山东省日照市2023-2024学年高三上学期1月期末校际联合考试数学试题（含答案）

日照市2021级高三上学期期末校际联合考试
数学试题
2024.1
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回.
一 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知锐角满足，则（ ）
A. B. C. D.
3.若无穷等差数列的公差为，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.实数满足，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
5.在平行四边形中，，则（ ）
A.2 B. C. D.4
6.设为两个事件，已知，则（ ）
A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6
7.如图，过圆柱轴截面对角线作圆柱的斜截面，所得图形为一个椭圆，将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦型曲线.若该段正弦型曲线是函数图象的一部分，且其对应椭圆的离心率为，则的值为（ ）
A. B. C. D.2
8.设体积相等的正方体 正四面体和球的表面积分别为，则（ ）
A. B.
C. D.
二 多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9.设为复数（为虚数单位），下列命题正确的有（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
10.已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B.函数的图象关于直线对称
C.函数的图象关于点对称
D.函数在上单调递增
11.数学家棣莫弗发现，如果随机变量服从二项分布，那么当比较大时，近似服从正态分布，其密度函数为.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布.当时，对任意实数，记，则（ ）
A.
B.当时，
C.随机变量，当减小，增大时，概率保持不变
D.随机变量，当都增大时，概率增大
12.在平面四边形中，点为动点，的面积是面积的3倍，又数列满足，恒有，设的前项和为，则（ ）
A.为等比数列 B.
C.为等差数列 D.
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.展开式中项的系数为__________.
14.已知双曲线的一条渐近线为，则的离心率为__________.
15.已知平面截一球面得圆，过圆心且与成角的平面截该球面得圆.若该球的半径为4，圆的面积为，则圆的面积为__________.
16.已知函数的图象上存在三个不同的点，使得曲线在三点处的切线重合，则此切线的方程为__________.（写出符合要求的一条切线即可）
四 解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知的内角所对的边分别为，若的面积为.
（1）求；
（2）若，求.
18.（12分）
已知个正数排成行列，表示第行第列的数，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且公比都为.已知.
（1）求公比；
（2）记第行的数所成的等差数列的公差为，把所构成的数列记作数列，求数列的前项和.
19.（12分）
随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，2021年的考研人数是377万人，2022年考研人数是457万人.某省统计了该省其中四所大学2023年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：
大学 大学 大学 大学
2023年毕业人数（千人） 8 7 5 4
2023年考研人数（千人） 0.6 0.4 0.3 0.3
（1）已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；
（2）假设该省对选择考研的大学生每人发放0.6万元的补贴，若大学的毕业生中小江 小沈选择考研的概率分别为，该省对小江 小沈两人的考研补贴总金额的期望不超过0.75万元，求的取值范围.
参考公式：.
20.（12分）
如图，在直角梯形中，.现将沿对角线翻折到，使平面平面.若平面平面，平面平面，直线与确定的平面为平面.
（1）证明：；
（2）求平面与平面所成角的余弦值.
21.（12分）
已知函数.
（1）若，讨论的单调性；
（2）若在区间上存在唯一零点，求证：.
22.（12分）
已知椭圆，其上焦点与抛物线的焦点重合.若过点的直线交椭圆于点，同时交抛物线于点（如图1所示，点在椭圆与抛物线第一象限交点下方）.
（1）求抛物线的标准方程，并证明；
（2）过点与直线垂直的直线交抛物线于点（如图2所示），试求四边形面积的最小值.
参照秘密级管理★启用前 试卷类型：A
日照市2021级高三上学期期末校际联合考试
数学试题答案
2024.1
一 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1-4ACAD 5-8ABAC
二 多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9.AC 10.ACD 11.BC 12.BCD
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.40 14. 15. 16.或
四 解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.解：（1）由余弦定理知：
在中，，即
又，即
.
（2）由（1）知，则角为锐角.
由正弦定理知：，则，.
.
又，
.
18.解：（1）由题意知成等差数列，
其公差为，
，
又成等比数列，且，
公比，由于，故；
（2）由可得，
而，故，所以；
又，所以，
由于为等差数列，公差为，
所以，即，
所以
19.解：（1）由题意得，
又，
，
，
，
所以，
故得关于的线性回归方程为；
（2）设小江 小沈两人中选择考研的人数为，则的所有可能值为，
，
，
，
，
，可得，
又因为，可得，
故.
20.解：（1）在直角梯形中，
又平面平面平面，
平面，平面平面，
（2）设，连接，则直线为直线，由（1）知，
由题意知，取的中点，连接，则
平面平面，平面平面
平面
取的中点，连接，则四边形为正方形，连接，则
两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，则
所以，取，得
设平面的法向量为，则
所以，取，得
所以.
所以平面与平面所成角的余弦值为
21.解：（1）由题意知，求导得，
，
令，得，又因为，则，，
①当时，有，此时，所以此时在上单调递增；
②当时，有，令得：，所以在和上单调递增，令得：，所以在上单调递减；
③当时，有，令得：，所以在和上单调递增，令得：，所以在上单调递减.
综上所述：当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
（2）由题意知在区间上存在唯一零点，即存在唯一的，使得，即得，
若要证明，则只需证明，
即只需证明即可，
不妨设
求导得，
令，继续求导得，
所以当时，单调递增，
所以，
所以当时，单调递增，所以，
即当时，有不等式成立，
综上所述：若在区间上存在唯一零点，则.
22.解：（1）设抛物线的方程为，
由椭圆得：，则，故抛物线的焦点坐标为，
所以，所以抛物线的方程为
易知过点的直线的斜率存在，故可设直线方程为，
设，
联立，消去得：，
则，
所以.
联立，消去得：，
则，
则
又
，
即
（2）设，
当直线的斜率存在且不为零时，
设直线方程为，则直线方程为，
由（1）的过程可知：，
由，以替换，可得，
所以，
因为，所以，
当直线的斜率不存在时，，
所以；
综上所述：，所以四边形面积的最小值为.