，有两个零点
（2）有两个零点时，令，，则，为两解，
则，则，则，
由可得，，则，
则，则，
由可得，，则，
由在递减，可得，则.
令，即证：；
即证：显然成立，故原式成立.
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.
1.函数的零点所在的大致区间是（ ）
A. B. C. D.
2.设函数，则“”是“为偶函数”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象如图所示，则该函数是（ ）
A. B. C. D.
4.《九章算术》是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录有38个问题，主要要各种形状的田亩的面积计算方法，点中将圆环或不足一生的圆环形天地称为“环田”。书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则点所在扇形的圆心角大小为（ ）（单位：弧度）（注：生，意为周，环绕一周叫一生.）
A.4 B.5 C.6 D.7
5.已知，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知函数（，）的部分图象如图所示，，是的两个零点，若，则下列不为定值的量是（ ）
A. B. C. D.
7.已知，，且，则的最小值为（ ）
A.9 B.10 C.12 D.13
8.若关于的方程恰有三个不同的实数解，，，且，其中，则的值为（ ）
A. B. C.1 D.2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列命题正确的是（ ）
A.设是第一象限角，则为第一或第三象限角
B.
C.在中，若点满足，则是的重心
D.
10.符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数，那么下列命题中正确的是（ ）
A.函数的值域为 B.函数的值域为
C.函数是周期函数 D.函数是减函数
11.已知函数（，），满足，且对任意，都有，当取最小值时，则下列正确的是（ ）
A.图像的对称中心为
B.在上的值域为
C.将的图象向左平移个单位长度得到的图象
D.在上单调递减
12.如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则（ ）
A. B.的最大值为
C.最大值为9 D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数的定义域是_______________.
14.若，，，则，，三数中最小数为_________.
15.在解析几何中，设，为直线上的两个不同的点，则我们把及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量，把与直线垂直的向量称为直线的法向量，常用表示，此时.若点，则可以把在法向量上的投影向量的模叫做点到直线的距离.现已知平面直角坐标系中，，，，则点到直线的距离为__________.
16.对于非空集合，定义，若，，且存在，，则实数的取值范围是_____________.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点的坐标为，且.
（1）求，的值；
（2）求的值.
18.如图所示，设，是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.
（1）设，，求的值；
（2）若，求的大小.
20.在中，内角，，的对边分别为，，，且向量，，.
（1）求角的大小；
（2）若，的周长为，面积为，求的最大值.
21.如图所示，有一条“”形河道，其中上方河道宽，右侧河道宽，河道均足够长.现过点修建一条栈道，开辟出直角三角形区域（图中）养殖观赏鱼，且.点在线段上，且.线段将养殖区域分为两部分，其中上方养殖金鱼，下方养殖锦鲤.
（1）养殖区域面积最小时，求值，并求出最小面积；
（2）若游客可以在栈道上投喂金鱼，在河岸与栈道上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路长度不小于投喂金鱼的道路长度，求的取值范围.
22.设，函数，.
（1）讨论函数的零点个数；
（2）若函数有两个零点，，试证明：.
参考答案
1.A 2.C 3.B 4.C 5.C 6.B 7.D 8.A 9.ACD 10.BC 11.ACD 12.AC
13. 14. 15. 16.
17.（1）∵角的终边与单位圆的交点为，∴，
∵∴，∴.
（2）原式.
18.（1）∵，，∴.
（2）∵，∴
19.（1）为奇函数和上的增函数；
（2）不等式恒成立，
转化为，即
对恒成立，所以对恒成立，即，
令，则，
∵，函数单调递减；，函数单调递增，
当时，，当时，，∴，所以.
20.（1），故，
即，故，
整理得到，即，，故.
（2）由余弦定理，得，即，
所以，即，
因为，，所以，
又（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），
所以（当且仅当时取等号），
即的最大值为（当且仅当时取等号）.
21.（1）过作，垂直于，，垂足分别为，，则，，，，养殖观赏鱼的面积，
由可得，则，当且仅当即时取等号，故时，最小.
（2）由，可得，
则，，，由题意，
则，
则，则.
22.（1），令，即，时，，，即，或即或时，无解；
即时，仅有一解；
即时，有两解，
综上，或时，无零点；时，有一个零点；时，有两个零点
（2）有两个零点时，令，，则，为两解，
则，则，则，
由可得，，则，
则，则，
由可得，，则，
由在递减，可得，则.
令，即证：；
即证：显然成立，故原式成立.
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