寒假查漏补缺检测卷2023-2024学年数学九年级上册人教版（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
寒假查漏补缺检测卷2023-2024学年数学九年级上册人教版
一、单选题
1．如图，把绕着点A顺时针方向旋转，得到，点C刚好落在边上．则（ ）

A． B． C． D．
2．下列方程是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
3．方程经过配方法化为的形式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图像开口向上 B．当时，y随x的增大而减小
C．顶点坐标是 D．当时，y有最小值是0
5．已知在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示，对称轴为直线，将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线： （a、b、c为常数，且），则代数式与0的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
6．在一暗箱里放有a个除颜色外其他完全相同的球，其中只有6个红球，每次搅匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回搅匀，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2，则a的值可能是（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
7．如图，内接于，直径交于点P，连接．下列角中，等于的是（　）
A． B． C． D．
8．如图，是的直径，点C、D、E在上，若，，且，则为（ ）
A． B．6 C． D．
二、填空题
9．为了改良某种农作物的基因，培育更加优良的品种，某研究团队开展试验，对该种农作物的种子进行辐射，使其基因发生某种变异．表一记录了截至目前的试验数据．
表一
累计获得试验成功的种子数（单位：粒） 1 4 6 8 10 12 14
累计试验种子数（单位：千粒） 1 5 8 10.5 12.5 14.5 16.5
该团队共需要30粒基因发生该种变异的种子，请根据表一的数据，合理估计他们还需要准备用以辐射的种子数（单位：千粒） ．
10．如图，两张完全重合在一起的正三角形硬纸片，点O是它们的中心，若按住下面的纸片不动，将上面的纸片绕O顺时针旋转，设旋转角为，当= 时，两张硬纸片所构成的图形为中心对称图形.
11．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆125人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆405人次，若进馆人次的月平均增长率相同．进馆人次的月平均增长率是 ．
12．有四组一元二次方程：①和；②和；③和；④和．这四组方程具有共同特征，我们把具有这种特征的一组一元二次方程中的一个称为另一个的“相关方程”．请写出一个有两个不相等实数根但没有“相关方程”的一元二次方程： ．
13．请写出一个开口向上且经过的抛物线的解析式 ．
14．我们用符号表示不大于x的最大整数.例如：，.那么：当时，函数的图象始终在函数的图象上方.则实数a的范围是 .
15．们定义一种新函数：形如（，且）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出下列五个结论：
①图象与x轴的交点为和；
②图象具有对称性，对称轴是直线；
③当或时，函数值y随x值的增大而增大；
④当或时，函数的最小值是0；
⑤当时，函数的最大值是．其中正确的结论是 ．（填写序号）
16．如图摆放的两个正六边形的顶点，，，在图上．若，则该圆的半径为 ．
三、解答题
17．已知关于的方程．
(1)当时，求已知方程的解；
(2)说明无论为何值时已知方程总有解；
(3)若，是已知方程的两根，且，求与的值．
18．在二次函数中．
(1)若它的图像过点，则t的值为多少？
(2)当时，y随x的增大而减小，求t的取值范围；
(3)若，，均在此二次函数的图像上，且．求m的取值范围．
19．四边形是正方形，旋转一定角度后得到，如图所示，如果，，．求：

(1)指出旋转中心和旋转角度；
(2)求的长度和的度数．
20．中国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化，某茶商购进一批茶叶，进价为元/盒，销售价为元/盒时，每天可售出盒．为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒，针对这批茶叶的销售情况，请回答下列问题：
(1)当销售单价为元时，每天的销售量为_____盒，每天盈利______元；
(2)若在让利于顾客的情况下，每盒茶叶降价多少元时，商家平均每天能盈利元？
21．为了提高学生的阅读能力，我市某校开展了“读好书，助成长”的活动，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，如图所示，请根据统计图回答下列问题：
调查问卷（单项选择） 你最喜欢阅读的图书类型是（ ） A．文学名著 B．名人传记 C．科学技术 D．其他
(1)本次调查共抽取了_____名学生，两幅统计图中的_____，____．
(2)已知该校共有3600名学生，请你估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？
(3)学校将举办读书知识竞赛，九年级1班要在本班3名优胜者（2男1女）中随机选送2人参赛，求被选送的两名参赛者为一男一女的概率．
22．如图是某座天桥的设计图，设计数据如图所示，桥拱是圆弧形．
(1)请利用尺规作图，确定圆弧的圆心．（保留作图痕迹）
(2)求桥拱的半径．
23．如图， 在中， ， 点D在边上(不与点C重合)、以为直径作，交于点E， 连接．
(1)尺规作图：作边的垂直平分线l，交于点F；(要求：不写作法．保留作图痕迹)
(2)连接，求证是的切线．
24．如图，已知抛物线经过点，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)已知点是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标．
(3)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
(4)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．D
【分析】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质等知识，根据题意得出是解题关键．
【详解】解：∵把绕着点A顺时针方向旋转，得到，
∴，，
∴．
故选：D．
2．D
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数，由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解：A. ，是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
3．A
【分析】本题考查了配方法，熟记相关步骤：移项、化二次项系数为1、配方即可求解.
【详解】解：移项：；
配方：，
即：，
故选：A.
4．B
【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式可得：抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，y随x的增大而减小，抛物线的顶点坐标是，当时，y有最大值是，由此即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：，
，抛物线开口向下，对称轴为直线，故A错误，不符合题意；
当时，y随x的增大而减小，故B正确，符合题意；
抛物线的顶点坐标是，故C错误，不符合题意；
当时，y有最大值是，故D错误，不符合题意；
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了二次函数的平移、二次函数的图象与性质等知识，先根据平移方向和距离求出抛物线的对称轴为直线，可得出，顶点坐标为，由抛物线的图象可知，，即可判断与0的大小关系．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，，
∴，
由图知抛物线的顶点在x轴上方，
∴抛物线的顶点在x轴上方，
∴，
∴．
故选：C．
6．C
【分析】本题考查利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】解：由题意可得：，
解得：．
经检验，是原方程的根，
故选：C．
7．B
【分析】本题主要考查圆周角定理，根据圆周角定理可得故可得答案．
【详解】解：由圆周角定理可得，
故选：B．
8．B
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．
连接、、，过点作于，如图，利用圆内接四边形的性质得到，再根据圆周角定理得到，则，所以，计算出，接着计算出，所以，这样可计算出，然后根据垂径定理得到．
【详解】解：连接、、，过点作于，如图，
∵为直径，
∵，
∴，
∵，
在中，，
故选：B．
9．16
【分析】本题考查用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．根据表中数据算出每次实验的成功率，得出成功的概率，利用还差的变异的种子数除以概率即可求解．
【详解】解：第1次实验成功率为：，
第2次实验成功率为：，
第3次实验成功率为：，
第4次实验成功率为：，
第5次实验成功率为：，
第6次实验成功率为：，
第7次实验成功率为：，
综上所述，试验成功的概率为，
该团队共需要30粒基因发生该种变异的种子，已经成功14粒，
还差16粒，有（粒）（千粒），
故答案为：16．
10．或或
【分析】本题考查了利用旋转设计图案的知识，首先根据图示，可得原来的图案是一个正三角形；然后要使两张图案构成的图形是中心对称图形，则两张图案构成的图形是正六边形；最后根据正六边形的中心角是，可得它至少旋转，据此解答即可．
【详解】解：要使两张图案构成的图形是中心对称图形，
则两张图案构成的图形至少是正六边形，
∵正六边形的中心角是，
∴要使得两张图案构成的图形是中心对称图形，它旋转角度需是的整数倍，且旋转后三角形不能与原三角形重合，
所以旋转角可以是或或．
故答案为：或或．
11．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设进馆人次的月平均增长率是x，根据第一个月及第三个月的进馆人次数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设进馆人次的月平均增长率是x，
根据题意得：，
解得，（舍），
答：进馆人次的月平均增长率为．
故答案为：．
12．（答案不唯一）
【分析】本题考查了一元二次方程的概念和一元二次方程的判别式，掌握相关知识并且理解题中定义的“相关方程”是解题的关键．根据题中“相关方程”的定义，没有常数项的一元二次方程一定没有“相关方程”，从而得解．
【详解】解：根据题中“相关方程”的定义，没有常数项的一元二次方程一定没有“相关方程”，再根据条件“有两个不相等实数根”可知，是满足条件的一元二次方程．
故答案为：（答案不唯一）
13．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，开口向上，则；反之，．图象经过点，据此即可求解．
【详解】解：由题意得：，，
故符合题意，
故答案为：（答案不唯一）．
14．
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，由题意，构建不等式即可解决问题．
【详解】解：由题意：当时，函数的图象始终在函数的图象上方或图象上，
当时，则有时，函数分别为：，，
由题意，，
∴，
当时，则有，，而，，此时的图象在的图象上方或图象上．
当时，则有，，，
当时，有最小值，最小值要大于或等于4，
∴，
解得，
综上所述，时，函数的图象始终在函数的图象上方或图象上，
故答案为：．
15．①②③④
【分析】本题考查二次函数与x轴的交点问题、二次函数的图象与性质，理解题中新定义，掌握对应二次函数的性质是解答的关键．根据所给图象，结合二次函数的性质逐个判断即可．
【详解】解：①∵点和都满足函数，
∴图象与x轴的交点为和，故①正确；
②从图象可知，该函数图象具有对称性，由图象与x轴的交点为和，
∴对称轴为直线，故②正确；
③根据图象可知，当或时，函数值y随x值的增大而增大，故③正确；
④由图象可知，该函数的最低点就是与x轴的两个交点，故当或时，函数的最小值是0，故④正确；
⑤由图象可知，该函数没有最大值，故⑤错误，
综上，正确结论为①②③④，
故答案为：①②③④．
16．
【分析】此题考查的是正多边形和垂径定理，由正六边形的性质可得，再根据勾股定理可得答案，正确作出图形及辅助线是解决此题的关键．
【详解】如图，设圆的圆心为点，即点为正六边形边的中点，连接，过作于点，
∴，
∵正六边形的每个内角都为，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴该圆的半径为，
故答案为：．
17．(1)
(2)说明见解析
(3)
【分析】（1）将代入解方程即可得到答案；
（2）根据题意，分两种情况讨论：①时；②时，由一元二次方程根的情况与判别式的关系求证即可得到答案；
（3）由题意得到，从而因式分解法解一元二次方程得到根，代入求值即可得到答案．
【详解】（1）解：当时，
可化为，解得，
故已知方程的解为；
（2）解：∵关于的方程，
①当时，由（1）可知，方程的解为；
②当时，关于的方程是一元二次方程，，
由平方的非负性知，无论为何值时，，即，则一元二次方程有两个实数根；
综上所述，无论为何值时已知方程总有解；
（3）解：有两根，即，
，
，是已知方程的两根，且，
∴，，
∴，．
【点睛】本题考查一元二次方程综合，涉及解一元一次方程、根的判别式和因式分解解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的概念、性质及解法是解决问题的关键．
18．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）将点代入中，即可求出t的值．
（2）根据抛物线的对称轴公式可得的对称轴为，且开口向上，由抛物线的开口方向可得抛物线的增减性，由此可求得t的取值范围．
（3）由A、C 两点的纵坐标相同且都在二次函数的图像上可知A、C两点是对称点，由此可求的抛物线的对称轴为，也为．由可得，即．由A、C 两点的坐标可知A点在对称轴左侧，C点在对称轴右侧，由于抛物线与y轴的交点坐标为，其关于对称轴的对称点为．又由于，因此B点可能在A点左边，也可能在C点右边．分两种情况分别求出m的取值范围即可．
【详解】（1）将点代入中，得
，
解得．
（2）由得抛物线的对称轴为，
，
∴抛物线开口向上，
∴在对称轴左侧y随x的增大而减小，
又∵时，y随x的增大而减小，
．
（3）∵和的纵，坐标相同，且均在此二次函数的图像上，
∴二次函数的对称轴为，也为，
．
，
，
．
，
∴A点在对称轴左侧，C点在对称轴右侧，
由得抛物线与y轴的交点为，
∴关于对称轴的对称点为．
，
∴B点可能在A点左边，也可能在C点右边．
①当B点可能在A点左边时，
，
解得．
②当B点在C点右边时，
，
解得．
综上，m的取值范围为或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，二次函数图像的性质，二次函数图像上点的坐标的特征，二次函数的对称性、增减性．分类讨论是解题的关键．
19．(1)旋转中心为点A；旋转角为
(2)；
【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，数形结合．
（1）由于旋转一定角度后得到，根据旋转的性质得到旋转中心为点A，等于旋转角，于是得到旋转角为；
（2）根据旋转的性质得到，，则，再求出的度数即可；根据，求出结果即可．
【详解】（1）解：∵旋转一定角度后得到，
∴旋转中心为点A，等于旋转角，
∴旋转角为；
（2）解：∵以点A为旋转中心，顺时针旋转后得到，
∴，，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴．
20．(1)；
(2)每盒茶叶降价元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利元．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题关键．
（1）根据“如果每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒”即可求解；
（2）设每盒茶叶降价x元，依题意得．据此即可求解．
【详解】（1）解：当销售单价为元时，每天的销售量为：（盒），
每天盈利：（元），
故答案为：；
（2）解：设每盒茶叶降价x元，依题意得：
．
解得：，．
∵需要让利于顾客，
∴取．
∴每盒茶叶降价元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利元．
21．(1)
(2)该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有1224人
(3)
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
（1）用喜欢阅读“”类图书的学生数除以它所占的百分比得到调查的总人数；用喜欢阅读“”类图书的学生数所占的百分比乘以调查的总人数得到的值，然后用30除以调查的总人数可以得到的值；
（2）用3600乘以样本中喜欢阅读“”类图书的学生数所占的百分比即可；
（3）画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出被选送的两名参赛者为一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1），
所以本次调查共抽取了200名学生，
，
，即，
故答案为：；
（2），
所以估计该校喜欢阅读“”类图书的学生约有1224人；
（3）画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中被选送的两名参赛者为一男一女的结果数为4，
所以被选送的两名参赛者为一男一女的概率．
22．(1)见解析
(2)半径为13m
【分析】此题主要考查了应用设计与作图、垂径定理、勾股定理及其应用问题；
（1）直接利用垂径定理的推论作出，的垂直平分线，其交点即为点；
（2）首先得到，根据勾股定理列出股定理得：，求出即可解决问题．
【详解】（1）解：如图所示：点即为所求；
（2）连接，设半径为，
由题意得于
m
m
中，
答：半径为13m
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握切线的定是解题的关键．
（1）根据作线段的垂直平分线的基本做法作图;
（2）根据“过半径的外端，垂直于半径的直线是圆的切线”进行证明．
【详解】（1）解：如图: 直线即为所求；
（2）证明： 连接,
∵是圆的直径，
，
，
由作图得：为的中点，
，
，
，
，
，
，
∵为圆的半径，
∴是的切线．
24．(1)
(2)
(3)，
(4)的坐标为：或或或
【分析】（1）把点，点的坐标带入，再根据对称轴，解出，，，即可；
（2）设直线与对称轴的交点为点，设直线的解析式为：，把点，点的坐标代入，求出解析式，再根据点在上，求出点的坐标；根据直线垂直平分，则，；根据等量代换，三角形三边的关系，则，当点在直线上，则有最小值，根据，是定值，即可；
（3）根据题意，则点，过点作轴交于点，则点，求出的值，根据四边形面积为：，且，当时，有最大值；再根据，即当时，四边形面积有最大值，最后根据点在，即可；
（4）根据等腰三角形的性质，分类讨论：当点与点关于轴对称，则，求出点的坐标；延长交直线于点，此时，三点共线，不存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形；当，求出点的坐标；当时，求出点的坐标，即可．
【详解】（1）∵抛物线经过点，两点，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：．
（2）设直线与对称轴的交点为点，
设直线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：；
∴点，
∵直线垂直平分，
∴，
∴，，
当点与点重合时，，此时有最小值，
∴，此时的值最小，
∵，是定值
∴当点时，有最小值，
故答案为：．
（3）过点作轴交于点，
设点的横坐标为，
∴，，
∴，
∵四边形的面积，，
∴，
∴，
当时，有最大值，，
∵，
∴当时，四边形面积有最大值为：，
∴点．
（4）存在，理由如下：
∵点，对称轴，
∴点，
∴，
设点，
设直线与轴交于点，
∴点与点关于轴对称，
∴，
∴是等腰三角形，
∴点；
延长交直线于点，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，三点共线，
∴不存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形；
当，
∴，
解得：，
∴点或；
当时，
∴，
解得：；
综上所述，当点的坐标为：或或或时，存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形．
【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，两点间线段最短，等腰三角形的性质，待定系数法求解析式，学会运用数形结合，分类讨论的方法．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)