2023-2024学年甘肃省兰州市重点大学附中高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年甘肃省兰州市重点大学附中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列，，，，，的一个通项公式可能是
( )
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是( )
A. 方程表示过点，斜率是的直线方程
B. 直线与轴交点为，其中截距
C. 在轴，轴上的截距分别为，的直线方程为
D. 方程表示过任意不同两点，的直线方程
3.设是等差数列的前项和，且，，则使得取最小值时的为( )
A. B. C. 或 D.
4.已知直线经过两条直线：，：的交点，且直线的一个方向向量，则直线的方程是( )
A. B.
C. D.
5.设是等比数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
6.某班组织文艺晚会，准备从，等个节目中选出个节目演出，要求：，两个节目至少有一个选中，且，同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.已知的展开式只有第项的二项式系数最大，设，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知，是双曲线上关于原点对称的两点，是上异于，的动点，设直线，的斜率分别为，若直线与曲线没有公共点，当双曲线的离心率取得最大值时，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若数列的前项和为，则下列错误的是( )
A. 若数列为等差数列，则一定可转化为
B. 若，则数列为等差数列
C. 若实数，满足，则数列为等比数列
D. 若数列为等比数列，为公比，则
10.以下四个命题表述正确的是( )
A. 截距相等的直线都可以用方程表示
B. 圆上有且仅有个点到直线：的距离都等于
C. 曲线：与曲线：恰有三条公切线，则
D. 已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，为切点，则直线经过定点
11.在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理门学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史门科目中选择门，再从政治、地理、化学、生物门科目中选择门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是( )
A. 若任意选科，选法总数为
B. 若化学必选，选法总数为
C. 若政治和地理至少选一门，选法总数为
D. 若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为
12.抛物线：的焦点为，直线过点，斜率，且交抛物线于，点在轴的下方两点，抛物线的准线为，于，于，下列结论正确的是( )
A. B. 若，则
C. 若，则 D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.过点斜率为的直线在轴上的截距为______．
14.已知直线：与：交于，两点，写出满足“为直角三角形”的一个圆心的坐标______ ．
15.在数列中，，，则数列的前项和______．
16.已知椭圆的左、右焦点为、，是椭圆上异于顶点的一点，在上，且满足，，为坐标原点．则椭圆离心率的取值范围______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知直线：和直线：．
试判断，能否平行，若平行，请求出两平行线之间的距离；
若原点到距离最大，求此时的直线的方程．
18.本小题分
已知数列的前项和为，且，在数列中，，．
求数列，的通项公式；
记，求．
19.本小题分
已知圆：和圆：．
试判断两圆的位置关系；若相交，求出公共弦所在的直线方程；
若直线过点且与圆相切，求直线的方程．
20.本小题分
已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上；抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合．
求双曲线和抛物线的标准方程；
过焦点作一条直线交抛物线于，两点，当直线的斜率为时，求线段的长度．
21.本小题分
已知各项均为正数的数列前项和为，且，．
求数列的通项公式；
令，数列的前项和为；
(ⅰ)求；
(ⅱ)是否存在整数，使得不等式恒成立？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．
22.本小题分
已知定点，圆：，点为圆上动点，线段的垂直平分线交于点，记的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
过点与作平行直线和，分别交曲线于点，和点，，求四边形面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了数列的通项公式，属于基础题．
观察数列可知：分子是连续整数，分母是连续奇数，可得通项公式．
【解答】
解：将数列，，，，，可以化为数列，，，，，
分子是连续整数，分母是连续奇数，
故数列，，，，的一个通项公式可能是，
故选B．
2.【答案】
【解析】解：不正确，点不在直线上；
不正确，截距不是距离，是点的纵坐标；
不正确，经过原点的直线在两坐标轴上的截距都是，不能表示为；
D正确，此方程即直线的两点式方程变形，即
故选：．
分别由直线的点斜式方程、直线在轴上的截距、直线的截距式方程、两点式方程的变形式逐一核对四个选项得答案．
本题考查命题的真假判断与应用，考查了直线方程的几种形式，关键是对直线方程形式的理解，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为等差数列中，，，
解得，，，
故，
所以，，
则使得取最小值时的为．
故选：．
由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意直线的交点、直线的方向向量的性质的合理运用．
联立得，，直线过点，由直线的一个方向向量得到直线的斜率，由此能求出直线的方程．
【解答】
解：联立，解得，，
直线过点，
直线的一个方向向量，
直线的斜率，
则直线的方程是，即．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：是等比数列的前项和，，，
，
是等比数列，，，是等比数列，
，
解得，
，
．
故选：．
推导出，，，是等比数列，从而求出，由此能求出的值．
本题考查等比数列的前项和与前项和的比值的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查排列、组合的实际应用，正确分类是关键．
分两类：第一类，，只有一个选中，第二类：，同时选中，利用加法原理即可得出结论．
【解答】
解：分两类：第一类，，只有一个选中，则不同演出顺序有种；
第二类：，同时选中，则不同演出顺序有种．
共有：种．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：由于的展开式只有第项的二项式系数最大，故，
则．
令，可得．
，．
故，且，
再令，可得，
，
故选：．
由题意，利用二项式系数的性质求得，根据二项式展开式的通项公式以及，求得，再令，可得要求式子的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，注意要求的结果，选择合适的数值代入，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为直线与双曲线没有公共点，所以渐进线的斜率，而双曲线的离心率取得最大值，故，即，则双曲线方程为，
设，，，则，
两式相减得：，即，
又，．
故选：．
利用直线与双曲线没有公共点，推出渐近线的斜率的范围，然后求解双曲线离心率取得最大值时，，设出双曲线方程，利用平方差法，转化求解结果即可．
本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，双曲线的简单性质的应用，是难题．
9.【答案】
【解析】解：对于，令等差数列的公差为，则，
令，则有，A正确；
对于，数列的前项和，，
当时，，显然满足上式，
即，，为常数，数列为等差数列，B正确；
对于，数列前项和，当时，，
当时，，不是等比数列，C错误；
对于，数列为等比数列，当公比时，前项和，无意义，D错误．
故选：．
根据等差数列及前项和公式，分析判断；举例并结合等比数列的定义分析判断作答．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，还考查了等比数列的求和公式，数列的和与项的递推关系的应用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于选项．截距相等的直线还可以过原点，不能用方程表示，故A选项错误．
对于，圆心到直线：的距离等于，半径为，
平行于：且距离为的两条直线分别过圆心以及和圆相切，
所以圆上有且仅有个点到直线：的距离都等于，
故选项B正确；
对于，圆：，可得，圆心，半径，
曲线：，可得，圆心，半径，
由题意可得，两圆外切，
所以，即，解得，故C正确；
设点的坐标为，，以为直径的圆的方程为，
两圆的方程作差得直线的方程为：，消去得，，
令，，解得，，故直线经过定点，故D正确．
故选：．
截距为时不能用方程表示可判断；利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离为，结合半径为，即可判断选项B；利用圆与圆的位置关系，即可判断选项C求出两圆公共弦所在直线方程，再由直线系方程求得直线所过点的坐标判断．
本题考查命题的真假判断与应用，考查直线与圆、圆与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：选项A：若任意选科，选法总数为，故A错误；
选项B：若化学必选，则选法总数为，故B正确；
选项C：若政治和地理至少选一门，则选法总数为，故C错误；
选项D：若物理必选，化学，生物至少选一门，选法总数为，故D正确．
故选：．
根据排列组合的简单计数问题对应各个选项逐个计数即可．
本题考查了排列组合的简单计数问题，涉及到分类以及分步完成的问题，考查了学生的运算分析问题的能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的综合，直线斜率乘积为，考查分析能力与运算能力，属于中档题．
由抛物线的方程可得焦点的坐标及准线方程，设，的坐标及直线的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，可做相应判断．
【解答】
解：由抛物线的方程可得焦点，直线方程为：，设，，设直线的方程为：，联立，整理可得：，则，，
由抛物线的性质可得，，因为，
对于，，所以A正确；
对于，由可知，时，，所以B正确；
对于，由抛物线的性质可知，时，，解得：，所以C正确；对于，由可得，所以，所以，所以D错误．
故选：．
13.【答案】
【解析】解：由题意，要求直线过点，且斜率为，
则直线方程为：，
令，解得，即直线在轴上的截距为；
故答案为：．
根据题意，利用点斜式可得直线方程，令，即可得出直线在轴上的截距．
本题考查直线的点斜式方程，涉及直线截距的定义，属于基础题．
14.【答案】答案不唯一
【解析】解：由圆：，可得圆心，半径，
直线：，如图：，
若为直角三角形，
则，，
作，交于点，
则有，
由可得，
所以，
又点到直线的距离，
即，整理得，
即或，
即或，
取，由可得，
故满足“为直角三角形”的一个圆心的坐标可以是．
故答案为：答案不唯一．
根据圆的半径，得出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式得到，满足的关系式，根据关系式取值即可．
本题考查直线和圆的关系，考查点到直线的距离，属中档题．
15.【答案】
【解析】解：，
，且，
是以为首项，以为公比的等比数列，
由等比数列的通项公式可得，，
，
，
故答案为：
由可得，且，从而可得是以为首项，以为公比的等比数列，由等比数列的通项公式可求，进而可求．
本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，一般是构造等比数列进行求解通项公式．
16.【答案】
【解析】解：设点，，
由于满足，，
所以．
整理得，
故：，
即．
联立消去，得到．
解得或，
由于，
所以，
所以，解得，
故椭圆的离心率为
故答案为：
直接利用圆锥曲线的定义的应用和不等式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：圆锥曲线的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
17.【答案】解：若直线：和直线：平行，
则，且，解得，
所以直线：，直线：，
直线与直线的距离．
直线：恒过定点，
因为时，原点到距离最大，
此时直线的斜率为，直线的斜率不存在，
所以直线的方程为．
【解析】由两直线平行可以求得的值，再利用两平行线间的距离公式求解即可；
根据直线恒过定点，当时，原点到距离最大，求解即可．
本题考查两条直线的位置关系及两平行线之间的距离，是中档题．
18.【答案】解：由，得，
两式相减得，即，
又，，
是以为首项，为公比的等比数列，
；
，，
是以为首项，为公差的等差数列，
；
，
，
得：
，
．
【解析】由，得，两式相减得，即，从而得出是以为首项，为公比的等比数列，得出的通项公式；通过，可得出是以为首项，为公差的等差数列，得出的通项公式；
依题意，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式经过化简可得出结果．
本题考查数列的递推关系，等差数列和等比数列的通项公式，利用错位相减法进行数列求和，属于中档题．
19.【答案】解：圆：
圆心，半径，圆：的圆心，半径
，，圆心距
，得两圆的位置关系是相交；
圆：和圆：．
圆和圆的方程两边对应相减，化简得，
即为两圆公共弦所在直线方程．
设切线方程为，即，
圆心到切线的距离等于半径，
，解得或，
切线方程为，即，或
所以，所求的直线的方程是，或．
【解析】将两圆化成标准方程，可得它们的圆心坐标和半径，计算出圆心距并比较其与、的大小关系，可得两圆的位置关系是相交；将两圆的一般式方程相减，消去平方项可得关于、的二次一次方程，即为两圆公共弦所在直线方程；
求出圆心到直线的距离等于半径，可求解直线的方程．
本题给出两圆的一般式方程，求两圆的位置关系并求它们的公切线方程，着重考查了圆的标准方程和一般方程、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
20.【答案】解：双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上，
可得，，解得，，
则双曲线的方程为；
抛物线的交点与双曲线的右焦点重合，
可得，即，
抛物线的方程为；
由，且的斜率为，则：，
代入抛物线方程，可得，
设，的横坐标分别为，，
则，
可得．
【解析】由双曲线的渐近线方程可得，的关系，将点代入双曲线的方程，解得，，可得所求双曲线的方程；求得的坐标，解得，可得抛物线的方程；
求得直线的方程，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值．
本题考查双曲线和抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：根据题意知道数列的前项和，因为，
所以，
得到，
于是数列是首项为，公差为的等差数列，
即，
因此，且满足条件，
因此数列的通项公式；
因为，
故；
假设存在整数，使得不等式恒成立．
因为，要使得不等式恒成立，应有：
当为奇数时，，即，
当时，取得最大值，所以只需．
当为偶数时，，
当时，的最小值为，所以只需．
综上，可知存在满足条件，且，且．
又因为整数，所以的取值集合为．
【解析】由数列的递推式和等差数列的定义和通项公式，可得所求；
求得，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和；
假设存在整数，使得不等式恒成立．讨论为奇数和偶数，求得数列的最值，结合恒成立思想可得所求取值集合．
本题考查等差数列的定义和通项公式，以及数列的裂项相消求和和数列不等式恒成立问题解法，考查方程思想和分类讨论思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
22.【答案】解：由中垂线的性质得，
，
所以，动点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆，
设曲线的方程为，则，，
因此，曲线的方程为：；
由题意知直线的斜率不为，故可设的方程为，
联立方程得
设、，则由根与系数关系有
所以，
同理， 与的距离为，
所以，四边形的面积为，
令，则，得，
由双勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，
所以，函数在上为减函数，
当且仅当，即时，四边形的面积取最大值为

【解析】本题考查椭圆的概念及标准方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，考查圆锥曲线中最值的求法，属于中档题．
依题意，结合椭圆的定义即可求出椭圆的标准方程；
设的方程为，与椭圆方程联立，由根与系数的关系得到两根之和及两根之积，再表示出四边形的面积，换元后利用对勾函数的单调性即得解．
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