2023-2024学年江苏省常州重点中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省常州重点中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知等差数列的前项和为，，，则( )
A. B. C. D.
2.若有以下两个命题：命题甲：，，成等比数列；命题乙：则命题甲是乙的( )
A. 充分而非必要条件 B. 必要而非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
3.求与直线平行且将圆的周长平分的直线方程为( )
A. B. C. D.
4.已知双曲线的两条渐近线均和圆：相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
5.“五一”假期将至，腾冲又将迎来今年的新一轮旅游热潮腾冲某旅行社适时推出了“火山热海”、“和顺古镇”、“叠水河畔”、“湿地荷韵”和“佤寨风光”共五条旅游线路可供旅客选择，其中“火山热海”线路只剩下一个名额，其余线路名额充足现甲、乙、丙、丁四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰好选择了三条不同的线路则他们报名的情况总共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.已知等比数列各项均为正数，且满足：，，记，则使得的最小正数为( )
A. B. C. D.
7.数列共有项，其中，，，且，，，，，则满足这种条件的不同数列的个数为( )
A. B. C. D.
8.双曲线：的左，右焦点分别为，，过作垂直于轴的直线交双曲线于，两点，，，的内切圆圆心分别为，，，则的面积是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为曲线上一动点，则( )
A. 的最小值为
B. 存在一个定点和一条定直线，使得到定点的距离等于到定直线的距离
C. 到直线距离的最小值小于
D. 的最小值为
10.下列说法正确的是( )
A. 用，，，，能组成个不同的位数
B. 将个团员指标分到个班，每班要求至少得个，有种分配方法
C. 小明去书店看了本不同的书，想借回去至少本，有种方法
D. 甲、乙、丙、丁各写了一份贺卡，四人互送贺卡，每人各拿一张贺卡且每人不能拿到自己写的贺卡，有种不同的方法
11.年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：“只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成等份，只好先去睡觉，准备第二天再分夜里只猴子偷偷爬起来，先吃掉个桃子，然后将其分成等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第只猴子又爬起来，吃掉个桃子后，也将桃子分成等份，藏起自己的一份睡觉去了；以后的只猴子都先后照此办理问最初至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？”下列说法正确的是( )
A. 若第只猴子分得个桃子不含吃的，则
B. 若第只猴子连吃带分共得到个桃子，则为等比数列
C. 若最初有个桃子，则第只猴子分得个桃子不含吃的
D. 若最初有个桃子，则必有的倍数
12.椭圆有如下的光学性质，从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点现椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点，左、右焦点分别为、一束光线从射出，经椭圆镜面反射至，若两段光线总长度为，且椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为，则下列说法正确的是( )
A. 椭圆的标准方程为
B. 若点在椭圆上，则的最大值为
C. 若点在椭圆上，的最大值为
D. 过直线上一点分别作椭圆的切线，交椭圆于，两点，则直线恒过定点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知点，是椭圆的两个焦点，横坐标为的点在椭圆上，则的周长为______ ．
14.已知数列满足，，则的最小值为______ ．
15.已知点，若圆：上存在点，使得线段的中点也在圆上，则实数的取值范围是______ ．
16.我们常常运用对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如：从装有编号为，，，，的个球的口袋中取出个球，共有种取法在种取法中，不取号球有种取法；取号球有种取法所以试运用此方法，写出如下等式的结果： ______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知二项式．
当时，求二项式展开式中各系数的和；
若二项式展开式中第项，第项，第项的二项式系数和成等差数列，且二项展开式中存在常数项，求的值．
18.本小题分
为分析肥胖程度对总胆固醇与空腹血糖的影响，在肥胖人群中随机抽出人，他们的肥胖指数值、总胆固醇指标单位：、空腹血糖指标值单位：如表所示．
人员编号
值
指标值
指标值
用变量与，与的相关系数，分别说明指标值与值、指标值与值的相关程度；
求与的线性回归方程，已知指标值超过为总胆固醇偏高，据此模型分析当值达到多大时，需要注意监控总胆固醇偏高情况的出现上述数据均要精确到．
参考公式：相关系数
回归直线，其中，
参考数据：，，，，，，，，，，．
19.本小题分
已知等差数列和等比数列，其中的公差不为设是数列的前项和若，，是数列的前项，且．
求数列和的通项公式；
是否存在常数，使得为等差数列？并说明理由．
20.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知等轴双曲线：的左顶点，过右焦点且垂直于轴的直线与交于，两点，若的面积为．
求双曲线的方程；
若直线：与双曲线的左，右两支分别交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，求的取值范围．
21.本小题分
设数列的前项和为，满足，且，数列满足，对任意且，，，成等比数列，其中．
求数列，的通项公式；
记，证明：当且时，．
22.本小题分
已知椭圆：，四点，，，中恰有三点在椭圆上．
求椭圆的方程；
设直线不经过点且与相交于，两点，若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点．
如图，抛物线：的焦点是，过动点的直线与椭圆交于，两点，与抛物线交于，两点，且是线段的中点，是否存在过点的直线交抛物线于，两点，且满足，若存在，求直线的斜率的取值范围；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：等差数列，，，
，，
则．
故选：．
利用等差数列的通项公式求出和，再利用等差数列的前项和公式求解即可．
本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前项和公式，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：若，，成等比数列，由等比中项的定义可知，充分性成立；
反之，若时，可能，但，，不是等比数列，必要性不成立．
综上所述，命题甲是乙的充分不必要条件．
故选：．
利用等比中项的性质，结合举反例加以判断，可知甲是乙的充分不必要条件，从而得出答案．
本题主要考查了等比数列的概念、充要条件的判断及其应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：设与直线平行的直线方程：，
圆化为，圆心坐标．
因为直线平分圆，圆心在直线，所以，解得，
故所求直线方程为．
故选：．
设出与已知直线平行的直线方程，利用直线平分圆的方程，求出结果即可．
本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，直线与直线平行的方程的设法，考查计算能力．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了圆的一般方程，直线与圆的位置关系及其应用，双曲线的标准方程及其求法，双曲线的几何性质及其运用，两曲线的综合运用，属于中档题．
先利用圆的一般方程，求得圆心坐标和半径，从而确定双曲线的焦点坐标，得有关、的一个等式，再利用直线与圆相切的几何性质，得出圆心到渐近线距离等于圆的半径，得有关、的另一个等式，联立即可解得、的值，从而确定双曲线方程．
【解答】
解：圆：，圆心，半径，
双曲线的右焦点坐标为，即，，
双曲线的一条渐近线方程为，
由双曲线的两条渐近线均和圆相切，则圆心到渐近线的距离等于半径，即，
由解得：，，
该双曲线的方程为．
故本题选A．
5.【答案】
【解析】解：若四人中，没有人选择“火山热海”线路，，
则方法数有种，
若四人中，恰有人选择“火山热海”线路，
则方法数有种，
所以他们报名的情况总共有种．
故选：．
根据四人是否有人选择“火山热海”线路进行分类讨论，由此求得正确答案．
本题考查了排列组合的简单计数问题，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由得：，
或，
，，
，
又，，
，，，
则使得的最小正数为，
故选：．
先由已知条件判断出，，的范围，即可判断出使得的最小正数的数值．
本题主要考查了等比数列的性质，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：，
或，
即数列从前往后依次增加或减小，
，，，
从到有次增加，次减小，故有种，
从到，次增加，次减小，故有种，
满足这种条件的不同数列的个数为，
故选：．
根据题意，分别确定从到，到满足条件的个数，然后利用组合知识，即可得到结论．
本题考查数列知识，考查组合知识的运用，正确利用，是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．
8.【答案】
【解析】解：由题意如图所示：由双曲线：，知，
所以，
所以，
所以过作垂直于轴的直线为，
代入中，解出，
由题知，的内切圆的半径相等，
且，，的内切圆圆心，的连线垂直于轴于点，
设为，在中，由等面积法得：，
由双曲线的定义可知：，
由，所以，
所以，
解得：，
因为为的的角平分线，
所以一定在上，即轴上，令圆半径为，
在中，由等面积法得：，
又，
所以，
所以，
所以，，
所以，
故选：．
由题意画出图，由已知求出的值，找出，的坐标，由，，的内切圆圆心分别为，，，进行分析，由等面积法求出内切圆的半径，从而求出的底和高，利用三角形的面积公式计算即可．
本题主要考查了双曲线性质，定义的综合应用，考查了一定的运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由，得，则曲线为抛物线的右半部分含原点．
因为抛物线的焦点为，准线为：，所以B正确；
，故A错误；
原点到直线的距离为，数形结合可知，原点到直线的距离是最短距离，故C错误；
设点到准线：的距离为，到准线：的距离为，
则，故D正确．
故选：．
由曲线，化简可得，利用抛物的定义及距离公式依次判断各选项即可得出结果．
本题主要考查轨迹方程的应用，抛物线的定义及其应用等知识，考查运算求解能力，是中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于，第一步先排百位数，有种排法，第二步排十位数有种排法，第三步排个位数有种排法，由分步乘法计数原理可得共有个不同的三位数，A错误；
对于，第一步，每个班先各分一个团员指标，有一种方法，第二步，再将余下个团员指标排成一排，个指标之间有个空，用块隔板插入其中的两个空，每种插空方法就是一种将个指标分给个班，每班至少一个指标的分配方法，故第二步有种方法，由分步乘法计数原理可得满足条件的分配方法有种，B正确；
对于，因为借回至少本的反面为本都不借，又小明所有的借书方法数为种，所以借回至少本的方法数为种，C错误；
对于，第一步甲先拿贺卡，有种方法，第二步安排甲拿到的贺卡的主人拿，有种方法，第三步余下两人拿贺卡，由于其中一人不能拿自己的贺卡，故只有一种方法，由分步乘法计数原理可得共种方法，D正确；
故选：．
根据分步乘法计数原理求出三位数的个数判断，根据隔板法和分步乘法计数原理求出分配方法数，判断，利用间接法求出满足要求的方法数判断，利用分步乘法计数原理求出满足条件的方法数，判断．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：设最初有个桃子，猴子每次分剩下的桃子依次为，，，，，
则，
若第只猴子分得个桃子不含吃的，
则，
所以，
即，故A正确；
由，，
则，
即是等比数列，
若第只猴子连吃带分共得到个桃子，则，
所以是以为公比的等比数列，故B正确．
由知，是等比数列，
所以，
即，
若最初有个桃子，即，
所以，故C错误；
根据题意：，
因为以为公比的等比数列，
所以，
化简得，
因为，且为正整数，
所以，
即必有的倍数，故D正确．
故选：．
设最初有个桃子，猴子每次分剩下的桃子依次为，，，，，则，若第只猴子分得个桃子不含吃的，则，根据与关系即可判断的正误；由构造等比数列即可判断的正误；根据求出数列的通项公式，将代入求解即可判断；根据题意，，又为等比数列，判断的正误．
本题主要考查数列的应用，考查转化能力，属于难题．
12.【答案】
【解析】解：选项A，设椭圆的标准方程为，焦距为，
由题意知，，离心率，
所以，，，
所以椭圆的方程为，即选项A正确；
选项B，当点位于椭圆的上或下顶点时，平分，且，，
所以，即选项B错误；
选项C，设点，其中，则，即，
而，
所以，在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，此时，即选项C正确；
选项D，设点，则，
过点作椭圆的切线，切点弦所在的直线方程为，即直线的方程为，
联立，消去可得，，
整理得，，
令，解得，
所以直线恒过定点，即选项D正确．
故选：．
选项A，设椭圆的标准方程为，焦距为，根据椭圆的定义与离心率的求法，计算和的值，即可得解；
选项B，取特殊值，当点位于椭圆的上或下顶点时，平分，结合椭圆的几何性质与二倍角公式，计算的值，即可排除；
选项C，设点，其中，利用两点间距离公式将表示成关于的二次函数，再由二次函数的单调性，求解即可；
选项D，设点，有，结合过点作椭圆的切线，切点弦所在的直线方程为，消去，整理成关于的式子，再令其系数为，即可得解．
本题主要考查椭圆的几何性质，熟练掌握椭圆的几何性质，切点弦方程是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为椭圆，
由椭圆定义可得，，
所以的周长为．
故答案为：．
根据椭圆的定义求出以及的长，从而得到的周长．
本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：由，得，当时，，
，
当时，上式也符合，
，
当依次取，，时，的值递减，当时，递增，
且，，
的最小值为．
故答案为：．
利用累加法求得，结合数列的单调性求得的最小值．
本题考查累加法、数列递推式、数列单调性等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
15.【答案】
【解析】解：设，则，
的中点为，
由题意可得，
即，
由可得，
解得．
故答案为：
由既在圆上，结合线段的中点坐标公式可得又在以为圆心，半径为的圆上，由两圆的位置关系，解不等式可得所求取值范围．
本题考查圆的方程和应用，以及两圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：从编号为，，，，个球中，取出个球，记所选取的六个小球的编号分别为，，，，且，
当时，分三步完成本次选取：
第一步，从编号为，的球中选取个；第二步，选取编号为的球；第三步，从剩下的个球中任选个，故选取的方法数为；
当时，分三步完成本次选取：
第一步，从编号为，，的球中选取个；第二步，选取编号为的球；第三步，从剩下的个球中任选个，故选取的方法数为；
；
当时，分三步完成本次选取：
第一步，从编号为，，，，的球中选取个；第二步，选取编号为的球；第三步，从剩下的个球中选个，故选取的方法数为；
至此，完成了从编号为，，，，个球中，选取个球，第个球的编号确定时的全部情况，
另外，从编号为，，，，个球中，取出个球，有种取法，
所以．
故答案为：．
将等式看作是从编号为，，，，个球中，取出个球，其中第个球的编号依次为，，，的情况，利用分类加法计数原理得到的结果；再由从编号为，，，，个球中，取出个球，有种取法，即可得到结果．
本题主要考查了计数原理的应用，考查了组合数公式的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：当，令，得二项式的展开式中各系数和为；
二项式展开式的通项为，，，，，
由题意可得：，，
即或；
当时，二项式展开式的通项为，所以，是常数，符合题意；
当时，若是常数，则，不符题意舍去，
综上，．
【解析】令利用赋值法求展开式各项系数；
依题意，即可求出，再代入二项式展开式的通项去检验，即可判断．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：变量与的相关系数是，
变量与的相关系数是，
可以看出指标值与值、指标值与值都是高度正相关；
设与的线性回归方程是，
根据所给的数据，计算，；
所以与的回归方程是，
由，可得，
所以，据此模型分析当值达到时，需要注意监控总胆固醇偏高情况的出现．
【解析】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，属基础题目．
根据公式计算变量与的相关系数、变量与的相关系数，即可判定结论；
求出变量与的线性回归方程，利用回归方程求不等式的解集，即得结论．
19.【答案】解：设等差数列的公差为因为，，是数列的前项，
即，且，
所以，因为，所以解得．
所以，．
又，，故数列的公比，所以．
由可知，
若数列是等差数列，则成等差数列，
所以，即，解得或．
令，
当，因为，所以是等差数列．
当，因为，所以是等差数列．
综上，存在常数，且为或，使得为等差数列．
【解析】设等差数列的公差为，运用等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的中项性质和通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；
假设存在常数，使得为等差数列，运用等差数列的求和公式和定义，即可得到结论．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查存在性问题解法，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题．
20.【答案】解：因为双曲线：为等轴双曲线，可得，
设双曲线的焦距为，，
故，即，
因为过右焦点，且垂直于轴，
将代入双曲线的方程可得，故，
又三角形的面积为，即，
解得，
故双曲线的方程为；
由题意可得直线：与双曲线的左右两支交于，两点，
联立，可得，
所以，，解得，
且，则，
且，，
所以，
联立，可得，同理可得，
所以，
所以，其中，
所以，
【解析】本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于难题．
由题意可得，，求得，由三角形的面积公式计算可得，可得双曲线的方程；
联立直线的方程和双曲线的方程，运用韦达定理和判别式大于，以及弦长公式，求得，的坐标，可得，计算可得所求范围．
21.【答案】解：，可得，作差有，即，
又时，，可得为首项为的等差数列，由，即，解得，则；
则，，，
，，成等比数列，可得，
即，，
上式对即也成立，故，；
证明：，
先证不等式的右边，由，
则；
再证不等式的左边，由且时，，即，
可得．
综上可得，当且时，成立．
【解析】将中的换为，作差，结合等差数列的定义和通项公式可得所求；运用等比数列的中项性质和等差数列的求和公式，计算可得所求；
化简，先证不等式的右边，运用，运用裂项相消求和可得；再证不等式的左边，由，运用裂项相消求和可得，进而得到证明．
本题考查数列的递推式的运用，等差数列和等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，以及不等式的证明，考查运算能力、推理能力，属于难题．
22.【答案】解：根据椭圆的对称性，，两点必在椭圆上，
又的横坐标为，椭圆必不过，
，，三点在椭圆上．
把，代入椭圆，
得，解得，，
椭圆的方程为．
证明：当斜率不存在时，设：，，，
直线与直线的斜率的和为，
，
解得，此时过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．
当斜率存在时，设：，，，，
联立，消去整理得，
则，，
则，
又，，此时，存在，使得成立，
直线的方程为，
当时，，
过定点．
解：点，在椭圆上，所以，，
两式相减可得，又是线段的中点，
，，
直线的斜率，
直线的方程为，与抛物线方程联立消去可得，
由题可知，，
又在椭圆内部，可知，，故，
设，，，，
，，
设直线的方程为，与抛物线方程联立，消去可得，
，，
由，可知，即，
，即，
，
，
，解得，即，
直线即的斜率．
【解析】根据椭圆的对称性，得到，，三点在椭圆上．把，的坐标代入椭圆，求出，，即可求出椭圆的方程；
当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设：，与椭圆方程联立，得，由此利用判别式、根与系数的关系、直线方程，结合已知条件能证明直线过定点；
利用点差法求出直线的斜率，从而可得直线的方程，与抛物线方程联立，由，及点在椭圆内部，可求得的取值范围，设直线的方程为，与抛物线方程联立，由根与系数的关系及，可求得的取值范围，进而可求得直线的斜率的取值范围．
本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、根与系数的关系、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，属于难题．
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