湖州市 2023学年第一学期高一期末教学测试
数学参考答案
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D B C C A D B
二、多项选择题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，至少
有两个是符合题目要求的，全部选对的得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分.
题号 9 10 11 12
答案 ABD BD BC ACD
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
x 6 9
11
13. y 2 14. 15. ,
16. 5
4 3
四 解答题：本题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.(本题满分 10分)
2 x
已知集合 A x x 8x 12 0 ，B x 2 8 .
（1）求 A B和求 R A B ；
（2）若C x a 4 x a 4 ，且 A C A，求 a的取值范围.
2 x
解析：（1）∵ A x x 8x 12 0 x 2 x 6 ， B x 2 8 x x 3 ，
----------------------------------------2分
∴ A B x 3 x 6 ； -----------------------------------------------------------3 分
∴ A B x x 2 ， R A B x x 2 -------------------------------------------------------4分
（2）若C x a 4 x a 4 ，且 A C A，则 A C， -----------------------6 分
a 4 2
所以 ， -------------------------------------------------8 分
a 4 6
解得 2 a 6，∴ a的取值范围 2,6 . --------------------------------------------------10 分
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18. (本题满分 12分)在平面直角坐标系 xOy 中，角 的始边为 x轴的非负半轴，终边过点
P 1,2 2sin cos ．（1）求 的值；（2）求 cos 2 的值．
sin cos 3
解析：（1）由题意得， tan 2， -------------------------------------2分
2sin cos 2 tan 1
则 5； -------------------------------------6 分
sin cos tan 1
另解：由角 终边过点 P 1,2 ，得 sin 2 5 5 ， cos ，---------------------4分
5 5
2sin cos
则 5； -------------------------------------6 分
sin cos
（2）由题意得， sin 2 5 ， cos 5 ，
5 5
sin 2 2sin cos 4 cos2 2cos2， 1
3
，------------------------------10 分
5 5
cos 2 cos2 cos
sin 2 sin 3 1 4 3 4 3 3 ---------12分
3 3 3 5 2 5 2 10
（其它解法也酌情给分）
19. (本题满分 12分)
随着电动汽车研发技术的日益成熟，电动汽车的普及率越来越高.某型号电动汽车在封闭路
段进行测试，限速 80 km / h (不含 80 km / h ).经多次测试得到，该汽车每小时耗电量M
(单位：Wh )与速度 v (单位： km / h )的数据如表所示．
v 0 10 30 70
M 0 1 325 3375 9275
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系,现有以下三种函数模型供选择:
M (v) 1 2 v3 bv2 cv，M (v) 1000（ ）v a ,M (v) 300 loga v b .40 3
(1) 当0 v 80时,请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型,并求出相应的函数
解析式；
(2) 在本次测试报告中，该电动汽车的最长续航里程为 400 km .若测试过程为匀速运动，请
计算本次测试时的车速为何值时，该电动汽车电池所需的容量(单位：Wh )最小？并计算出
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该最小值．
解析：(1)对于M (v) 300 loga v b ,当 v 0时,它无意义,所以不符合题意;
M (v) 1000 2（ ）v对于 a ,它显然是个减函数,所以不符合题意;
3
M (v) 1故选 v3 bv2 cv . ---------------3 分
40
根据提供的数据,有
1
10
3 b 102 c 10 1325
40 b 2
1
303 b 302 c 30 3375 c 150 40
1
当0 v 80 3 2时,M (v) v 2v 150v . --------------------------6分
40
400
(2)设车速为 vkm / h ,所用时间为 h , --------------------------8 分
v
400 1 3 2 2 2
所耗电量 f (v) ( v 2v 150v) 10(v 80v 6000) 10(v 40) 44000
v 40
要使得续航里程最长，则耗电量达到最小，即 v 40km / h .
所以当测试员控制的车速为 40km / h，
该电动汽车的电池所需的最小容量为 44000Wh . --------------------------12 分
2x a
20. (本题满分 12分)已知定义域为 R 的函数 f (x) 是奇函数．
2x 1
（1）判断函数 f (x)的单调性，并证明；
（2）解关于 x的不等式 f sin x f (cos x) 0．
解析：（1）因为 f (x)是定义在 R上的奇函数，则 f (-x)+ f (x)= 0，
x x 2x a 2 x x x x
即 f ( x) f (x)
a 2 a 2 a 2 a 2 1 a 2
2 x
x 1 2 1 2x 2 x 1 2x 1 2x 1
(a 1) 2 x 1
a 1 0，解得 a 1， -------------------------2 分
2x 1
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所以 f (x) 2
x 1 2 2x 1 2
1，故 f (x)在 R上是递减函数．---------4分
2x 1 2x 1 2x 1
证明：任取 x1, x2 R，且 x1 x2，
2 2x2 2x1
f x1 f
x2 1
2 2
x 1 ，0 2x1 2x22 1 1 2x2 1 2x ，1 1 2x2 1
∴ f x1 f x2 0，即 f x1 f x2 ，故 f (x)是定义在 R上的递减函数；----------7 分
（2）∵ f sin x f cos x 0，∴ f sin x f cos x f cos x ，------------9分
f (x)是 R上的减函数，∴ sin x cos x sin x cos x 0 2 sin(x
) 0，
4
x ( 2k ,2 2k ) x (3 2k , 7 2k ) --------------12 分
4 4 4
21. (本题满分 12分)
2023年 12月 1日，“民族魂·中国梦——阳光下成长”2023年浙江省中小学生艺术节闭幕式
暨颁奖晚会在湖州大剧院举行.为迎接艺术节闭幕式的到来，承办方计划将场地内一处扇形
荒地进行改造．已知该扇形荒地OAB的半径为 20米，圆心角 AOB ，承办方初步计划
3
将其中的 OMPN （如下左图，点 P位于弧 AB上，M ,N分别位于半径OA,OB）区域改
造为花卉区，扇形荒地OAB内其余区域改造为草坪区.
（1）承办方进一步计划将MP,NP设计为观光步道，其宽度忽略不计.若观光步道造价为
1000 3元/米，请你设计观光步道的造价预算，确保观光步道最长时仍有资金保障；
（2）因某种原因，承办方修改了最初的改造计划，将花卉区设计为矩形 PRST（如下右图，
其中 S ,T 位于半径OA上，R位于半径OB上）．为美观起见，承办方最后决定将四边形 PRST
设计为正方形．求此时花卉区 PRST 的面积．
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解析：（1）设 AOP ， (0, )，过点 P做 OA的垂线交 OA于 H，
3
PH 20sin ,OH 20cos ,MH 20 3 sin
3
MP 40 3 sin ,NP 20cos 20 3 sin -------------------------3 分
3 3
MP NP 20cos 20 40 3 sin 3 sin( ) (20, 40 3]
3 3 3 3
所以预算应该设定为 40 3 1000 3 40000元. -------------------------6分
3
（2） PT 20sin , ST 20cos 20 3 sin --------------------8 分
3
PT ST 20sin 20cos 20 3 3 3 3 3 sin tan sin -----10 分
3 2 16 6 3
S PT 2 400sin2 8400 2400 3 (m2 ) ------------------------12 分
37
22. (本题满分 12分)
已知函数 f x 满足 f x 2 f x 3x 2 2x 3 g x f x ，函数 .
x
(1)求函数 f x 的解析式；
(2)若不等式 g log2 x k log2 x 0 在 x 4,8 上恒成立，求实数 k的取值范围；
6m 7
(3)若关于 x的方程2g ln x 4m 2 0 mln x 有四个不同的实数解，求实数 的取值范围.
解析：（1）因为 f x 2 f x 3x 2 2x 3①
则 f x 2 f x 3x 2 2x 3②
故联立上述方程组，解得 f (x) x2 2x 1 ---------3分
2 1 f x x2 2x 1 f xg x x 1（ ）由（ ）知 ， 2，
x x
因为不等式 g log2 x k log2 x 0 在 x 4,8 上恒成立，
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所以 log2x
1
2 klog2x 0在 x 4,8log2x
上恒成立，
设 t log2x，则 t 2,3 ，
1
所以， t 2 kt 0，在 t 2,3 上恒成立，
t
2
所以 k 1 2 1 1 1 2 ，在 t 2,3 上恒成立， --------------------------------5 分t t t
2 2
因为 t 2,3 1 1 , 1 1 1 1 1 4，所以 ，当 时， 1 取得最大值，最大值为 1 ，t 3 2 t 3 t 3 9
k 1 1 2 1
2 4
所以， 2 1
t t t
，在 t 2,3 上恒成立，则 k ，
9
4
所以 k的取值范围是 , . --------------------------------7 分 9
6m 7 2 6m 7
（3）方程 2g ln x 4m 2 0等价于 2 ln x 4 4m 2 0ln x ln x ln x ，
2 ln x 2即 (4m 6) ln x 6m 5 0， | ln x | 0，
令 ln x t 2，则方程化为 2t 4m 6 t 6m 5 0， t 0 ，
2g ln x 6m 7因为方程 4m 2 0ln x 有四个不同的实数解，
2
所以 2t 4m 6 t 6m 5 0， t 0 ，有两个不同的正根 t1 t2 ，---------------9 分
记h(t) 2t2 4m 6 t 6m 5 ，
0
0 h 0 6m 5 0 m 5 5所以， ，此时 . 另解， t1 t2 0，此时m .
4m 6 6 0 t1 t 0
6
2
2 2
m 5综上， . -------------------------------------12 分
6
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{#{QQABAQQAggioABIAAAhCQwVICAEQkBEACKoGQFAEIAIASRFABAA=}#}2023学年第一学期期末调研测试卷
高一数学
注意事项：
1,本科日考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答
2.本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150
分，考试时间120分钟.
第I卷
(选择题，共60分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x2-2x-3<0,B={gx≤1，则AUB=(▲)
A.(-1,10]
B.(0,3)
c.(0,10]
D.(-1,3]
2已知c0sx-22，,xe0,,则sinx=(4)
A月
B.±
c.22
D.
3
3
3
3.设x∈R,则“3-x≥0”是“(x-22≤1”的（▲)
A充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.图中实线是某商品利润y关于销售量x的图象，由于目前亏损，商店决定降低成本，同时
提高商品售价，决策后的图象用虚线表示，以下能说明该事实的是（▲）
高一数学试卷第1页（共6页）
5.已知函数fx)=e-e，则使f川)A.(-1,0)
B.(-l,too）
c.(-1,)
D.(1,+o)
6.已知a=l0go.20.5,b=logo50.2,c=0.52,则a,b,c的大小关系为（▲）
A.b>c>a
B.b>a>c
C.a>c>b
D.c>b>a
7.我们知道，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是y=Asinox.已知某音是由3
个不同的纯音合成，其函数为f()=sinr+sin2x+sin3x,则（▲）
3
11
B.f(x)的最大值为
6
Cf()的最小正周期为2”
Df0
上是增函数
8.已知函数f(x)=xnx-x-lnx(x>1)的零点为x,函数g(x)=x·e-x-e(x>1)的零
点为x2,则下列结论错误的是（▲）
A.-
B.x2=e
C.x>e
D.￥+x2>3
x X2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.给出下列四个选项中，其中正确的选项有（▲）
3
A若角a的终边过点P(-3,m)且cosa=-号，则m=4
B.设角&为锐角（单位为弧度），则a>sin
C.命题“3x∈R,使得x2+x-1<0”的否定是：“xeR,均有x2+x-1>0”
D.若x,yeR,则“x>y>0”是“Ix y
高一数学试卷第2页（共6页）
