浙江省杭州市杭二中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 浙江省杭州市杭二中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 472.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-29 11:42:25 | ||
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文档简介
杭二中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知函数，则（ ）
A.1 B.2 C.4 D.6
3.“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
4.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
5.若函数是上的偶函数，且在区间上单调递增，则下列关系中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
6.若不等式在上有解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.已知，，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
8.设函数的定义域为，对于任意，若所有点构成一个正方区域，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.已知，都为正数，且，则下列说法正确的是（ ）
A.的最大值为 B.的最小值为
C.的最大值为 D.的最小值为
10.已知，函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
11.设函数，若表示不超过的最大整数，则的函数值可能是（ ）
A.0 B. C.1 D.2
12.著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：对于形如的代数式，可以转化为平面上点与的距离加以考虑.结合综上观点，对于函数，下列说法正确的是（ ）
A.的图象是轴对称图形 B.的值域是
C.先减小后增大 D.方程有且仅有一个解
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数是幂函数，则实数__________.
14.已知是减函数，则实数的取值范围是__________.
15.，的最大值为___________.
16.已知函数，记集合，，若，则实数的取值范围是__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）设集合，，.
（1）若，求实数的值；
（2）若且，求实数的值.
18.（本题满分12分）计算：（1）；
（2）.
19.（本题满分12分）已知函数.
（1）用定义法证明：在上单调递增；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
20.（本题满分12分）已知函数是偶函数.
（1）求的值；
（2）若方程有解，求实数的取值范围.
21.（本题满分12分）“智能”是本届杭州亚运会的办赛理念之一.在亚运村里，时常能看到一辆极具科技感的小巴车出现在主干道上，车内没有司机，也没有方向盘，这就是无人驾驶AR智能巴士.某地在亚运会后也采购了一批无人驾驶巴士作为公交车，公交车发车时间间隔（单位：分钟）满足，，经测算，该路无人驾驶公交车载客量与发车时间间隔满足：，其中.
（1）求，并说明的实际意义；
（2）若该路公交车每分钟的净收益（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益.
22.（本题满分12分）已知函数，其中常数.
（1）若函数分别在区间，上单调，求的取值范围；
（2）当时，是否存在实数和，使得函数在区间上单调，且此时的取值范围是.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
参考答案
1.A 2.B 3.A 4.D 5.B 6.C 7.B 8.D 9.ABD 10.ABC 11.AB 12.AC
13.或2 14. 15. 16.
17.（1）5；（2）
【解析】（1）由题可得，由，得.
从而2，3是方程的两个根，即，解得.
（2）因为，.
因为，所以，又，所以，
即，，解得或.
当时，，则，不符合题意；
当时，，则且，故符合题意，
综上，实数的值为.
18.（1）；（2）.
【解析】（1）原式；
（2）原式.
19.（1）省略；（2）.
【解析】（1）设任意两个实数，满足，
则，
∵，∴，，∴，
即，所以在上为单调递增；
（2）原不等式化为，∵，∴是奇函数，
∴不等式化为，又是增函数，所以，
∴问题转化为，恒成立，∴.
20.（1）.（2）.
【解析】（1）由已知可得，.
因为为上的偶函数，所以，
即，即恒成立，
所以，解得，
经检验，满足题意，故.
（2）由（1）知，.
令，则，当且仅当时等号成立，
所以，即，所以.
因为方程有解，所以.
21.（1）35，发车时间间隔为5分钟时，载客量为35；（2）6分钟，38元.
【解析】（1），
实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35；
（2）∵，
∴当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，当时，取得最大值38；
当时，，该函数在区间上单调递减，
则当时，取得最大值28.4.
综上所述，当发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元.
22.（1）；（2）.
【解析】解：（1）设，∵，∴函数分别在区间，上单调且，要使函数分别在区间，上单调，则只需
（2）如图，可知，在、、、均为单调函数，
（Ⅰ）当时，在上单调递减，
则两式相除整理得，
∵∴上式不成立即，无解，无取值.
（Ⅱ）当时，在上单调递增，
则，即在有两个不等实根，
而令则，
作在的图像可知，，
（Ⅲ）当时，在上单调递减，
则，两式相除整理得
∴，∴，∴，
由得，
则关于的函数是单调的，而应有两个不同的解，此时无解.
（Ⅳ）当时，同（Ⅰ）可以解得无取值，
综上，的取值范围为.
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知函数，则（ ）
A.1 B.2 C.4 D.6
3.“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
4.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
5.若函数是上的偶函数，且在区间上单调递增，则下列关系中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
6.若不等式在上有解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.已知，，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
8.设函数的定义域为，对于任意，若所有点构成一个正方区域，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.已知，都为正数，且，则下列说法正确的是（ ）
A.的最大值为 B.的最小值为
C.的最大值为 D.的最小值为
10.已知，函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
11.设函数，若表示不超过的最大整数，则的函数值可能是（ ）
A.0 B. C.1 D.2
12.著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：对于形如的代数式，可以转化为平面上点与的距离加以考虑.结合综上观点，对于函数，下列说法正确的是（ ）
A.的图象是轴对称图形 B.的值域是
C.先减小后增大 D.方程有且仅有一个解
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数是幂函数，则实数__________.
14.已知是减函数，则实数的取值范围是__________.
15.，的最大值为___________.
16.已知函数，记集合，，若，则实数的取值范围是__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）设集合，，.
（1）若，求实数的值；
（2）若且，求实数的值.
18.（本题满分12分）计算：（1）；
（2）.
19.（本题满分12分）已知函数.
（1）用定义法证明：在上单调递增；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
20.（本题满分12分）已知函数是偶函数.
（1）求的值；
（2）若方程有解，求实数的取值范围.
21.（本题满分12分）“智能”是本届杭州亚运会的办赛理念之一.在亚运村里，时常能看到一辆极具科技感的小巴车出现在主干道上，车内没有司机，也没有方向盘，这就是无人驾驶AR智能巴士.某地在亚运会后也采购了一批无人驾驶巴士作为公交车，公交车发车时间间隔（单位：分钟）满足，，经测算，该路无人驾驶公交车载客量与发车时间间隔满足：，其中.
（1）求，并说明的实际意义；
（2）若该路公交车每分钟的净收益（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益.
22.（本题满分12分）已知函数，其中常数.
（1）若函数分别在区间，上单调，求的取值范围；
（2）当时，是否存在实数和，使得函数在区间上单调，且此时的取值范围是.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
参考答案
1.A 2.B 3.A 4.D 5.B 6.C 7.B 8.D 9.ABD 10.ABC 11.AB 12.AC
13.或2 14. 15. 16.
17.（1）5；（2）
【解析】（1）由题可得，由，得.
从而2，3是方程的两个根，即，解得.
（2）因为，.
因为，所以，又，所以，
即，，解得或.
当时，，则，不符合题意；
当时，，则且，故符合题意，
综上，实数的值为.
18.（1）；（2）.
【解析】（1）原式；
（2）原式.
19.（1）省略；（2）.
【解析】（1）设任意两个实数，满足，
则，
∵，∴，，∴，
即，所以在上为单调递增；
（2）原不等式化为，∵，∴是奇函数，
∴不等式化为，又是增函数，所以，
∴问题转化为，恒成立，∴.
20.（1）.（2）.
【解析】（1）由已知可得，.
因为为上的偶函数，所以，
即，即恒成立，
所以，解得，
经检验，满足题意，故.
（2）由（1）知，.
令，则，当且仅当时等号成立，
所以，即，所以.
因为方程有解，所以.
21.（1）35，发车时间间隔为5分钟时，载客量为35；（2）6分钟，38元.
【解析】（1），
实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35；
（2）∵，
∴当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，当时，取得最大值38；
当时，，该函数在区间上单调递减，
则当时，取得最大值28.4.
综上所述，当发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元.
22.（1）；（2）.
【解析】解：（1）设，∵，∴函数分别在区间，上单调且，要使函数分别在区间，上单调，则只需
（2）如图，可知，在、、、均为单调函数，
（Ⅰ）当时，在上单调递减，
则两式相除整理得，
∵∴上式不成立即，无解，无取值.
（Ⅱ）当时，在上单调递增，
则，即在有两个不等实根，
而令则，
作在的图像可知，，
（Ⅲ）当时，在上单调递减，
则，两式相除整理得
∴，∴，∴，
由得，
则关于的函数是单调的，而应有两个不同的解，此时无解.
（Ⅳ）当时，同（Ⅰ）可以解得无取值，
综上，的取值范围为.
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