学案13 宇宙航行
1．在平抛运动中，若高度一定，平抛运动的初速度越大，其水平位移________．
2．行星做匀速圆周运动的向心力是由__________提供的，它环绕太阳运行的速率v＝ .
3．若卫星受到的万有引力小 ( http: / / www.21cnjy.com )于它做圆周运动所需要的向心力，将做________________运动；若大于所需要的向心力，将做____________运动.
一、宇宙速度
[问题情境]
请同学们阅读教材，思考并回答下列问题：
1．平抛物体的速度逐渐增大，物体的落地点如何变化？
2．速度达到一定值后，物体能否落回地面？
3．若不能，此速度必须满足什么条件？
4．若此速度再增大，又会出现什么现象？
[要点提炼]
关于人造地球卫星
1．概念
当物体的________足够大时，它将会围绕______旋转而不再落回地面，成为一颗绕地球转动的____________．
2．原理：人造卫星绕地球转动的向心力等于地球对它的__________．
3．卫星的v、ω、T与运动半径r的关系
G＝
[即学即用]
1．假如一做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍后仍做圆周运动，则( )
A．根据公式v＝ωr，可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍
B．根据公式F＝mv2/r，可知卫星所需的向心力将减小到原来的1/2
C．根据公式F＝GMm/r2，可知地球提供的向心力将减小到原来的1/4
D．根据上述B和C中给出的公式，可知卫星运动的线速度减小到原来的
2．人造地球卫星的轨道半径越大，则( )
A．速度越小，周期越小
B．速度越小，周期越大
C．速度越大，周期越小
D．速度越大，周期越大
3．人造卫星环绕地球运转的速率v＝ ，其中g为地面处的重力加速度，R为地球半径，r为卫星离地球中心的距离．下列说法正确的是( )
A．从公式可见，环绕速度与轨道半径的平方根成反比
B．从公式可见，把人造卫星发射到越远的地方越容易
C．上面环绕速度的表达式是错误的
D．以上说法都错误
二、三种宇宙速度的含义及推导第一宇
宙速度
[问题情境]
1．什么叫第一宇宙速度、第二宇宙速度、第三宇宙速度？
2．请同学们根据万有引力定律和牛顿第二定律，结合圆周运动的有关知识推导第一宇宙速度．
[要点提炼]
第一宇宙速度是所有人造卫星的最大环绕速度，但却是发射人造卫星的最小发射速度，即人造卫星的运行速度v≤7.9 km/s.
不同星体上的宇宙速度是不同的， ( http: / / www.21cnjy.com )以上给出的是地球上的宇宙速度，但在计算各星球的第一宇宙速度时，公式v＝都是适用的，只要将M、R改成该星球的对应值即可．
例1 恒星演化发展到一定阶段，可能成为恒星世界的“侏儒”——中子星．中子星的半径较小，一般在7～20 km，但它的密度大得惊人．若某中子星的半径为10 km，密度为1.2×1017 kg/m3，那么该中子星上的第一宇宙速度约为( )
A．7.9 km/s B．16.7 km/s
C．2.9×104 km/s D．5.8×104 km/s
例2 我国发射了一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”．设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面．已知月球的质量约为地球质量的，月球的半径约为地球半径的，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则该探月卫星绕月运行的速率约为( )
A．0.4 km/s B．1.8 km/s
C．11 km/s D．36 km/s
三、人造卫星的问题
1．人造卫星的轨道
卫星绕地球做匀速圆周运动时由地球对它的万有引 ( http: / / www.21cnjy.com )力充当向心力，地球对卫星的万有引力指向地心．而做匀速圆周运动的物体的向心力时刻指向它做圆周运动的圆心．因此卫星绕地球做匀速圆周运动的圆心必与地心重合，而这样的轨道有多种，其中比较特殊的有与赤道共面的赤道轨道和通过两极上空的极地轨道．当然也应存在着与赤道平面成某一角度的圆轨道，只要圆心在地心，就可能是卫星绕地球运行的轨道．如图1所示．
图1
[要点提炼]
(1)人造卫星离地面越高，即人造卫星的轨道半径越大，线速度、角速度和向心加速度越小，而周期越大．
(2)卫星的线速度、角速度、周期、向心加速度跟卫星的质量无关，只与其运行半径(或距地高度)有关．
2．地球同步卫星
[问题情境]
同步卫星是相对于地面静止的、和地球自 ( http: / / www.21cnjy.com )转具有相同的周期的卫星，T＝24 h．同步卫星一定位于赤道上方距地面高h处，且h是一定的．同步卫星也叫通讯卫星．
设地球的质量为M，卫星的 ( http: / / www.21cnjy.com )质量为m，地球的半径为R，卫星离地面的高度为h，请根据有关知识求同步卫星距地面的高度和环绕速度．(T＝24 h＝86 400 s，g＝9.8 m/s2，R＝6 400 km)
[问题延伸]
在卫星发射过程中，卫星中的人和其它物体是处于超重状态还是失重状态？当卫星进入轨道以后呢？
[即学即用]
4．如图2所示的圆a、b、c，其圆心均在地球的自转轴线上，b、c的圆心与地心重合，对卫星环绕地球做匀速圆周运动而言( )
图2
A．卫星的轨道可能为a
B．卫星的轨道可能为b
C．卫星的轨道可能为c
D．同步卫星的轨道一定为平行于b的一同心圆
5．如图3所示，a、b、c是大气层外的圆形轨道上运行的三颗人造地球卫星，a、b质量相同且小于c的质量，下面说法中正确的是( )
图3
A．b、c的线速度大小相等且大于a的线速度
B．b、c的向心加速度相等且大于a的向心加速度
C．b、c的周期相等且大于a的周期
D．b、c的向心力相等且大于a的向心力
6．同步卫星离地心距离为 ( http: / / www.21cnjy.com )r，运行速率为v1，加速度为a1.地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R.则以下正确的是( )
A.＝ B.＝()2
C.＝ D.＝
1．知识小结
万有引力定律和向心力公式相结合，可以 ( http: / / www.21cnjy.com )推导出卫星绕行的线速度、角速度、周期和半径的关系；记住三种宇宙速度的数值；结合航天知识可以进行实际的计算．同步卫星是众多卫星当中较特殊的一种，认识它运动的特点和规律，可以用来求解很多题目．
2．规律方法总结
(1)万有引力定律应用于卫星问题，是牛 ( http: / / www.21cnjy.com )顿第二定律在天体运行中的具体应用．把握好万有引力定律、牛顿第二定律、匀速圆周运动及其他力学知识的综合，是解答本节问题的关键．
(2)公式G＝mg中的g是与r(即轨道 ( http: / / www.21cnjy.com )半径)有关的量，而不是一个定值，只是在地球表面附近时，g的变化很小，在处理自由落体运动时，为了简化问题，把g作为定值处理了．
学案13 宇宙航行
答案
课前准备区
1．越大 2.万有引力 3.离心 向心
课堂活动区
核心知识探究
一、
[问题情境]
1．由平抛物体的运动规律知
x＝v0t①
h＝gt2②
联立①②可得：x＝v0
即物体飞行的水平距离和初速度v0及竖直 ( http: / / www.21cnjy.com )高度h有关；在竖直高度相同的情况下，水平距离的大小只与初速度v0有关，水平初速度越大，物体的落地点越远．
2．当平抛的水平初速度足够大时，物体飞行的距离也很大，由于地球是一圆球体，故物体将不能再落回地面，而成为一颗绕地球运转的卫星．
3．物体不落回地面时环绕地球做圆周运动，所受地球的引力恰好用来提供向心力，满足＝?v＝.
4．若此速度再增大，物体不落回地面，也不再做匀速圆周运动，万有引力不能提供所需要的向心力，从而做离心运动，轨道为椭圆．
[要点提炼]
1．初速度 地球 人造地球卫星
2．万有引力
3．m mω2r
2π
[即学即用]
1．CD [根据万有引力提供向心力G＝m＝mω2r得v＝，ω＝
当半径增大到原来的2倍时，v将变成原来的，ω将变成原来的，A错误，D正确；所需向心力即万有引力F＝将变成原来的，故B错误，C正确．]
2．B [由＝mv2/r得v＝由＝m2r，得T＝，所以半径越大，速度越小，周期越大．]
3．A [由万有引力提供向心力得＝m，所以v＝ ＝ ，所以A正确．式中v是环绕速度并非发射速度，所以B错误．]
二、
[问题情境]
1．人造卫星在地面附近绕地球做 ( http: / / www.21cnjy.com )匀速圆周运动时所必须具有的速度叫第一宇宙速度，大小为7.9 km/s，人造卫星绕地球做椭圆轨道运动时所具有的最大运转速度叫第二宇宙速度，大小为11.2 km/s，人造卫星挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙中去时，所必须具有的速度叫第三宇宙速度，大小为16.7 km/s.
2．(1)由万有引力定律和牛顿第二定律，
得：G＝m ①
可得第一宇宙速度
v＝
＝ m/s
＝7.9 km/s.第一宇宙速度是卫星的最大的轨道速度，我们习惯把这样的卫星叫近地卫星．
当卫星的轨道半径r增大时(r>R)，v将减小．
(2)第一宇宙速度也可根据万有引力近似等于物体的重力进行求解，
得：G＝mg②
由①②两式得v＝
代入数据得v＝7.9 km/s.
例1 D [中子星上的第一宇宙速度即为它表面的环绕速度，
由G＝m，得v＝ ，又由M＝ρV＝ρπr3，代入上式可得v＝r ，
代入数据得v＝5.8×104 km/s.]
例2 B [对于环绕地球或月球的人造卫星，其所受万有引力即为它们做圆周运动所需向心力，即
G＝m
所以v＝
第一宇宙速度指的是最小发射速度，同时也是近地卫星的环绕速度，对于近地卫星来说，其轨道半径近似等于地球半径．
所以＝＝＝，
所以v月＝v地＝×7.9 km/s≈1.8 km/s]
三、
2．[问题情境]
(1)由＝m()2r知r＝，由于T一定，故r不变，而r＝R＋h，h为离地面的高度，h＝－R.又因GM＝gR2，代入数据T＝24 h＝86 400 s，g取9.8 m/s2，R＝6 400 km，得h＝3.6×104 km.
也就是说，同步卫星必须定位于赤道的正上方，离地面的高度约为3.6×104 km.
(2)同步卫星的环绕速度大小一定：设其运行速度为v，由于
G＝m，
所以v＝＝
＝ m/s＝3.1×103 m/s.
[问题延伸]
在人造卫星的发射过程中，整个 ( http: / / www.21cnjy.com )卫星以加速度a向上加速运动，这时卫星中的人和其他物体的动力学方程为FN－mg＝ma，FN＝mg＋ma即FN>mg，这是超重状态．
当卫星进入轨道以后，围绕地球做匀速圆周运动，这时卫星中的人和其他物体均以本身所受的重力作为向心力，即mg＝m，是失重状态．
[即学即用]
4．BCD 5.C 6.AD学案14 经典力学的局限性
一、从低速到高速
请同学们阅读教材，完成以下的知识要点填空
1．经典力学的基础是____________，牛顿运动定律和万有引力定律在______、______、________的广阔区域，包括________的研究中，经受了实践的检验，取得了巨大的成就．
2．狭义相对论阐述物体以____________运动时所遵从的规律．
3．在经典力学中，物体的质量是__ ( http: / / www.21cnjy.com )____的，而狭义相对论指出，质量要随物体运动速度的增大而______，即m＝，两者在______________的条件下是统一的．
4．经典力学认为位移和时 ( http: / / www.21cnjy.com )间的测量都与参考系______．相对论认为，同一过程的位移和时间的测量与参考系______，在不同的参考系中______．
例1 如果真空中的光速为c＝3.0×108 m/s，当一个物体的运动速度为v1＝2.4×108 m/s时，质量为3 kg.当它的速度为1.8×108 m/s时，质量为多少？
[即学即用]
1．下列说法中正确的是( )
A．牛顿运动定律就是经典力学
B．经典力学的基础是牛顿运动定律
C．牛顿运动定律可以解决自然界中所有的问题
D．经典力学可以解决自然界中所有的问题
2．一个粒子，原来静止时对应的质量为m0.则：
(1)当这个粒子的速度为3×107 m/s时，它增大的质量占原来质量的百分比是多少？
(2)当这个粒子的速度为2.4×108 m/s时，它增大的质量占原来质量的百分比又是多少？
二、从宏观到微观
1．19世纪末20世纪初， ( http: / / www.21cnjy.com )物理学研究深入到微观世界，发现了电子、质子、中子等微观粒子，而且发现它们不仅具有________，同时还具有________.20世纪20年代，__________建立，它能够正确地描述微观粒子运动的规律性，并在现代科学技术中发挥了重要作用．
2．经典力学的适用范围：只适用于 ( http: / / www.21cnjy.com )__________运动，不适用于________运动；只适用于________世界，不适用于________世界．
[即学即用]
3．以下说法正确的是( )
A．经典力学理论普遍适用，大到天体，小到微观粒子均适用
B．经典力学理论的成立具有一定的局限性
C．在经典力学中，物体的质量不随运动状态而改变
D．相对论与量子力学否定了经典力学理论
三、从弱引力到强引力
1915年，爱因斯坦创立了广义相对 ( http: / / www.21cnjy.com )论，这是一种新的时空与引力的理论．在强引力的情况下，牛顿引力理论__________．当物体的运动速度远小于光速c(3×108 m/s)时，相对论物理学与经典物理学的结论________．当另一个重要常数即“普朗克常量”可以忽略不计时，量子力学和经典力学的结论________．
[问题情境]
请同学们阅读教材并回答下列问题
1．经典力学与行星轨道的矛盾是什么？
2．由经典力学与行星轨道的矛盾说明了什么？
3．归纳牛顿万有引力定律与爱因斯坦引力理论的主要差异．
4．经典力学和相对论及量子力学的关系如何？
[即学即用]
4．通过一个加速装置对电子施加一很大的恒力，使电子从静止开始加速，对这个加速过程，下列描述正确的是( )
A．根据牛顿第二定律，电子将不断做匀加速直线运动
B．电子先做加速运动，后以光速做匀速直线运动
C．电子开始先近似于匀加速运动，后来质量增大，牛顿运动定律不再适用
D．电子是微观粒子，整个加速过程根本就不能用牛顿运动定律解释
学案14 经典力学的局限性
答案
课堂活动区
核心知识探究
一、
1．牛顿运动定律 宏观 低速 弱引力 天体力学 2.接近光的速度．
3．不变 增大 速度远小于光速
4．无关 有关 不同
例1 2.25 kg
解析 根据狭义相对论，m＝，由题意知
m1＝，m2＝
所以＝＝＝，所以m2＝m1＝ kg＝2.25 kg.
[即学即用]
1．B [经典力学并不等于牛顿运动定 ( http: / / www.21cnjy.com )律，牛顿运动定律只是经典力学的基础；经典力学并非万能，也有其适用范围，并不能解决自然界中所有的问题，没有哪个理论可以解决自然界中所有的问题．搞清牛顿运动定律和经典力学的隶属关系，明确经典力学的适用范围，才能正确解决此类问题．所以选B.]
2．(1)0.5% (2)66.7%
二、
1．粒子性 波动性 量子力学 2.低速 高速 宏观 微观
[即学即用]
3．BC [经典力学理论只适用于宏 ( http: / / www.21cnjy.com )观、低速运动的物体，A错，B对．在经典力学中，物体的速度v?c，所以物体的质量不随运动状态而改变，但相对论和量子力学并不否定经典力学，认为经典力学是在一定条件下的特殊情形，C正确，D错误．]
三、
不再适用 没有区别 没有区别
[问题情境]
1．按牛顿的万有引力定律推算，行星应该 ( http: / / www.21cnjy.com )沿着一些椭圆或圆做周期性运动，而天文观测表明，行星的轨道并不是严格闭合的，它们的近日点在不断地旋进，如水星的运动．
实际观测到的水星的运动情况与爱因斯坦广义相对论的计算结果吻合得很好．
2．经典力学只适用于弱引力，而不适用于强引力．
3．牛顿万有引力定律与爱因斯坦引力理论的主要差异．
(1)牛顿的万有引力定律认为：物 ( http: / / www.21cnjy.com )体的半径减小时，其表面上的万有引力与半径的二次方成反比地增大，对于半径接近于零的物体，其表面上的万有引力接近于无穷大．
(2)爱因斯坦引力理论认 ( http: / / www.21cnjy.com )为：物体的半径减小时，其表面上的万有引力比二次方成反比规律增大得快，引力趋于无穷大发生在接近一个“引力半径”的时候．
(3)只要天体的实际半径远大于它们的引力 ( http: / / www.21cnjy.com )半径，那么由爱因斯坦引力理论和牛顿引力理论计算出的引力的差异并不很大，但当天体的半径接近引力半径时，这种差异将急剧增大，也就是说，在强引力的情况下，牛顿引力理论将不再适用．
(4)行星的运动，在近日点和远日点，引力的变化规律不完全相同，导致轨道不闭合，近日点旋进．
4．经典力学是相对论及量子力学在一定条件下的特例，它包含于相对论和量子力学之中，相对论和量子力学的建立并没有否定经典力学．
[即学即用]
4．C [电子在加速装置中由静止 ( http: / / www.21cnjy.com )开始加速，开始阶段速度较低，远低于光速，此时牛顿运动定律基本适用，可以认为在它被加速的最初阶段，它做匀加速运动．随着电子的速度越来越大，接近光速时，相对论效应越来越大，质量增大，它不再做匀加速直线运动，牛顿运动定律不再适用．]章末总结
( http: / / www.21cnjy.com )
一、赤道上物体的向心加速度和卫星的向心加速度的区别
放于赤道地面上的物体随地球自 ( http: / / www.21cnjy.com )转所需的向心力是地球对物体的引力和地面对物体的支持力的合力提供的；而环绕地球运行的卫星所需的向心力完全由地球对卫星的引力提供(如图1)．两个向心力的数值相差很大(如质量为1 kg的物体在赤道上随地球自转所需的向心力只有0.034 N，而它所受地球引力约为9.8 N；近地卫星上每千克的物体所需的向心力是9.8 N)，对应的两个向心加速度的计算方法也不同，赤道上的物体随地球自转的向心加速度a1＝ω2R＝2R，式中T为地球自转周期，R为地球半径；卫星环绕地球运行的向心加速度a2＝GM/r2，式中M为地球质量，r为卫星与地心的距离．
例1 地球赤道上的物体，由于地球自转产生的向心加速度a＝3.37×10－2 m/s2，赤道上的重力加速度g取9.77 m/s2，试问：
图1
(1)质量为m的物体在地球赤道上所受地球的万有引力为多大？
(2)要使在赤道上的物体由于地球的自转完全失去重力(完全失重)，地球自转的角速度应加快到实际角速度的多少倍？
例2 地球赤道上有一物体随地球的自转而做圆周运动，所受的向心力为F1，向心加速度为an1，线速度为v1，角速度为ω1.绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)，所受的向心力为F2，向心加速度为an2，线速度为v2，角速度为ω2.地球的同步卫星所受的向心力为F3，向心加速度为an3，线速度为v3，角速度为ω3.地球表面的重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则( )
A．F1＝F2>F3 B．an1＝an2＝g>an3
C．v1＝v2＝v>v3 D．ω1＝ω3<ω2
二、万有引力定律的理解及应用
1．利用天体表面物体的引力加速度计算天体质量
mg＝G，M＝
2．利用行星(卫星)周期计算天体质量
G＝mr2，M＝
3．求解天体圆周运动问题时，利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力，
则F引＝F向，即
G＝m＝mrω2＝mr2
例3 太阳光经500 s到达地球，地球的半径是6.4×106 m，试估算太阳质量与地球质量的比值为________．(取1位有效数字)
例4 假设火星和地球都是球体，火星的质量M火与地球的质量M地之比M火/M地＝p，火星的半径R火和地球的半径R地之比R火/R地＝q，求它们表面处的重力加速度之比．
三、人造地球卫星
1．发射速度：是指卫星直接从地面发射后离开地面时的速度．
2．轨道速度：卫星在高空沿着圆轨道运行，此时F万＝F向，即G＝m，所以v＝，
此式也适用于在绕地球圆轨道上运行的行星．由于v∝，所以v随r的增大而减小，即卫星离地球越远，其轨道速率就越小．
例5 已知一颗近地卫星的周期为5 100 s，今要发射一颗地球同步卫星，它离地面的高度为地球半径的多少倍？
例6 土星外层上有一个环，为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中的各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系来判断( )
A．若v∝R，则该层是土星的一部分
B．若v2∝R，则该层是土星的卫星群
C．若v∝，则该层是土星的一部分
D．若v2∝，则该层是土星的卫星群
例7 如图2所示，人造卫星的轨道为椭圆，地球位于椭圆的一个焦点上，A为近地点，B为远地点，则下列说法正确的是( )
图2
A．卫星在近地点A的向心加速度大小等于在远地点B的向心加速度大小
B．卫星在从近地点A向远地点B的运动过程中，向心加速度逐渐变小
C．卫星在从远地点B向近地点A的运动过程中，速度逐渐变大，在B点时速度小于在A点时速度
D．从近地点A向远地点B的运动过程中，万有引力没有做功
[即学即用]
1．万有引力定律首次揭示了自然界中物体间一种基本相互作用规律，以下说法正确的是( )
A．物体的重力不是地球对物体的万有引力引起的
B．人造地球卫星离地球越远，受到地球的万有引力越大
C．人造地球卫星绕地球运动的向心力由地球对它的万有引力提供
D．宇宙飞船内的宇航员处于失重状态是由于没有受到万有引力的作用
2．已知引力常量为G，根据下列所给条件能计算出地球质量的是( )
A．月球绕地球的运行周期T和月球中心到地球中心间距离R
B．人造地球卫星在地面附近运行的速度v和运行周期T
C．地球绕太阳运行的周期T和地球中心到太阳中心的距离R
D．地球半径R和地球表面重力加速度g
3．据报道，“嫦娥一号”和“嫦 ( http: / / www.21cnjy.com )娥二号”绕月飞行器的圆形轨道距月球表面分别约为200 km和100 km，运动速率分别为v1和v2，那么v1和v2的比值为(月球半径取1 700 km)( )
A. B. C. D.
4．我国“嫦娥一号”月球探测器在绕月 ( http: / / www.21cnjy.com )球成功运行之后，为进一步探测月球的详细情况，又发射了一颗绕月球表面飞行的科学试验卫星．假设卫星绕月球做圆周运动，月球绕地球也做圆周运动，且轨道都在同一平面内．已知卫星绕月球运动周期T0，地球表面处的重力加速度g，地球半径R0，月心与地心间的距离r，引力常量G，试求：
(1)月球的平均密度ρ；
(2)月球绕地球运动的周期T.
学案15 章末总结
答案
知识体系区
轨道 面积 周期 质点 7.9 11.2 16.7
课堂活动区
例1 (1)9.803 7m (2)17倍
解析 (1)在赤道上：F万＝mg＋F向＝mg＋ma＝9.803 7m.
(2)要使赤道上的物体由于地球自转而完全失去重力，即“飘”起来，则有万有引力完全提供向心力，即
F万＝F向′＝mω·R
ω0＝ ＝ .
ω0为“飘”起时地球自转的角速度，R为地球半径，实际的角速度为ω，则
mω2R＝ma，ω＝＝
所以＝＝≈17
即自转角速度应加快到实际角速度的17倍．
例2 D [比较F1、F3，由公式F＝mω2r分析，ω相同，F∝r，得F1
F3，故A错误．由此也知B错误．比较v1与v3，依据v＝ωr；v2、v3与v，依据v＝ ，知C错，D正确．]
例3 3×105
解析 地球到太阳的距离为
r＝ct＝3.0×108×500 m＝1.5×1011 m
地球绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，向心力为太阳对地球的引力，地球绕太阳公转的周期为T＝365天＝则G＝mr
太阳的质量为M＝
地球表面的重力加速度g＝9.8 m/s2，在忽略地球自转的情况下，物体在地球表面所受的重力等于地球对物体的引力，即m′g＝G
则地球的质量为m＝
太阳质量和地球质量的比值为
＝
＝＝3×105
例4
解析 物体在火星和地球表面所受重力等于火星和地球对物体的万有引力，
即mg＝G，得g＝
则火星和地球表面的重力加速度之比为
＝·()2＝.
例5 5.6
解析 对于已知的近地卫星，万有引力提供向心力，有
G＝mR2
对于地球同步卫星，其周期等于地球自转周期，
有G＝m′(R＋h)2
两式相除得＝
即＝ －1
代入数值T1＝5 100 s，T2＝24×3 600 s得≈5.6
即地球同步卫星距地面的高度约是地球半径的5.6倍．
例6 AD [若为土星的一部分，环上各部分的角速度ω相同，则满足v＝Rω，即v∝R，故A正确；若为土星的卫星群，则由公式G＝m得v2∝，故D正确．]
例7 BC [在近地点A和远地点B时，万有引力提供向心力，则有G＝ma，由于rAvB.在由B向A运动过程中万有引力做正功，动能增加，速度变大，C正确，D错误．]
[即学即用]
1．C [物体的重力是地球对物体的 ( http: / / www.21cnjy.com )万有引力引起的，A选项错误；人造地球卫星离地球越远，受到地球的万有引力越小，B选项错误；宇宙飞船内的宇航员处于失重状态是由于受到的万有引力提供了圆周运动的向心力，D选项错误，只有C选项正确．]
2．ABD [由万有引力提供向心力，月球绕 ( http: / / www.21cnjy.com )地球运行时有＝mR，所以地球质量M＝，A正确；由＝m可得M＝，又因为v＝ωr＝r，所以可得M＝，可求B正确．
根据C中已知条件求出的是太阳的质量而不是地球的质量，C错误；由重力和万有引力相等有mg＝G，所以M＝可求D正确．]
3．C [“嫦娥一号”和“嫦娥二号 ( http: / / www.21cnjy.com )”绕月做圆周运动，由万有引力提供向心力有＝可得v＝(M为月球质量)，它们的轨道半径分别为R1＝1 900 km，R2＝1 800 km，则＝＝.故选C.]
4．(1) (2)
解析 (1)设月球质量为m，卫星质量为m′，月球的半径为Rm，对于绕月球表面飞行的卫星，由万有引力提供向心力
＝m′Rm得m＝
又据ρ＝得ρ＝
(2)设地球的质量为M，对于在地球表面的物体m表有＝m表g，即GM＝Rg
月球绕地球做圆周运动的向心力来自地球引力
即＝mr，得T＝第六章 万有引力与航天
学案9 行星的运动
1．太阳系有八大行星．行星围绕______转，卫星围绕______转，月球围绕______转．
2．地球绕太阳公转周期为__________，月球绕地球转动周期为______天．
3．椭圆上某点到两个焦点的距离之和与椭圆上另一点到两个焦点的距离之和______.
一、地心说与日心说
[问题情境]
1．人类最初通过直接的感性认识建立了“地心说”，“地心说”的最先倡导者是古希腊的哲学家亚里士多德．
假设你是两千三百多年前的亚里士多德，根据直接的感性认识，会对地球、太阳、行星的运动持有什么观点？
2．哥伦布和麦哲伦的探险航行 ( http: / / www.21cnjy.com )已经使不少人相信地球并不是一个平台，而是一个球体．哥白尼就开始推测是不是地球每天围绕自己的轴线旋转一周呢？他假想地球并不是宇宙的中心，它与其他行星都围绕着太阳做匀速圆周运动，这个模型叫“日心说”．“日心说”的内容是什么呢？
[问题延伸]
哥白尼的“日心说”提出后，他的思想及其著作几乎在一个世纪中完全被人们所忽视，主要原因是什么呢？
[即学即用]
1．下列说法都是“日心说”的观点，现在看来其中正确的是( )
A．宇宙的中心是太阳，所有行星都在绕太阳做匀速圆周运动
B．地球是绕太阳运动的普通行星，月球是绕地球旋转的卫星，它绕地球做匀速圆周运动，同时还跟地球一起绕太阳运动
C．天体不动，因为地球每天自西向东转一周，造成天体每天东升西落的现象
D．与日地距离相比，恒星离地球十分遥远，比日地间距离大得多
二、开普勒行星运动定律
[要点提炼]
1．开普勒三定律
(1)第一定律(又称轨道定律)：所有行星绕太阳运动的轨道都是______，太阳处在椭圆的一个______上．如图1所示．
图1
(2)第二定律(又称面积定律)：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过______的面积．如图2所示．
图2
(3)第三定律(又称周期 ( http: / / www.21cnjy.com )定律)：所有行星的轨道的半长轴的________跟它的公转周期的________的比值都________，即＝k.其中a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，k是一个对所有行星都相同的常量．
2．对定律的理解
(1)开普勒定律不仅适用于行星绕太阳的转动，也适用于____________的转动．
(2)由第二定律知：当离太阳比较近时，行星运行的速度________，而离太阳较远时，速度________．
(3)在开普勒第三定律中，所有行星绕太阳 ( http: / / www.21cnjy.com )转动的k值均相同；但对不同的天体系统k值________．k值的大小由系统的__________决定．
例1 如图3所示，某行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为a，近日点离太阳的距离为b，过远日点时行星的速率为va，则过近日点时的速率为( )
图3
A．vb＝va B．vb＝ va
C．vb＝va D．vb＝ va
例2 有一行星，距太阳的平均距离是地球到太阳平均距离的8倍，则该行星绕太阳公转的周期是多少年？
[即学即用]
2．对于开普勒第三定律的表达式＝k的理解正确的是( )
A．k与a3成正比
B．k与T2成反比
C．k值是与a和T无关的值
D．k值只与中心天体有关
3．关于行星的运动，以下说法正确的是( )
A．行星轨道的半长轴越长，自转周期越大
B．行星轨道的半长轴越长，公转周期越大
C．水星的半长轴最短，公转周期最长
D．海王星离太阳“最远”，绕太阳运动的公转周期最长
4．宇宙飞船围绕太阳在近似圆周的轨道上运动，若其轨道半径是地球轨道半径的9倍，则宇宙飞船绕太阳运行的周期是( )
A．3年 B．9年 C．27年 D．81年
( http: / / www.21cnjy.com )
第六章 万有引力与航天
学案9 行星的运动
答案
课前准备区
1．太阳 行星 地球 2.一年 27 3.相等
课堂活动区
核心知识探究
一、
[问题情境]
1．太阳围绕地球转；地球位于宇宙的中心，太阳、月亮和其他行星都在一些以地球为中心的同心球壳中运行．
2．宇宙的中心是太阳．地球和其他行星绕 ( http: / / www.21cnjy.com )太阳做匀速圆周运动，只有月亮环绕地球运行．由于地球的自转，我们看到了太阳、月亮和众星每天自东向西的运动．
[问题延伸]
(1)在他的著作中，“日心说”仅是一个“假设”．
(2)当时的欧洲正处于基督教改革和反改革的骚乱中，一个人的科学见解可能会成为判断其是否真诚的试金石．
(3)在哥白尼的著作中有一些很不精确的数据，根据这些数据得出的计算结果不能很好地与行星位置的观测结果相符合；
(4)最后，甚至连哥白尼本人也认为必须把托勒密的“本轮”思想引进他的模型中．
[即学即用]
1．D [A是“日心说”的观点，但现在 ( http: / / www.21cnjy.com )看来是不正确的，太阳不是宇宙中心，只是太阳系的中心天体，行星做的也不是匀速圆周运动，A错．恒星是宇宙中的主要天体，宇宙中可观察到的恒星有1012颗，太阳是离我们最近的一颗恒星，所有的恒星都在宇宙中高速运动着，C错．月亮绕地球运动的轨道也不是圆，B错．]
二、
[要点提炼]
1．(1)椭圆 焦点 (2)相等 (3)三次方 二次方 相等
2．(1)卫星绕地球 (2)比较快 比较慢 (3)不相同 中心天体
例1 C [若行星从轨道的A点经足够短的时间t运动到A′点．则与太阳的连线扫过的面积可看作扇形，其面积SA＝；若行星从轨道的B点也经时间t运动到B′点，则与太阳的连线扫过的面积SB＝；根据开普勒第二定律，得＝，即vb＝va，故C正确．]
例2 22.6
解析 根据开普勒第三定律，行星的运行半径a与其周期T的关系为
＝k ①
同理，地球的运行半径与其周期T′(1年)的关系为
＝k ②
联立①②式解得
T＝＝16T′≈22.6(年)
[即学即用]
2．CD [开普勒第三定律＝k中的常数k只与中心天体有关，与其他天体或是a和T无关．故A、B错误，C、D正确．]
3．BD [根据开普勒第三定律： ( http: / / www.21cnjy.com )所有行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，即a3/T2＝k.所以行星轨道的半长轴越长，公转周期就越大；行星轨道的半长轴越短，公转周期就越小，特别注意公转与自转的区别，例如，地球的公转周期为一年，而地球的自转周期为一天．]
4．C [由开普勒第三定律＝得T2＝()·T1＝9·1(年)＝27(年)，故C项正确．]学案12 万有引力理论的成就
行星绕太阳运动的线速度、角速度、周期和向心加速度
行星绕太阳的运动可以简化为__________运动，做圆周运动的向心力由_______________提供，则：
1．由G＝m可得：v＝____________________，r越大，v______________；
2．由G＝mω2r可得：ω＝________________，r越大，ω____________；
3．由G＝m2r可得：T＝______________，r越大，T________；
4．由G＝ma向可得：a向＝________________，r越大，a向____________；
说明 ①式中G是比例系数，与太阳和行星________；
②太阳与行星间引力的方向沿着________________；
③万有引力定律F＝G也适用于地球和某卫星之间.
一、万有引力与重力的关系
[问题情境]
在地球表面上的物体所受的万有引力F可 ( http: / / www.21cnjy.com )以分解成物体所受到的重力G和随地球自转而做圆周运动的向心力F′，如图1所示．其中F＝G，而F′＝mrω2.
图1
根据图请分析以下三个问题．
1．当物体在赤道上时，向心力和重力的大小如何？
2．当物体在两极的极点时，向心力和重力的大小如何？
3．当物体由赤道向两极移动的过程中，向心力和重力的大小如何变化？
[要点提炼]
1．无论如何，都不能说重力就是地球对物 ( http: / / www.21cnjy.com )体的万有引力．但是，重力和万有引力的差值并不大．所以，在不考查地球自转的情况下，一般将在地球表面的物体所受的重力近似地认为等于地球对物体的引力，mg＝G，即GM＝gR2.
2．在地球表面，重力加速度随纬度的增大而增大．在地球上空，重力加速度随高度的增大而减小．
3．重力的方向竖直向下，并不指向地心，只有在赤道和两极时，重力的方向才指向地心．
[即学即用]
1．地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转，所以有( )
A．物体在赤道处受的地球引力等于在两极处受到的地球引力，而重力小于两极处的重力
B．赤道处的角速度比南纬30°的大
C．地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处的大
D．地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力
2．火星探测项目是我国继神舟载人航天工程 ( http: / / www.21cnjy.com )、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目．假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行的周期为T1，神舟飞船在地球表面附近的圆形轨道运行周期为T2，火星质量与地球质量之比为p，火星半径与地球半径之比为q，则T1和T2之比为( )
A. B.
C. D.
3．某人在一星球上以速率v竖直上抛 ( http: / / www.21cnjy.com )一物体，经时间t落回手中．已知该星球半径为R，则至少以多大速度围绕星球表面运动，物体才能不落回该星球( )
A. B.
C. D.
二、“科学真是迷人”
[问题情境]
设地面附近的重力加速度g＝9.8 m ( http: / / www.21cnjy.com )/s2，地球半径R＝6.4×106 m，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，试估算地球的质量？
三、计算天体的质量
[问题情境]
请同学们阅读教材，思考并回答下面4个问题：
1．天体实际做什么运动？而我们通常可以认为做什么运动？描述匀速圆周运动的物理量有哪些？
2．根据环绕天体的运动情况求解其向心加速度有几种求法？
3．应用天体运动的动力学方程——万有引力充当向心力，求解天体的质量有几种表达式？各是什么？各有什么特点？
4．应用上面的方法能否求出环绕天体的质量？
[要点提炼]
应用万有引力计算某个天体的质量，有两种 ( http: / / www.21cnjy.com )方法：一种是知道这个天体表面的重力加速度，根据公式M＝求解；另一种方法是知道这个天体的一颗行星(或卫星)运动的周期T和半径r，利用公式M＝求解．
[问题延伸]
请同学们思考，在根据上述两种途径求出质量后，能否求出天体的平均密度？请写出计算表达式．
例1 我国首个月球探测计划“嫦娥工程”将分三个阶段实施，大约用十年左右时间完成，这极大地提高了同学们对月球的关注程度．以下是某同学就有关月球的知识设计的两个问题，请你解答：
(1)若已知地球半径为R，地 ( http: / / www.21cnjy.com )球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，且把月球绕地球的运动近似看做是匀速圆周运动．试求月球绕地球运动的轨道半径．
(2)若某位宇航员随登月飞 ( http: / / www.21cnjy.com )船登陆月球后，在月球某水平表面上方h高处以速度v0水平抛出一个小球，小球落回到月球表面的水平距离为x.已知月球半径为R月，万有引力常量为G.试求月球的质量M月．
例2 设土星绕太阳的运动为匀速圆周运动，若测得土星到太阳的距离为R，土星绕太阳运动的周期为T，万有引力常量G已知，根据这些数据能够求出的物理量是( )
①土星线速度的大小 ②土星加速度的大小 ③土星的质量 ④太阳的质量
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③
例3 若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为( )
A. B.
C. D.
[即学即用]
4．一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上．已知引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为( )
A. B.
C. D.
( http: / / www.21cnjy.com )
学案12 万有引力理论的成就
答案
课前准备区
匀速圆周 太阳对行星的引力
1. 越小 2. 越小 3.2π 越大 4. 越小
①无关 ②二者中心的连线
课堂活动区
核心知识探究
一、
[问题情境]
1．当物体在赤道上时，F、G、F′三力同向，此时F′达到最大值Fmax′＝mRω2，重力达到最小值：Gmin＝F－F′＝G－mRω2.
2．当物体在两极的极点时，此时F′＝0，F＝G，此时重力等于万有引力，重力达到最大值，此最大值为Gmax＝G.
3．当物体由赤道向两极移动的过程中，向心力减小，重力增大，只有物体在两极的极点时物体所受的万有引力才等于重力．
[即学即用]
1．A [由F＝G可知，物体在地球表面任 ( http: / / www.21cnjy.com )何位置受到的地球的引力都相等，此引力的两个分力一个是物体的重力，另一个是物体随地球自转的向心力．在赤道上，向心力最大，重力最小，A对．地表各处的角速度均等于地球自转的角速度，B错．地球上只有赤道上的物体向心加速度指向地心，其他位置的向心加速度均不指向地心，C错．地面上物体随地球自转的向心力是万有引力与地面支持力的合力，D错．]
2．D [设地球的质量为m，地球的半径为r， ( http: / / www.21cnjy.com )则火星的质量为pm，火星的半径为qr，根据万有引力提供向心力得G＝mr，故有T＝∝ ，则＝ ＝ ，故D选项正确．]
3．B
二、
[问题情境]
在地球表面，mg＝，
M＝＝ kg≈6.02×1024 kg
三、
[问题情境]
1．天体实际是沿椭圆轨道运动的，而我们通常情况下可以把它的运动近似处理为圆形轨道，即认为天体在做匀速圆周运动．
在研究匀速圆周运动时，为了描述其运动特征，我们引进了线速度v、角速度ω、周期T三个物理量．
2．根据环绕天体的运动状况，求解向心加速度有三种求法，即
(1)a＝；(2)a＝ω2r；(3)a＝.
3．应用天体运动的动力学方程——万有引力充当向心力，结合圆周运动向心加速度的三种表达方式可得三种形式的方程，即(以月球绕地球运行为例)
(1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，根据万有引力等于向心力，即＝m月r2，可求得地球质量M地＝.
(2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径r和月球运行的线速度v，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得
G＝m月.
解得地球的质量为M地＝.
(3)若已知月球运行的线速度v和运行周期T，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得
G＝m月v.
G＝.
以上两式消去r，解得
M地＝.
4．从以上各式的推导过程可知，利用此法只能求出中心天体的质量，而不能求环绕天体的质量，因为环绕天体的质量同时出现在方程的两边，已被约掉．
[问题延伸]
(1)利用天体表面的重力加速度来求天体的平均密度．
由mg＝G和M＝πR3ρ
得：ρ＝
其中g为天体表面的重力加速度，R为天体的半径．
(2)利用天体的卫星来求天体的平均密度．
设卫星绕天体运动的轨道半径为r，周期为T，天体半径为R，则可列出方程：
G＝mr
M＝ρ·πR3
解得ρ＝
例1 (1) (2)
解析 (1)设月球绕地球做圆周运动的轨道半径为r，
则有：＝m月·r，
对地球表面的物体，有：＝mg
由以上两式可得：r＝ .
(2)设小球从平抛到落地的时间为t，
竖直方向：h＝g月t2
水平方向：x＝v0t
可得：g月＝
对月球表面的物体，有mg月＝
可得：M月＝.
例2 B [由于v＝可知①正确；而a＝ω2R＝2R＝，则②正确；已知土星的公转周期和轨道半径，由＝m2R，则M＝，M应为中心天体——太阳的质量，无法求出m——土星的质量，③错误，④正确，由此可知B正确．]
例3 A [由G＝M地R得：
M日＝，
由G＝M月r得：
M地＝，
可求出：＝.故A正确．]
[即学即用]
4．D [本题意在考查考生运用万有引力定律和 ( http: / / www.21cnjy.com )牛顿第二定律解决天体运动问题的能力．对于物体，根据牛顿第二定律：G＝mR和ρ＝得：T＝ ，选项D正确．]学案10 太阳与行星间的引力
学案11 万有引力定律
1．行星的运动满足____________；天体间的引力是相互的，满足____________．
2．做圆周运动的物体需要有__________且满足__________的供需平衡．
3．行星做圆周运动的向心力由________________提供.
一、太阳与行星间的引力
[问题情境]
1．请同学们思考后并回答下列问题．
由力和运动的关系知：已知力的作用规律可推测物体的运动规律；若已知物体的运动规律，也可以推测力的作用规律．
(1)探究太阳与行星间的引力属于哪种情况？
(2)行星绕太阳运动的规律是怎样的？
(3)前面我们学习了两种曲线运动，是哪两种，如何处理的？
(4)若要解决椭圆轨道的运动，根据现在的知识水平，可作如何简化？
2．思考下列问题后与同学们讨论并回答．
(1)根据开普勒行星运动第一、第二定律，在行星轨道为圆的简化模型下，行星做何种运动？
(2)做匀速圆周运动的物体必定有力提供向心力，行星的运动是由什么力提供的向心力？
(3)向心力公式有多个，如m、mω2r、mr，我们应选择哪个公式推导出太阳对行星的引力？
(4)不同行星的公转周期T是不同的，F跟r关系式中不应出现周期T，我们可运用什么知识把T消去？
[要点提炼]
1．太阳对行星的引力
(1)根据开普勒行星运动第一、第二定律， ( http: / / www.21cnjy.com )行星以太阳为______做匀速圆周运动．太阳对行星的引力，就等于行星做匀速圆周运动的________．
(2)太阳对不同行星的引力，与行星的______成正比，与行星和太阳间______的二次方成反比，即F∝.
2．行星对太阳的引力
(1)就太阳对行星的引力而言，行星是受力物 ( http: / / www.21cnjy.com )体．根据牛顿第三定律，既然太阳吸引行星，行星也必然吸引太阳．二者大小______，引力的方向沿着__________，方向相反，规律相同，是一对作用力与反作用力．
(2)行星对太阳的引力与太阳的______成正比，与行星、太阳______的二次方成反比，
即F′∝.
3．完成下面对太阳与行星间引力规律的推导过程，引力公式F＝G的得出，概括起来导出过程如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com )
二、万有引力定律
[问题情境]
1．关于月—地检验
(1)月—地检验的目的是什么？
(2)月—地检验的验证原理是怎样的？
(3)如何进行验证？
2．请通过天体间引力与轨道半径的关系求解月球的向心加速度，并与通过天文观察月球绕地球运动的周期求解的向心加速度进行比较，能得出什么结论？
[要点提炼]
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引， ( http: / / www.21cnjy.com )引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成______、与它们之间距离r的二次方成______．
2．公式：F＝G，式中m1、m2是两物体质量，r为二者之间的距离，G为__________，G值为6.67×10－11 N·m2/kg2.
3．万有引力的特性
(1)普遍性：万有引力存在于宇宙中任何有质量的物体之间(天体间、地面物体间、微观粒子间)．
(2)相互性：两个物体间相互作用的引力是一对作用力和反作用力，符合______________．
(3)宏观性：天体间万有引力很大，它是支配天体运动的原因．地面物体间、微观粒子间的万有引力很小，不足以影响物体的运动，故常忽略不计．
4．万有引力公式的适用条件
(1)万有引力定律中的距离r，其含义是两个质点间的距离，如果两个物体相距很远，则物体一般可以视为质点，公式成立．
(2)如果是形状规则的均匀物体，且相距 ( http: / / www.21cnjy.com )较近，则应把r理解为它们的几何中心的距离，也可直接用万有引力定律表达式计算．例如：物体是两个均匀球体，r就是两个球心间的距离；一个均匀球体对球外一个质点的引力，也可以用同样的公式计算，而r是球心到质点的距离．
例1 对于万有引力定律表达式F＝G，以下说法正确的是( )
A．公式中的G为比例常数，无单位
B．m1与m2之间的万有引力的大小与施力物体的质量成正比，与物体间距离的平方成反比
C．m1与m2之间的万有引力总是大小相等，与两物体质量是否相等无关
D．m1与m2之间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力
例2 设想把质量为m的物体放在地球的球心上，地球质量为M，半径为R，则物体与地球间的万有引力是( )
A．零 B．无穷大
C．G D．无法确定
例3 把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周．由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得( )
A．火星和地球的质量之比
B．火星和太阳的质量之比
C．火星和地球到太阳的距离之比
D．火星和地球绕太阳运行速度大小之比
三、万有引力常量的测定
[要点提炼]
1．卡文迪许巧妙地利用扭秤装置测得了G值，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.此引力常量是一个普遍适用的常量．
2．卡文迪许实验不仅验证了万有引力定律的正确性，同时，使得万有引力定律公式赋予了实际意义．
3．引力常量的物理意义是：两个质量 ( http: / / www.21cnjy.com )为1 kg的物体相距1 m时相互作用的万有引力为6.67×10－11 N．由此可知，一般物体间的万有引力非常小，我们无法感觉到．
[即学即用]
两个质量均为5 kg且质量分布均匀的铅球，当球心相距1 m时它们之间的万有引力为多大？
万有引力定律
学案10 太阳与行星间的引力
学案11 万有引力定律
答案
课前准备区
1．开普勒三定律 牛顿第三定律
2．向心力 向心力 3.太阳对行星的引力
课堂活动区
核心知识探究
一、
[问题情境]
1．(1)属于已知运动求力的情况．
(2)由开普勒行星运动定律，行星绕太阳运动的轨道是椭圆，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，且满足＝k.
(3)平抛运动、圆周运动．平抛运动可分解为两个方向上的直线运动，圆周运动可分解为沿半径方向和沿切线方向上的运动．
(4)简化成圆周运动．
2．(1)既然把椭圆轨道简化为圆轨道，由第二定律：行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积，可知：行星做匀速圆周运动．
(2)猜想：太阳对行星有引力，并且此引力等于行星做圆周运动所需要的向心力．
(3)选择mr，因为在日常生活中，行星绕太阳运动的线速度v、角速度ω不易观测，但周期T比较容易观测出来．
(4)由开普勒第三定律可知，＝k，并且k是由中心天体决定的．因此可对此式变形为T2＝.
[要点提炼]
1．(1)圆心 向心力 (2)质量 距离
2．(1)相等 二者的连线 (2)质量 距离 3.圆 m 4π2k· G
二、
[问题情境]
1．(1)目的：验证“天上”的力与“人间”的力是同一种性质的力．
(2)原理：假定上述猜想成立，即维 ( http: / / www.21cnjy.com )持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力是同一种力，同样遵从“平方反比”规律，那么，由于月球轨道半径约为地球半径(苹果到地心的距离)的60倍，所以月球轨道上一个物体受到的引力，比它在地面附近时受到的引力要小，前者只有后者的1/602.根据牛顿第二定律，物体在月球轨道上运动时的加速度(月球公转的向心加速度)也就应该是它在地面附近下落时的加速度(自由落体速度)的1/602.
(3)验证：根据验证原理，若“天上”“人间”是同种性质的力，由“平方反比”规律及地球表面的重力加速度，可求得月球表面的重力加速度．
根据人们观测到的月球绕地球运动的周期，及月—地间的距离，可运用公式a＝·r求得月球表面的重力加速度．
若两次求得结果在误差范围内相等，就验证了结论．若两次求得结果在误差范围内不相等，则说明“天上”与“人间”的力不是同一种性质的力．
2．(1)理论推导：若“天上”的力与“人间”的力是同一性质的力，则地面上的物体所受重力应满足：G∝
月球受到地球的引力：F∝
因为：G＝mg，F＝ma 所以＝
又因为：r＝60R，所以：＝
a＝＝ m/s2≈2.7×10－3 m/s2
(2)实际测量：月球绕地球做匀速圆周运动，向心加速度
a＝ω2r＝r
经天文观察月球绕地球运动的周期
T＝27.3天＝3 600×24×27.3 s
r＝60R＝60×6.4×106 m
所以a＝×60×6.4×106 m/s2≈2.7×10－3 m/s2
(3)验证结论：两种计算结果一致，验证了地面上的重力与地球吸引月球的力是相同性质的力，即“天上”和“人间”的力是相同性质的力．
[要点提炼]
1．正比 反比 2.引力常量
3．(2)牛顿第三定律
例1 C [万有引力公式中的G为引力常量，不但有大小而且有单位，单位是N·m2/kg2，故A错；两物体间的万有引力大小与两物体质量的乘积成正比，与二者距离的二次方成反比，而且它们间的万有引力是一对作用力与反作用力，总是大小相等、方向相反，故B、D错，C正确．]
例2 A
[本题主要考查对公式F＝G的应用及其适用 ( http: / / www.21cnjy.com )条件，此时两球心重合，公式不再适用．如图所示，在地球直径上取与球心等距的A、B两相同的质点，则两质点对球心处m的万有引力大小相等、方向相反．以此类推，可得球心处m受到的万有引力的合力为零，A正确．]
例3 CD [由于火星和地球均绕太阳做匀速圆周运动，由开普勒第三定律＝k，k为常量，又v＝，则可知火星和地球到太阳的运行速度大小之比，所以C、D选项正确．]
三、
[即学即用]
1．67×10－9 N
解析 根据万有引力定律
F＝G，代入数据有
F＝6.67×10－11× N≈1.67×10－9 N